ВАРИАНТЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРЯМОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРЕНА СООРУЖЕНИЙ БАШЕННОГО ТИПА

VARIANTS OF OPTIMIZATION OF DIRECT ANGULAR NOTCH AT DETERMINATION OF HEEL OF BUILDING OF TOWER TYPE

Olga Raskatkina

assistant of the chair of building technology Nizhny Novgorod Stat University of Architecture and Civil Engineering,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются оптимальные варианты однократной и многократной угловой засечки, приводящие к изотропии, когда эллипс, подера и окружность СКО определяемой точки трансформируются в круг определённого радиуса. Приведены формулы и геометрическая интерпретация процесса определения элементов таких геометрических критериев оценки точности. Выполнено знаковое моделирование вариантов по разработанной на базе Microsoft Exсel программе и показана методика их применения для определении крена сооружений башенного типа.

ABSTRACT

The optimal variants of single and frequent angular notch, resulting in an isotropy, are examined in the article, when ellipse, podaire and circumference of middle quadratic errors of the determined point is transformed in the circle of certain radius. Formulas over and geometrical interpretation of process of determination of elements of such geometrical criteria of estimation of exactness are brought. The sign design of variants is executed on worked out on a base Microsoft Exсel to the program and methodology of their application is shown for determination of heel of building of tower type.

Ключевые слова: засечка; эллипс; подера, окружность СКО; оценка точности; оптимизация.

Keywords: notch; ellipse; podaire; circumference of middle quadratic errors; estimation of exactness; optimization.

В работе [5] изложены различные способы определения крена высоких сооружений башенного типа, в том числе и широко применяемый на практике способ прямой угловой засечки. В статье предлагается для решения таких засечек использовать приведенные в работах [1; 2] формулы. Их сущность заключается в том, что, зная координаты х₁, х₂ и у₁, у₂ концов базиса засечки 1–2 = b и дирекционные углы α₁ и α₂ с пунктов базиса 1 и 2 на определяемый пункт Т, можно вычислить координаты х_Т и у_Т :

(1)

 i = 1, 2.

Рисунок 1. Оптимальные варианты ориентирования базиса засечки

Методика использования прямой угловой засечки для определения крена высоких сооружений башенного типа заключается, как известно, в определении направлений на центры верхнего и нижнего его наблюдаемых сечений. В результате наблюдений вычисляют прямоугольные координаты центров верхнего и нижнего наблюдаемых сечений, частные крены по осям координат, полный крен и его направление.

Многолетний опыт определения крена дымовых труб промышленных предприятий и ТЭЦ Нижегородской области показал, что ввиду застроенности их территории все работы производятся, как правило, в условной системе прямоугольных координат. В связи с этим, с целью максимального упрощения формул (1), предлагается за начало координат условной системы принимать точку 1 (х₁ = 0, у₁ = 0), а направление базиса 1–2 совмещать с положительным или отрицательным направлением осей х или у такой условной системы (рис. 1). В этом случае получим F₁ = 0,  , где в зависимости от варианта на рис. 1: х₂ = 0, у₂ = b; х₂ = b, у₂ = 0; х₂ = 0, у₂ = b; х₂ = b, у₂ = 0.

В соответствии с этим было выполнено знаковое моделирование, где в качестве засечки фигурировал равносторонний треугольник со стороной равной 150 м (рис. 1). Для этого на базе Microsoft Exсel для любой координатной системы была разработана программа, в которой достаточно ввести в ПК значения координат точек базиса засечки и дирекционных углов двух сторон этой засечки, по которым программа вычисляет координаты точки Т. Полученные результаты моделирования представлены в табл. 1.

Таблица 1.

Результаты моделирования однократных угловых засечек

Координаты точек Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ на рис. 1 были также определены графическим способом, которые полностью совпали с таковыми в табл. 1.

В соответствии с табл. 1 формулы (1) можно представить в виде:

 ,

(2)

 = ±0,866

где: верхние знаки перед коэффициентом b (плюс или минус) относятся к вариантам 1 и 2, а нижние – к вариантам 3 и 4.

Действительно, как следует из рис. 1, абсолютные значения  =  равны между собой и являются высотами треугольников, которые равны по модулю половине базиса умноженного на tg60°, a =  просто равны по модулю половине базиса.

