Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: VI Международной научно-практической конференции «Технические науки - от теории к практике» (Россия, г. Новосибирск, 16 января 2012 г.)

Наука: Технические науки

Секция: Информатика, вычислительная техника и управление

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции, Сборник статей конференции часть II

Библиографическое описание:
Стародубцев И.Ю. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ // Технические науки - от теории к практике: сб. ст. по матер. VI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2012.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов
Статья опубликована в рамках:
 
Выходные данные сборника:

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Стародубцев Игорь Юрьевич

преподаватель ВГУ, г. Воронеж

E-mail: starodubtsevigor@gmail.com

 


1. Введение


Во многих приложениях задачи нечеткого математического программирования (ЗНМП) рассматриваются как удобное и адекватное описание выбора в условиях неполной определенности. Математический аппарат решения подобных задач достаточно разнообразен и соответствует вариантам трактовки понятия оптимальности в различных условиях нечеткости. Если источником нечеткости являются параметры целевой функции или параметры ограничений, то исходная задачи НМП может рассматриваться как задача многокритериальной оптимизации с применением соответствующего математического аппарата, в том числе методов нечеткой логики [4, 2]. Часто решение задач с нечеткими параметрами сводится к задачам интервального программирования с соответствующими методами решения [1].


Будем рассматривать линейные модели принятия оптимальных решений в ситуации, когда целевая функция и ограничения содержат нечеткие параметры.


2. Решение ЗНЛП при нечетких параметрах целевой функции и ограничений


Рассмотрим следующую постановку задачи НЛП: требуется достичь максимального значения целевой функции

,                                               (1)

при наличии ограничений

.                                             (2)


Коэффициенты целевой функции представляют собой нечеткие числа - , здесь и далее индексы L и R означают левую и правую границы носителя нечеткого числа. Нечеткие коэффициенты задаются экспертным путем. Параметры ограничений задаются как обычные числа, .


Требование максимизации исходной нечеткой целевой функции будем интерпретировать как максимизацию взвешенной суммы значений этой функции по -уровням

,                          (3)

где .


В ограничении (2) знак  читается как «не хуже», то есть надо выбрать такой вектор х, который одновременно с условием (1) обеспечит левую часть выражения (2) «не хуже», чем правая часть. Такая интерпретация нечетких ограничений заключается в том, что точно описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) оказывается лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества точных ограничений могут быть не недопустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для ЛПР, чем альтернативы внутри этого множества. Отношение « не хуже » можно определить как «содержится в », то есть . Другими словами выражение «содержится в » можно рассматривать как . Как правило, левую часть (2) задает эксперт в рассматриваемой предметной области, а правую часть формулирует ЛПР. В такой интерпретации корректная запись неравенства (2) будет иметь вид


.                                    (4)


Предлагается следующая методика решения задачи (1-2). Критерий (1) записывается в виде четкой функции цели вида (3). Затем, в соответствии с методом, описанным в работе [3], вводятся дискретные -уровни, критерий и ограничения (4) рассматриваются применительно к каждому уровню (- число -уровней). На уровне  максимизируется соответствующее слагаемое критерия (3):

                          (5)


Ограничения (4) записываются в виде системы интервальных ограничений на каждом -уровне:

 .                    (6)


Приведение системы (6) к системе обычных линейных неравенств осуществляется записью отдельных неравенств с соответствующим отношением для левой и правой границ интервалов:

                                                        (7)


 


Таким образом, на каждом -уровне формируется обычная ЗЛП, решению которой приписывается соответствующее значение степени принадлежности, т. е. -уровня. Окончательно формируется дискретное нечеткое множество решений исходной задачи. Решение в виде нечеткого множества само по себе достаточно информативно. Однако традиционный практический подход может потребовать четкого решения в виде обычного вектора х. В этом случае четкое решение можно получить, применяя один из известных методов дефаззификации, например, решение с максимальной функцией принадлежности или решение, взвешенное по методу «центра тяжести».


Рассмотрим применение приведенной методики на следующем примере.


Будем рассматривать задачу начального распределения инвестиционных средств между двумя предприятиями с целью получения прибыли в течение двух последующих лет. Экспертные оценки прибыли  с единицы инвестиционных средств в i-е предприятие имеют вид треугольных нечетких чисел: = (1; 3; 5), = (1; 4; 6), = (2; 3; 4), = (0; 3; 6). Цель инвесторов – необходимо минимизировать суммарные инвестиции в оба предприятия, обозначив при этом нечеткие ограничения  на ежегодную прибыль. Критерий оптимальности при этом принимает четкий вид:

,                                   (8)

что не мешает применять рассматриваемую методику, так как на каждом -уровне его выражение просто останется без изменений. Ограничения примут вид

                                 (9)

                                            


Пусть ЛПР обозначил свои ограничения на прибыль первого и второго года в виде треугольных нечетких чисел =(2; 30; 60) и =(2; 30; 60). Зададим следующие - уровни: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Оптимальные решения по - уровням показаны в таблице 1. Следует обратить внимание, что все ограничения согласно принятой интерпретации строго выполняются.


