ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ СИНТЕЗЕ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Алексеева Любовь Борисовна

доц., канд. техн. наук, доц. кафедры машиностроения,

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»,

РФ, г. Санкт-Петербург

E-mail: lbalek@rambler.ru

USE OF OPTIMIZATION METHODS UNDER SYNTHESIS OF LINK MECHANISMS

Lubove Alexeeva

phD in eng.sc,associate professor,

National Mineral Resources Universiti (Mining Universit),

Russia, Saint Petersburg

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается синтез рычажных механизмов с помощью методов оптимизации. Решается задача об оптимальном распределении масс звеньях кривошипно-ползунного механизма. Находится такое распределение масс, которое обеспечивает минимум углового ускорения кривошипа при заданных значениях вращающего момента, приложенного к кривошипу, и силы сопротивления, действующей на ползун.

ABSTRACT

The article deals with the synthesis of link mechanisms using optimization methods. The problem of optimal mass distribution links of slider-crank mechanism is raised. There is a mass distribution that provides a minimum of the angular acceleration of the crank for given values of the torque applied to the crank and the drag force acting on the slider.

Ключевые слова: синтез; функция; целевая функция; минимизация; оптимизация; ограничения; полином; метод.

Keywords: synthesis; function; object function; minimization; optimization; limitations; polynom; method.

Начальный этап синтеза механизмов связан с разработкой структурной схемы. Этот этап связан со структурным синтезом с использованием справочных данным по отдельным видам механизмов [1].

На следующем этапе определяются постоянные параметры кинематической схемы механизма по заданным его кинематическим свойствам [2].

В общем случае решается задача динамического синтеза, которая связана с определением параметров, характеризующих распределение масс звеньев. К постоянным параметрам, определяющим схему механизма, могут быть отнесены длины звеньев, положение точек, описывающие заданные траектории или имеющие заданные значения скоростей и ускорений, массы звеньев, моменты инерции и т. п. Независимые параметры разделяются на входные и выходные.

Основной задачей оптимизации является определение выходных параметров из условия минимума целевой функции (функции цели, критерия оптимизации) при выполнении принятых ограничений.

При синтезе механизмов приходится удовлетворить многим условиям, связанным с назначением механизма, эксплуатацией, технологией изготовления и т. д. Но из всех условий необходимо выбрать основное. Это может быть заданная траектория звена или точки, минимальное время перемещения, минимальные размеры механизма и т. п.

Целевая функция вычисляется только для тех комбинаций параметров синтеза, которые удовлетворяют дополнительным условиям (ограничениям).

В работе [3; 4] рассматривается синтез кривошипно-ползунного механизма. Основное условие синтеза – найти параметры, обеспечивающие минимальные габариты механизма.

Решим задачу об оптимальном распределении масс звеньев кривошипно-ползунного механизма. Например, найдем такое распределение масс, которое обеспечивает минимум углового ускорения кривошипа при заданных значениях М – вращающего момента, приложенного к кривошипу, и R – силы сопротивления, действующей на ползун.

Механизм имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол поворота кривошипа. Для определения минимизирующей функции определим с помощью уравнении Лагранжа 2 рода уравнение движения рассматриваемой системы. После преобразований получим

,

где:  – приведенный момент инерции; Q – обобщенная сила.

.

.

Условие  будет выполняться при

.

Функцию Δ приведем к полиному

Δ = p₁ f₁ + p₂ f₂ + p₃ f₃ – F (φ),

где: ; ; ; ; ,  – длины кривошипа и шатуна; , , – величины масс кривошипа, шатуна, ползуна; а, b – отрезки, определяющие положение центров масс соответственно кривошипа и шатуна.

Целевая функция

,

где: i = 1, 2,…, n; n – число выбранных положений механизма, в которых должно быть обеспечено выполнение условия  = 0.

В постоянные коэффициенты  входят искомые параметры.

Непрерывные функции f не содержат неизвестных параметров.

Коэффициенты  определяют из условия минимума целевой функции

, k =1, 2, 3.

После нахождения коэффициентов  (k = 1, 2, 3) определяются величины, характеризующие распределение масс звеньев.

Рассмотренная методика расширяет круг задач по динамической оптимизации механизмов. Например, представляет интерес задача о распределении масс из условия, чтобы динамическая составляющая силы реакции в какой-либо кинематической паре была равна нулю.

Рассмотрим особенности проектирования других типов механизмов с помощью методов оптимизации на примере кулачкового механизма.

Одним из этапов синтеза кулачковых механизмов является определение основных размеров из условия ограничения максимального угла давления. В состав кулачковых механизмов входит звено-кулачок, имеющий элемент высшей кинематической пары в виде поверхности переменной кривизны. Поэтому дополнительным условием синтеза может являться минимизация контактных напряжений, возникающих в высшей кинематической паре.

Особенность решаемой задачи заключается в том, что если изменять величину радиуса ролика, то при этом будет изменяться и кривизна сопряженной поверхности, то есть величина

,

где:  – радиус ролика;  – радиус кривизны центрового профиля.

Центровой профиль в рамках решаемой задачи постоянен. Он определен по выбранному заранее закону движения толкателя.

Отмеченная особенность предопределяет возможность выбора оптимального значения радиуса ролика, обеспечивающего минимизацию максимальных контактных напряжений. Действительно, анализ показывает, что существует некоторое значение радиуса ролика, при котором приведенный радиус кривизны максимален, а, следовательно, контактные напряжения минимальны.

Ограничения, накладываемые на величину радиуса ролика, связаны с возможным заострением или самопересечением центрового профиля кулачка и определяются выражением .

Кроме того, следует учесть следующие обстоятельства.

Величина контактных напряжений зависит и от величины нормальной реакции, которая определяется координатами профиля кулачка, связанными с углом поворота  кулачка. Кулачок имеет профиль переменной кривизны, то есть величина  также определяется координатами профиля. Следовательно, надо исследовать  как функцию двух параметров:  и .

Введем функцию V

,

где: ;  – приведенная к толкателю сила, учитывающая полезные сопротивления.

Теперь задача может быть сформулирована следующим образом. Определить значение радиуса ролика, при котором максимальное значение функции  имеет минимальное значение.

Таким образом, для решения поставленной минимаксной задачи получаем сложную систему уравнений, затрудняющую явное дифференцирование. Удобен численный метод решения. Суть его такова. При нескольких значениях радиуса ролика вычисляют значения V как функции одного параметра . Величины радиуса ролика выбирают из диапазона . Оптимальным значением радиуса ролика является то, которое соответствует наименьшему значению из совокупности .

Список литературы:

1. Алексеева Л.Б. Алгоритм проектирования технических систем с одной степенью свободы // сборник материалов XII международной научно-практической конференции / Под общ. ред. С.С. Чернова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. – С. 120–124.

2. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин: учебное пособие для бакалавров / Г.А.Тимофеев. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2013. – 351 с.

3. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: учебное пособие для вузов – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1990. – 592 с.

4. Алексеева Л.Б. Решение задач синтеза механизмов на основе методов оптимизации // Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 31 октября 2015 г. В 2-х частях. Часть I. Смоленск: ООО «НОВАЛЕНСО», 2015. – 151 с.