Что касается определения дирекционных углов α₁ и α₂, то для этого на местности необходимо измерить горизонтальные углы β₁ и β₂ (рис. 1). Тогда, применительно к рис. 1, дирекционные углы α₁ и α₂ могут быть вычислены по формулам, приведенным в табл. 2.

Таблица2.

Дирекционные углы засечки

Причём, если сооружение круглого сечения, то визирование рекомендуется выполнять по двум касательным (слева Л и справа П) к верхнему и нижнему сечению, получая два значения β_Л и β_П. Средние значения β = (β_Л + β_П)/2 из этих измерений принимают за направление соответственно на центр верхнего и нижнего наблюдаемого сечения.

В случае, относящемуся к рис. 1, средние квадратические ошибки (СКО) координат в зависимости от варианта будут равны:

(3)

где:  – СКО определения базиса засечки.

Однако формулы (3) дают лишь приблизительную оценку точности, поскольку они не учитывают СКО угловых измерений. В общем случае, исследуя формулы (2) с позиций теории ошибок с использованием ошибки функции общего вида, можно получить формулы оценки точности координат точки Т, которые будут иметь сложный вид и в статье не приводятся. Вместо этого рекомендуется использовать методику геометрической интерпретации ошибки положения точки Т, разработанную профессором Г.А. Шеховцовым и изложенную в монографии [4].

Её сущность заключается в том, что ошибка определения координат точки Т наиболее полно характеризуется подерой среднего квадратического эллипса ошибок. Подера выражает закон распределения одномерных случайных величин по различным направлениям. Элементами подеры являются большая полуось А, малая полуось В и угол φ большой полуоси. Эти элементы вычисляют по формулам:

A² =  ; В² =  ; φʹ =  tg ,           (4)

где: m_β,α – СКО измерения горизонтальных углов β_i или определения дирекционных углов направлений засечки α_i; [q²] – сумма квадратов градиентов сторон засечки; q_з – замыкающая квадратического полигона; φʹ – румб, по величине и названию которого вычисляют дирекционный угол φ большой полуоси подеры.

Градиенты q_i и замыкающую q_з вычисляют по формулам

q_i = ρ/s_i , (q_з)² = [q²sin2α]² + [q² cos2α]²,              (5)

где: s_i – длины сторон засечки; ρ = 206265″.

Исходные данные и результаты вычислений по формулам (4, 5) для однократных засечек на рис. 1 при принятом значении m_β,α = 10" приведены в табл. 3.

Таблица 3.

Исходные данные и характеристика однократных угловых засечек

Для этого на базе Microsoft Exсel была разработана программа, в которой достаточно ввести в ПК значения дирекционных углов и длин сторон засечек, по которым программа вычисляет большую полуось А, малую полуось В и румб φʹ.

Следует отметить, что большая полуось подеры А всегда располагается внутри острого угла засечки γ = α₁ – α₂. Если угол засечки тупой, то А располагается внутри острого угла, являющегося дополнением γ до 180°. В то же время при определении румба φʹ по формуле (4) для всех четырёх вариантов на рис. 1 будем получать положительный или отрицательный нуль (графа 11 табл. 3). Наглядный переход от такого нуля к удвоенному дирекционному углу большой полуоси 2φ в градусной мере можно получить путём элементарных графических построений так называемого квадратического полигона Т–1ʹ–2ʹ со сторонами , дирекционные углы которых 2α_i (рис. 2).

В таком полигоне Т–2ʹ = q_з является замыкающей полигона, а её дирекционный угол равен 2φ, что наглядно иллюстрируется на рис. 2. Причём замыкающая всегда имеет направление от определяемой точки Т к конечной точке квадратического полигона (на рис. 2 это точка 2ʹ).

Рисунок 2. Квадратические полигоны однократных засечек для вариантов 1,3 (а) и 2,4 (б)

Следует подчеркнуть, что периметр полигона П = [] и его замыкающая q_з обладают важными свойствами. Во-первых, они могут быть использованы для определения полуосей А и В эллипса СКО или его подеры, а проекции замыкающей на оси координат – для вычисления дирекционного угла φ большой полуоси:

 (6)

где:  – является румбом замыкающей полигона (см. рис. 5б), причём название румба зависит от знаков По величине и названию румба определяют дирекционный угол 2 общеизвестным способом.

Во-вторых, зная периметр полигона и его замыкающую, можно вычислить радиус R и эксцентриситет e так называемой окружности СКО с внутренним или внешним эксцентриситетом, которая была в своё время предложена профессором Г.А. Шеховцовым [4]. Её отличительной особенностью является то, что она может с успехом заменить такие, вообще говоря, довольно сложные по конфигурации эллипс или подеру, позволяя в то же время получать наглядно практически любую информацию о погрешности положения определяемого пункта. Элементы окружности СКО связаны с полуосями А и В соотношениями R = 0,5(А + В), е = 0,5(А – В) или их можно вычислить по формулам:

(7)

Исходные данные и результаты вычислений по формулам (6, 7) для однократных засечек на рис. 1 по специально разработанной программе при принятом значении m_β,α = 10" приведены в табл. 4.

Для построения окружности СКО с внутренним эксцентриситетом достаточно отложить от точки Т по направлению замыкающей величину ТО, равную эксцентриситету е (рис. 3).

Таблица 4.

Оценка точности однократных угловых засечек

Точка О является центром этой окружности, причём сразу ориентированной относительно координатных осей и она делит диаметр 1–2 на Т-1 = А и Т-2 = В.

Проведя в общем случае через центр окружности О диаметр 1–2 этой окружности параллельно оси х (см. рис. 5а), получаем средние квадратические ошибки положения точки Т по осям координат m_x и m_y (графы 8, 9 табл. 4) как расстояния Т-1 и Т-2. В наших частных примерах (рис. 3) диаметр 1-2 совпадает непосредственно с осью х, поэтому для варианта 1, 3 СКО m_x = А = R+e, m_y = B = R – e, а для варианта 2, 4 наоборот: m_x = В = R– e, m_y = А = R+ e.

Рисунок 3. Окружности СКО для вариантов 1,3 (а) и 2,4 (б)

Существует значительное количество работ, посвящённых вопросам А-,D-, E- и I- оптимизации геодезических сетей. Не вдаваясь в подробности, отметим, что для нас особый интерес представляет Е-оптимальная конфигурация треугольника засечки, при которой эллипс и его подера трансформируются в круг, в котором А = В = m_β,α R = m_x = m_y, а эксцентриситет e окружности СКО равен нулю. Это возможно, если согласно формул (6) замыкающая квадратического полигона равна нулю. Достичь этого можно в том случае, если угол однократной угловой засечки γ будет равен 90°, а стороны засечки равны между собой. В этом случае полигон представляет из себя прямую из двух наложенных друг на друга отрезков противоположной направленности, а точка 2ʹ квадратического полигона Т–1ʹ–2ʹ совпадает с точкой Т, следовательно q_з = 0.

В Руководстве [3] для наблюдений за креном высоких сооружений рекомендуется иметь не менее трёх определённым образом расположенных вокруг него пунктов. На практике, при наблюдении за сооружениями башенного типа способом прямой угловой засечки в условиях плотной застройки, бывает трудно выбрать такое местоположение этих пунктов, которое обеспечивало бы одновременно ряд условий. К таким условиям относятся: видимость не менее ¾ высоты сооружения, выгодная геометрическая форма треугольников, взаимная видимость между соответствующими пунктами, расположение пунктов примерно на одинаковом удалении от сооружения на расстоянии порядка двух-трёх его высот и др.

Предположим, что местоположение дополнительной точки 5 (рис. 4) удовлетворяет перечисленным выше условиям, за исключением видимости между точками 2 и 5. В этом случае между этими точками можно проложить полигонометрический ход 2–3–4–5 и определить в принятой системе координаты точки 5.

Теперь достаточно измерить горизонтальные углы Δα_2-3 и Δα_5-4 и вычислить дирекционные углы:

α_2-Т = α_2-3 – Δα_2-3 , α_5-Т = α_{5-4 +} Δα_5-4 ,                      (8)

в результате чего можно по формулам (1) определить координаты точки Т не только из дополнительного треугольника 2-5-Т, но также из треугольника 1-5-Т.

Рисунок 4. Схема косвенного определения дирекционных углов засечки и оптимального расположения точки 5

Для схемы на рис. 4 было выполнено знаковое моделирование, в котором дирекционные углы α_1-Т, α_2-Т, α_5-Т и координаты точек 1, 2, 5 были определены графически (в некоторых условных единицах). Результаты моделирования представлены в табл. 5.

Таблица 5.

Результаты моделирования многократной прямой угловой засечки

Как следует из табл. 5, координаты точки Т, вычисленные из трёх треугольников по формулам (1), равны между собой и практически совпали с таковыми, определенными на рис. 2 графическим способом.

