ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

APPLICATION OF DERIVATIVE TO THE CALCULATION OF FUNCTION LIMIT

Le Thi Thanh

phD student, Department of Mathematical Modeling, Tula State University,

Russia, Tula

teacher, Faculty of basic science, Ho Chi Minh Transport University,

Vietnam, Ho Chi Minh

АННОТАЦИЯ

В нашей работе используем правило Лопиталя для вычисления пределов функций.

ABSTRACT

In our paper we use L'Hôpital's rule for calculating the function limit.

Ключевые слова: предел функции, производная функции, правило Лопиталя.

Keywords: function limit, derivative of the function, L'Hôpital's rule.

Дифференциальное исчисление играет важную роль для задач раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Правило Лопиталя позволяет нам раскрыть неопределенности вида  и .

Теорема. Пусть , либо . Тогда , где ,  могут быть конечными или бесконечными.

Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность  или .

Мы рассмотрим несколько примеров об исполнении правила Лопиталя вычисления предела функции:

·     Найти. .

Получить ответ по обычным методам непросто, поэтому для раскрытия неопределённости  используем правило Лопиталя:

·     Найти .

Мы имеем:

Неопределенность вида  по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

·     Найти

Имеем неопределенность вида . На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость  в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

.

·     Найти

Здесь имеем неопределенность вида . Перепишем данное выражение в виде:

Теперь можно применить правило Лопиталя:

.

·     Найти .

Этот предел представляет собой неопределенность вида . Для вычисления заданного предела поступим так: найдем сначала предел логарифма данной функции, а затем воспользуемся тем, что для непрерывной и принимающей только положительные значения функции  справедливо равенство:

Итак, найдем предел логарифма данной функции:

.

Значит,

.

·     Найти .

Имеем неопределенность вида . Найдем сначала предел логарифма данной функции:

.

Значит,

·     Найти

Так как  ~  при , то  ~  и, следовательно,

Имеем неопределенность вида . Применив правило Лопиталя, получим:

Снова имеем неопределенность вида  и вновь применим правило Лопиталя. Но прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что . Получим:

Таким образом, правило Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности.

Список литературы:

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Изд-во Моск. ун-та; ЧеРо, 1997. – 624 с.

2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. – М.: ФАЗИС, 1984. – 640 с.

3. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 224 с.