О СВОЙСТВАХ РАСШИРЕННОГО ЦЕНТРОИДА РАСШИРЕНИЙ ОРЕ

ON PROPERTIES OF EXENDED CENTROID OF ORE EXTENSIONS

Inessa Vybornova

candidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Galina Ivankova

senior lecturer of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Ekaterina Mochalina

candidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена некоторым свойствам расширенного центроида кольца косых многочленов. Все кольца предполагаются ассоциативными с единицей. Кольца косых многочленов являются классическим объектом исследования в теории колец. Цель работы – дать различные описания расширенного центроида кольца косых многочленов Лорана. В работе использованы методы теории колец частных. Основным результатом является теорема 1, завершающая статью. Существенным ограничением в ней является то, что основное кольцо предполагается f-первичным.

ABSTRACT

This work is devoted to some properties of extended centroid of the skew polynomial ring over an associative ring. All rings are assumed to be associative with identity. Skew polynomials rings are a classical object of study in the ring theory. The aim of this work is to give different descriptions of extended centroid of a skew Laurent polynomial ring. The methods of the theory of rings of quotients are used in the present paper. The paper concludes with the main result, Theorem 1. The essential limitation in this theorem is that the base ring is assumed to be f-primary.

Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; расширенный центроид.

Keywords: associative rings; rings of quotients; extended centroid.

Всюду в данной статье A – ассоциативное f-первичное (см. [5]) кольцо с единицей, где f – автоморфизм кольца A. Через  – левое мартиндейловское f‑кольцо частных (см. [4]) кольца A. Единственное продолжение автоморфизма на кольцо  обозначим той же буквой f. Сведения об f‑идеалах, используемые ниже, могут быть найдены в работе [6]. Через  обозначим кольцо косых многочленов Лорана над кольцом A, умножение в котором определено в соответствие с правилом  для всех  и всех целых чисел n. Через  обозначим кольцо косых многочленов Лорана над кольцом . Расширения Оре (кольца косых многочленов) являются классическим объектом исследования в теории колец. Некоторые сведения о кольцах косых многочленов могут быть найдены в работах [2; 3].

Предложение 1 (см. [4, предложение 1. (5)]). Если кольцо A является f‑первичным, то и кольцо  является f‑первичным.

Лемма 1. Кольца  и  являются первичными.

Доказательство. 1). Пусть  и – ненулевые идеалы кольца . Тогда старшие коэффициенты всех элементов этих идеалов вместе с нулевым элементом образуют ненулевые f-идеалы кольца , который мы обозначим через I и  соответственно. Так как кольцо A является f‑первичным, то  и поэтому .

2). По предложению 1 кольцо  является f‑первичным. По доказанному выше кольцо  будет f‑первичным.

Продолжим автоморфизм f на кольца  и  положив

Лемма 2. Кольцо  вкладывается над кольцом  в f‑кольцо частных . Точнее говоря, существует вложение колец  такое, что  и

Доказательство. Пусть , где . Тогда по предложению 1. (1) [4] существует ненулевой f-идеал  кольца  такой, что  для всех номеров  Заметим, что при этом  для всех целых чисел z. Пусть . Ясно, что  – ненулевой f-идеал кольца , причем . Следовательно, умножение на многочлен p задает гомоморфизм левых ‑модулей:

Тем самым, определено вложение колец  такое, что

В силу последней леммы кольцо  будет рассматриваться как подкольцо кольца . Расширенный центроид  кольца R по определению – это центр полного левого кольца частных . Естественно, вместо полного левого кольца частных можно взять правое, их центры оказываются изоморфными над исходным кольцом R. Следующее утверждение является достаточно известным, поэтому приведем его без доказательства.

Лемма 3. Пусть R – произвольное кольцо. Тогда  для всех  Если R – первичное кольцо, то расширенный центроид совпадает с центром левого мартиндейловского кольца частных , а также является централизатором кольца R в кольце

Лемма 4. Пусть R и R₁ – кольца и . Тогда

Доказательство. Докажем сначала первое равенство. Пусть , _R I – инъективная оболочка левого R‑модуля  и – подмодуль модуля . Рассмотрим любой гомоморфизм ‑модулей , его можно продолжить до гомоморфизма R‑модулей . Для каждого  рассмотрим гомоморфизм такой, что  для всех элементов . Так как , то . В силу инъективности модуля  отображение  продолжается до гомоморфизма . Предложение 4.3.1 [1] показывает, что  то есть  и отображение  оказывается гомоморфизмом ‑модулей, продолжающим гомоморфизм . Тем самым доказано, что модуль  инъективен. Так как  – существенное расширение модуля  то  – существенное расширение модуля  Поэтому  является инъективной оболочкой модуля .

Так как  то , а так как  то . Но  по предложению 4.3.2 [1]. Обозначим это кольцо эндоморфизмов через H. Как известно (см. [1, § 4.3]), ). Поэтому .

Второе равенство следует из леммы 3.

Положим  По теореме 2 [4] кольцо  – центр кольца .

Теорема 1. Пусть кольцо A является f-первичным. Пусть  обозначает центральное замыкание кольца , то есть подкольцо, порожденное в  кольцами и  Тогда справедливы следующие утверждения:

(1)  и ;

(2) ;

(3)

(4) ;

(5)  для всех элементов

Доказательство. (1). Кольца и содержат элемент x такой, что  для всех элементов  ( соответсвенно). По теореме 1 [6] продолжение автоморфизма f является внутренним автоморфизмом  левых мартиндейловских колец частных  и . Так как  – центр кольца , то  и  для всех  что доказывает равенство  Равенство  доказывается аналогично.

(2). По лемме 2 имеется вложение колец . Используя лемму 4, получаем равенство .

Утверждение (3) следует из утверждения (2).

Утверждение (4) следует из утверждения (3).

(5). В силу утверждения (4) и леммы 3 расширенный центроид  состоит из элементов кольца V, коммутирующих со всеми элементами кольца . Отсюда кольцо  – централизатор кольца  в

Список литературы:

1. Ламбек И. Кольца и модули, пер. с англ. – М., «Факториал», 2005.
2. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
3. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
4. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 20–26.
5. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О внутренних автоморфизмах f-колец частных // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 61–67.
6. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.