Исходные данные, где s_i определены графически со схемы на рис. 4 в некоторых условных единицах и результаты вычислений по формулам (4, 5) для оценки точности многократной угловой засечки при принятом значении m_β,α = 10" приведены в табл. 6. При этом направление 2-Т в прямой угловой засечке должно участвовать в вычислениях дважды, поскольку сторона 2-Т является общей для двух треугольников 1-2-Т и 2-5-Т.

Таблица 6.

Исходные данные и характеристика многократной угловой засечки

Как следует из табл. 6 (графы 6 и 7), числитель и знаменатель формулы (4) имеют оба знак минус, что соответствует третьей четверти прямоугольной системы координат, следовательно, 2φ = 180°+ φʹ= 186,72°. Графически получен тот же результат.

Исходные данные в условных единицах и результаты вычислений по формулам (6, 7) элементов окружности СКО для многократной угловой засечки на рис. 4 при принятом значении m_β,α = 10" приведены в табл. 7. Полученные значения А и В в табл. 7 полностью совпадают со значениями А и В в табл. 6.

На рис. 5 представлен построенный в крупном масштабе квадратический полигон многократной засечки. Обращаем внимание, что при построении такого полигона для прямой угловой многократной засечки градиент  участвует дважды, о чём было отмечено выше.

Таблица 7.

Оценка точности многократной угловой засечки

Для определения СКО по осям координат m_x и m_у следует провести через точку О диаметр 1–2 (рис. 5а), тогда отрезок Т-1 = m_x = 0,19, а Т-2 = m_y = 0,23. Полученные графически СКО по осям координат практически не отличаются от А и В, поскольку диаметр 1–2 расположен в непосредственной близости от оси х.

Для определения ошибки положения точки Т по любым двум взаимно перпендикулярным направлениям α и α+90° (рис. 5б) необходимо провести диаметр 1–2 под углом 2α к оси х и получить Т-1 = m₁ по направлению α и Т-2 = m₂ по перпендикулярному направлению α+90°.

Рисунок 5. Квадратический полигон (а) и окружность СКО (а, б) многократной засечки

По периметру полигона и его замыкающей можно вычислить широко используемую на практике радиальную ошибку без учёта корреляции  и предложенную профессором Г.А. Шеховцовым радиальную ошибку с учётом корреляции М_К (табл. 8):

(8)

Таблица 8.

Оценка точности многократной угловой засечки

Ошибка М_К в отличие от М позволяет учитывать одновременно форму эллипса СКО и его ориентировку с целью более объективной оценки точности положения точки Т одним числом, а значение sin2φ в формуле (8) необходимо брать по модулю.

В нашем примере коэффициент С = М_К/М составил всего 1,013. Его величина зависит от соотношения полуосей В/А и от дирекционного угла 2φ большой полуоси и может изменяться от 1 (при 2φ = 0; 180 или 360°) до  (при 2φ = 90 или 270°).

Как отмечалось выше, Е-оптимизация обладает рядом существенных преимуществ перед другими условиями-ограничениями. Её выполнение приводит к тому, что эллипс, подера, окружность СКО трансформируются в круг радиуса R. В результате такой изотропии ошибка определения пункта Т по любому направлению будет одна и та же. Одним из возможных способов Е-оптимизации является определение геометрических параметров дополнительных угловых измерений. Покажем решение этой задачи на примере рис. 4, заключающееся в определении оптимального положения дополнительной к однократной угловой засечке 1-2-Т точки 5.

Для этого строим полигон Т-1ʹ-1" для однократной засечки 1-2-Т (рис. 5а), замыкающая которого q_з(опт) = Т-1"= 1369,36 условных единиц имеет направление 2φ = 180° + φʹ = 178,83° (φʹ см. графу 11 табл. 9).

Таблица 9.

Оптимизация многократной угловой засечки

Для того, чтобы замыкающая такого полигона обратилась в 0, следует к схеме простой засечки 1-2-Т добавить ещё одно направление 5-Т, удвоенный дирекционный угол которого должен быть равен обратному удвоенному углу 2φ замыкающей, то есть 2α₅ = 178,83°+ 180° = 358,83°, а длина стороны 5-Т согласно формулы (5) должна быть равна 206265"/ = 55, 2 условных единиц. Подставив эти данные в табл. 9, получаем одинаковые значения А и В.