Четкие ожидаемые оптимальные решения можно получить, используя методы дефаззификации:

                                  (10)

 

Таблица 1. Характеристики оптимальных решений по - уровням

 

 

 

опт

опт

0,2

7,6=7,6

7,6=7,6

23,0<54,0

28,5<54,0

4,5

0,6

5,1

0,4

13,2=13,2

13,2=13,2

27,4<48,0

34,5<48,0

5,1

1,7

6,8

0,6

18,8=18,8

18,8=18,8

28,8<42,0

36,0<42,0

4,5

3,4

7,9

0,8

24,4=24,4

24,4=24,4

29,2<36,0

34,5<36,0

3,0

6,0

9,0

1,0

30=30

30=30

30=30

30=30

0

10,0

10,0


 


На основании данных таблицы 1 по формуле (10) получаем: =2,7; =5,9. При полученных значениях инвестиций в первое и второе предприятие совокупный доход за два года будет представлен нечетким числом


= =(2; 7; 11)2,7+(2; 6; 10)5,9.


На основании правил перемножения нечетких чисел сначала получаем четкие интервалы на каждом - уровне нечетких чисел (четкие значения рассматриваются как частный случай нечеткого числа с - интервалом в виде соответствующей точки). Перемножая соответствующие концы интервалов, получим прибыль в виде нечеткого числа, заданного второй и третьей колонкой  таблицы 2. В таблице 2 приведены также значения прибыли, получаемые при  оптимальных решениях по - уровням из таблицы 1, и значения левых и правых концов - интервалов нечетких ограничений на прибыль.

 

Таблица 2. Прибыль в виде нечеткого числа

 

Прибыль при четком

Решении

Прибыль при решениях из таб. 1

Ограничения на прибыль

0,2

24,5

81,3

15,2

51,5

15,2

108,0

0,4

31,8

74,4

26,4

61,9

26,4

96,0

0,6

39,2

67,6

37,6

64,8

37,6

84,0

0,8

46,6

60,8

48,8

63,7

48,8

72,0

1,0

54,0

54,0

60,0

60

60,0

60,0


 


Полученная прибыль при четком решении не в полной мере согласуется с ограничениями (9), в отличие от решения в таблице 1. Как видно из таблицы 2, нарушение ограничений имеет место при  равном 0,8 и 1,0: 46,6<48,8 и 54,0<60,0. Это объясняется заменой полученного в таблице 1 оптимального нечеткого решения его дефаззифицированным четким аналогом. 


Предложенная методика решения ЗНЛП позволяет получить оптимальное решение как в фаззифицированном, так и дефаззифицированном виде, хотя в последнем случае может возникать нарушение заданных нечетких ограничений. Если эти нарушения допустимы с точки зрения ЛПР и предложенная интерпретация оптимума критерия адекватна целям инвестора, то методика может применяться при решении задач нечеткого линейного программирования.


 

Список литературы:

1.            Мелькумова Е. М. О решении некоторых задач нечеткого математического программирования / Вестник Воронежского государственного университета. Серия: «Системный анализ и информационные технологии», №2, 2009. - С. 19-24.

2.            Семенов Б. А., Леденева Т. М. Многокритериальная оптимизация на основе нечеткой логики / Системы управления и информационные технологии. – М.; Воронеж: Науч. кн., 2009. - №1(35). – С. 43-47.

3.            Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети. - ИНТУИТ.ru БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 320 с.

4.            Klir G. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications / G. Klir, B. Yuan. – N.Y: Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995.-574 p.

Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Комментарии (1)

# С.П. Шарый 25.01.2013 21:43
Надавно вышла хорошая книга - как раз по теме, <br />затронутой в статье:<br /><br /> Фидлер М., Недома Й., Рамик Я., Рон И., <br /> Циммерманн К. Задачи линейной оптимизации <br /> с неточными данными. – Москва-Ижевск: <br /> Издательство «РХД», 2008. <br /><br /><br />Да и вообще она присутствует почти <br />во всех интернет-магазинах. <br /> <br />Очень странно, что автор как будто ничего не знает ни о книге, ни и о представленных в ней результатах.

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом