РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Стародубцев Игорь Юрьевич

преподаватель ВГУ, г. Воронеж

E-mail: starodubtsevigor@gmail.com

1. Введение

Во многих приложениях задачи нечеткого математического программирования (ЗНМП) рассматриваются как удобное и адекватное описание выбора в условиях неполной определенности. Математический аппарат решения подобных задач достаточно разнообразен и соответствует вариантам трактовки понятия оптимальности в различных условиях нечеткости. Если источником нечеткости являются параметры целевой функции или параметры ограничений, то исходная задачи НМП может рассматриваться как задача многокритериальной оптимизации с применением соответствующего математического аппарата, в том числе методов нечеткой логики [4, 2]. Часто решение задач с нечеткими параметрами сводится к задачам интервального программирования с соответствующими методами решения [1].

Будем рассматривать линейные модели принятия оптимальных решений в ситуации, когда целевая функция и ограничения содержат нечеткие параметры.

2. Решение ЗНЛП при нечетких параметрах целевой функции и ограничений

Рассмотрим следующую постановку задачи НЛП: требуется достичь максимального значения целевой функции

,                                               (1)

при наличии ограничений

.                                             (2)

Коэффициенты целевой функции представляют собой нечеткие числа - , здесь и далее индексы L и R означают левую и правую границы носителя нечеткого числа. Нечеткие коэффициенты задаются экспертным путем. Параметры ограничений задаются как обычные числа, .

Требование максимизации исходной нечеткой целевой функции будем интерпретировать как максимизацию взвешенной суммы значений этой функции по -уровням

,                          (3)

где .

В ограничении (2) знак  читается как «не хуже», то есть надо выбрать такой вектор х, который одновременно с условием (1) обеспечит левую часть выражения (2) «не хуже», чем правая часть. Такая интерпретация нечетких ограничений заключается в том, что точно описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) оказывается лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества точных ограничений могут быть не недопустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для ЛПР, чем альтернативы внутри этого множества. Отношение « не хуже » можно определить как «содержится в », то есть . Другими словами выражение «содержится в » можно рассматривать как . Как правило, левую часть (2) задает эксперт в рассматриваемой предметной области, а правую часть формулирует ЛПР. В такой интерпретации корректная запись неравенства (2) будет иметь вид

.                                    (4)

Предлагается следующая методика решения задачи (1-2). Критерий (1) записывается в виде четкой функции цели вида (3). Затем, в соответствии с методом, описанным в работе [3], вводятся дискретные -уровни, критерий и ограничения (4) рассматриваются применительно к каждому уровню (- число -уровней). На уровне  максимизируется соответствующее слагаемое критерия (3):

                          (5)

Ограничения (4) записываются в виде системы интервальных ограничений на каждом -уровне:

 .                    (6)

Приведение системы (6) к системе обычных линейных неравенств осуществляется записью отдельных неравенств с соответствующим отношением для левой и правой границ интервалов:

                                                        (7)

Таким образом, на каждом -уровне формируется обычная ЗЛП, решению которой приписывается соответствующее значение степени принадлежности, т. е. -уровня. Окончательно формируется дискретное нечеткое множество решений исходной задачи. Решение в виде нечеткого множества само по себе достаточно информативно. Однако традиционный практический подход может потребовать четкого решения в виде обычного вектора х. В этом случае четкое решение можно получить, применяя один из известных методов дефаззификации, например, решение с максимальной функцией принадлежности или решение, взвешенное по методу «центра тяжести».

Рассмотрим применение приведенной методики на следующем примере.

Будем рассматривать задачу начального распределения инвестиционных средств между двумя предприятиями с целью получения прибыли в течение двух последующих лет. Экспертные оценки прибыли  с единицы инвестиционных средств в i-е предприятие имеют вид треугольных нечетких чисел: = (1; 3; 5), = (1; 4; 6), = (2; 3; 4), = (0; 3; 6). Цель инвесторов – необходимо минимизировать суммарные инвестиции в оба предприятия, обозначив при этом нечеткие ограничения  на ежегодную прибыль. Критерий оптимальности при этом принимает четкий вид:

,                                   (8)

что не мешает применять рассматриваемую методику, так как на каждом -уровне его выражение просто останется без изменений. Ограничения примут вид

                                 (9)

Пусть ЛПР обозначил свои ограничения на прибыль первого и второго года в виде треугольных нечетких чисел =(2; 30; 60) и =(2; 30; 60). Зададим следующие - уровни: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Оптимальные решения по - уровням показаны в таблице 1. Следует обратить внимание, что все ограничения согласно принятой интерпретации строго выполняются.

Четкие ожидаемые оптимальные решения можно получить, используя методы дефаззификации:

                                  (10)

Таблица 1. Характеристики оптимальных решений по - уровням

На основании данных таблицы 1 по формуле (10) получаем: =2,7; =5,9. При полученных значениях инвестиций в первое и второе предприятие совокупный доход за два года будет представлен нечетким числом

= =(2; 7; 11)2,7+(2; 6; 10)5,9.

На основании правил перемножения нечетких чисел сначала получаем четкие интервалы на каждом - уровне нечетких чисел (четкие значения рассматриваются как частный случай нечеткого числа с - интервалом в виде соответствующей точки). Перемножая соответствующие концы интервалов, получим прибыль в виде нечеткого числа, заданного второй и третьей колонкой  таблицы 2. В таблице 2 приведены также значения прибыли, получаемые при  оптимальных решениях по - уровням из таблицы 1, и значения левых и правых концов - интервалов нечетких ограничений на прибыль.

Таблица 2. Прибыль в виде нечеткого числа

Полученная прибыль при четком решении не в полной мере согласуется с ограничениями (9), в отличие от решения в таблице 1. Как видно из таблицы 2, нарушение ограничений имеет место при  равном 0,8 и 1,0: 46,6<48,8 и 54,0<60,0. Это объясняется заменой полученного в таблице 1 оптимального нечеткого решения его дефаззифицированным четким аналогом. 

Предложенная методика решения ЗНЛП позволяет получить оптимальное решение как в фаззифицированном, так и дефаззифицированном виде, хотя в последнем случае может возникать нарушение заданных нечетких ограничений. Если эти нарушения допустимы с точки зрения ЛПР и предложенная интерпретация оптимума критерия адекватна целям инвестора, то методика может применяться при решении задач нечеткого линейного программирования.

Список литературы:

1.            Мелькумова Е. М. О решении некоторых задач нечеткого математического программирования / Вестник Воронежского государственного университета. Серия: «Системный анализ и информационные технологии», №2, 2009. - С. 19-24.

2.            Семенов Б. А., Леденева Т. М. Многокритериальная оптимизация на основе нечеткой логики / Системы управления и информационные технологии. – М.; Воронеж: Науч. кн., 2009. - №1(35). – С. 43-47.

3.            Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети. - ИНТУИТ.ru БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 320 с.

4.            Klir G. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications / G. Klir, B. Yuan. – N.Y: Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995.-574 p.