СТРОЕНИЕ РАСШИРЕННОГО ЦЕНТРОИДА КОЛЕЦ КОСЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

STRUCTURE OF EXENDED CENTROID OF SKEW POLYNOMIAL RINGS

Inessa Vybornova

сandidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Galina Ivankova

senior lecturer of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Ekaterina Mochalina

candidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Объектом исследования в данной статье служат кольца косых многочленов и их кольца частных. Основным результатом работы является следующая теорема. Пусть A – кольцо, f – его автоморфизм. Предположим, что кольцо A f-первично. Пусть  – мартиндейловское f‑кольцо частных кольца A и Z – центр кольца косых многочленов Лорана над кольцом . Тогда расширенный центроид кольца косых многочленов Лорана над кольцом A изоморфен Z ^–1 Z и является полем. В доказательствах используется стандартная техника работы с кольцами частных.

ABSTRACT

The object of study in this article is skew polynomial rings and their rings of quotients. The main result of the paper is the following theorem. Let A be a ring, f be an automorphism of A. Assume that the ring A be f-prime. Let  be the Martindale ring of quotients of A and Z be the center of a ring of the skew Laurent polynomial ring over . Then the extended centroid of skew Laurent polynomial over the ring A is isomorphic to Z ^–1 Z and is a field. In the proof we use the standard technique of working with rings of quotients.

Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; расширенный центроид.

Keywords: associative rings; rings of quotients; extended centroid.

В данной статье все кольца ассоциативны и содержат единицу. Рассмотрим ассоциативное f-первичное кольцо A (см. [5]), где f – автоморфизм этого кольца. Введем следующие обозначения:

 – левое мартиндейловское f‑кольцо частных кольца A;

 – левое мартиндейловское f‑кольцо частных (см. [1]) кольца A;

 для всех  – расширенный центроид кольца R;

 – подкольцо расширенного центроида, образованное всеми инвариантными относительно автоморфизма f элементами;

 – кольцо косых многочленов Лорана над кольцом A, в котором  ;

 – кольцо косых многочленов Лорана над кольцом ;

 – центр кольца ;

 – наименьшее подкольцо кольца , содержащее и  (кольцо V называют центральным замыканием кольца .

Читатель, нуждающийся в подробном описании конструкции расширенного центроида, может обратиться к § 2.3 монографии [8]. Определение колец косых многочленов и примеры этих колец, содержатся, например, в работах [2; 3]. Далее будет использовано понятие f‑идеала, описанное в статье [6]. Заметим, что все идеалы колец  и  являются их f‑идеалами. Отметим, что данная работа в значительной мере мотивирована работой [9].

Предложение 1. Если  и  для некоторого ненулевого f‑идеала то  кольца A, то  

Доказательство. Так как  по лемме 2 [7] и  по теореме 1 [7], то имеет место включение . Положим . Тогда  – ненулевой f‑идеал кольца  и . Так как , то  по предложению 1 [4].

Кольцо косых многочленов  естественно может рассматриваться как подкольцо кольца косых многочленов Лорана , состоящее из многочленов, все одночлены которых имеют неотрицательные степени. Если , где ,  то коэффициент  при нулевой степени формальной переменной обозначим через .

Пусть I – ненулевой идеал кольца  и n – наименьшее целое неотрицательное число, для которого в  существует ненулевой многочлен h степени n. Введем следующее обозначение:

Ясно, что  и . Кроме того, так как каждый идеал  является f‑идеалом, то  и поэтому  является f‑идеалом кольца A.

Лемма 1.  для всех элементов .

Доказательство. Утверждение леммы является следствием теоремы 1 [7].

Лемма 2. Существует элемент , свободный член которого равен 1 (), такой, что для всех многочленов  выполняется равенство .

Доказательство. 1). Пусть  и . Тогда  – многочлен степени  Но степень  была минимальна для ненулевых многочленов из I, поэтому и, следовательно,  

Итак, мы доказали что для элемента условие  влечет равенство  Отсюда, если имеют одинаковые свободные члены , то из равенства  следует, что и  

Таким образом, для каждого ненулевого элемента  существует единственный многочлен

Непосредственно проверяется, что отображения  такие, что  являются при  корректно определенными гомоморфизмами левых A‑модулей.

Так как  – f‑идеал кольца A, то существуют элементы  такие, что  для всех элементов  и всех  Положим . Тогда  и  для всех многочленов

Осталось проверить что  Пусть  – произвольный элемент идеала  Тогда  и, следовательно,  Кроме того,  и поэтому . Однако из равенства свободных членов по доказанному выше следует равенство самих многочленов  Отсюда,  и теперь предложение 1 показывает, что  Таким образом,

Пусть теперь  Тогда  и . Поскольку , то . Следовательно, . Предложение 1 показывает, что

С помощью равенств (1) и (2) непосредственно проверяется, что  для всех элементов .

Теорема 1. Расширенный центроид  изоморфен кольцу

Доказательство. Пункт (5) теоремы 1 [7] показывает, что . По лемме 1 [7] кольцо первично и, следовательно, его расширенный центроид является полем. Поэтому .

Докажем обратное включение. Фиксируем ненулевой элемент . По теореме 1 [7] . Положим  Пункт (1) теоремы 2 [4] показывает, что  является ненулевым f‑идеалом кольца  Пусть символы ,  и  обозначают то же, что и ранее. Тогда ⊆. Так как ,  – поле и по теореме 1 [7], то элемент  обратим в кольце ,  и  

Если , причем  и  где ,  то множество  обозначим через . Пусть  и J Тогда J. Непосредственно проверяется, что множество J будет f‑идеалом кольца A.

Если  J, то  для подходящих элементов  Легко видеть, что все отображения  J  являются гомоморфизмами левых A‑модулей. В силу предложения 1 [4] существуют элементы  (где  такие, что  для всех  J. Следовательно, в кольце V выполняется соотношение J. По предложению 1 получаем, что . Иначе говоря, мы получили, что . Так как  и , то по лемме 1 получаем, что . Вспомним теперь, что z – ненулевой элемент области целостности Z, содержащейся в поле . Поэтому существует обратный к нему элемент  и

Список литературы:

1. Ламбек И. Кольца и модули, пер. с англ. – М., «Факториал», 2005.
2. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
3. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
4. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 20–26.
5. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е. П. О внутренних автоморфизмах f-колец частных // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 61–67.
6. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.
7. Выборнова И.И., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016.
8. Beidar K.I., Martindale III, W.S. and Mikhalev A.V.: Rings with Generalized Identities. – New York: Marcel Dekker, Inc., 1996.
9. Mushrub V.A. Extended Centroid of Ore Extensions and Injective Ring Endomorphisms // First International Tainan-Moscow Algebra Workshop: proceedings of the international conference held at National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23-August 22, 1994. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1996. – P. 265–281.