Отличие замыкающей полигона, равной 0,81 условных единиц (графа 8 табл. 9), объясняется погрешностями определения дирекционных углов и длин сторон засечки графическим способом, хотя такая её величина не оказала влияния на значение полуосей А и В.

Таблица 10.

Оценка точности многократной оптимальной засечки

В табл. 10 приведены исходные данные в условных единицах и результаты вычислений по формулам (6, 7) элементов окружности СКО для рассмотренной выше многократной оптимальной угловой засечки при принятом значении m_β,α = 10". Полученные значения А и В в табл. 10 полностью совпадают со значениями А и В в табл. 9, а R = A= B, e = 0.

Таким образом, если к простой засечке 1-2-Т добавить направление 5ʹ-Т или 5"-Т (рис. 4) длиной 55,2 условных единиц, дирекционный угол которого должен быть равен α₅ = 358,83°/2 = 179,42° или 179,42° + 180°= 359,42°, то такая многократная засечка будет Е-оптимальной. Добавим, что Руководством [3] допускается размещать опорные пункты на устойчивых зданиях и сооружениях, как в случае с точкой 5ʹ.

Другим возможным способом Е-оптимизации может явиться выбор соответствующего расположения опорных пунктов. Для этого на плане необходимо наметить возможные направления многократной засечки и определить их дирекционные углы. Затем на схеме провести из точки Т линии под двойными дирекционными углами. Варьируя расстояния (квадраты градиентов), число и сочетание направлений, следует добиться замкнутого или близкого к нему квадратического полигона. По квадратам градиентов можно определить длины сторон такой засечки.

Следует особо подчеркнуть, что Е-оптимальная сеть позволяет довольно просто решать вопрос о необходимой точности угловых измерений засечки. В каждом конкретном случае специалисту, производящему наблюдения, следует исходить из заданной наименьшей величины крена, которую необходимо фиксировать с требуемой степенью достоверности. Тогда, приняв радиус трансформированной в круг подеры, эллипса или окружности СКО равным К_min, можно на основании формул (6) определить требуемую точность угловых измерений по формуле

,                                                        (9)

где: t – нормированный множитель, зависящий от заданной вероятности р получения данных о крене сооружения (для t =1,6; 2,0; 2,5; 3,0 вероятность р = 0,890; 0,955; 0,988; 0,997).

Таким образом, в общем случае с заданной вероятностью р можно судить о полном крене сооружения, если его величина больше К_min. В противном случае нельзя судить о полном крене с заданной степенью вероятности, поскольку ошибка определения крена превышает его величину.

В заключение отметим, что при выполнении очередного цикла наблюдений за креном, например, дымовой трубы, координаты её центров верхнего В и нижнего Н наблюдаемых сечений определяются с равной точностью. В этом случае элементы А_Н = А_В = А, В_Н = В_В = В, φ_Н = φ_В = φ, R_Н = R_В = R, е_Н = е_В = е их подер, эллипсов или окружностей СКО будут одинаковы. Поэтому для оценки точности определения крена достаточно произвести квадратическое сложение двух таких подер, эллипсов или окружностей СКО по упрощённой в отличие от описанной в работе [4] методике и определить А₀, В₀, φ₀, R₀, е₀ результирующей кривой по формулам

 ,  ,  ,  (10)

По такой окружности СКО, отложив от оси х удвоенный дирекционный угол крена, можно найти ошибку его определения по методике, показанной на рис. 5б.

Список литературы:

1. Падве В.А. Вариант решения прямой угловой засечки // Исследования по совершенствованию инженерно-геодезических работ: Межвуз. сб. – Новосибирск, 1985. – С. 78–80.
2. Падве В.А. Вариация на тему прямой засечки // Геодезия и картография. – 1999, – № 9. – С. 47–48.
3. Руководство по определению кренов инженерных сооружений башенного типа геодезическими методами / Центр. н.-и. проект.-эксперим. ин-т организации, механизации и техн. помощи стр-ву Госстроя СССР. – М.: Стройиздат, – 1981. – 56 с.
4. Шеховцов Г.А. Оценка точности положения геодезических пунктов: монография, – М.: Недра, 1992. – 255 с.
5. Шеховцов Г.А., Шеховцова Р.П. Геодезические работы при экспертизе промышленной безопасности зданий и сооружений: монография, Н. Новгород: ННГАСУ, 2014, 176 с.