О СУЩЕСТВЕННЫХ ПРАВЫХ ИДЕАЛАХ РАСШИРЕНИЯ КОНА-ДЖОРДАНА

ON ESSENTIAL RIGHT IDEALS OF THE COHN-JORDAN EXTENSION

Vladimir Mushrub

candidate of Science, assistant professor of the Academic Department of Mathematical Methods in Economics of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Galina Ivankova

senior lecturer of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Ekaterina Mochalina

candidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей, f – инъективная эндоморфизмов кольца R и A (R, f) – расширение Кона-Жордана этого кольца с помощью эндоморфизма f. В настоящей работе доказывается (см. теорему 1), что правая однородная размерность кольца A (R, f) не превышает правую однородную размерность кольца R. Кроме того, основной результат статьи, теорема 3, дает эквивалентное описание существенных правых идеалов A (R, f) в терминах решетки f‑замкнутых правых идеалов кольца R, при условии, что оно является полупервичным кольцо Голди справа. Теорема 2 в общем случае дает условие достаточное для того, чтобы правый идеал кольца A (R, f) был существенным правым идеалом. В конце статьи мы ставим вопрос, который все еще остается открытым. Используемые в статье методы – классические методы теории колец и плодотворный метод биективного расширения A (R, f), предложенный Д.А. Джорданом.

ABSTRACT

Let R be an associative ring with identity, f be an injective ring endomorphisms of R and A(R, f) be the Cohn–Jordan extension of R by means of f. In the present paper we prove (see Theorem 1) that the right uniform dimension of A(R, f) does not exceed right uniform dimension of R. Furthermore, the main result of the paper, Theorem 3, gives a characterization of essential right ideals of A (R, f) in terms of the lattice of f-closed right ideals of R, provided that R is a semiprime right Goldie ring. Theorem 2 gives a sufficient condition for a right ideal of A (R, f) to be essential in the general case. At the end of the paper we raise a problem that is still open. The methods used in the paper are classical methods of the ring theory and the fruitful method of the bijective extension A (R, f) presented by D.A. Jordan.

Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца Голди справа; однородная размерность.

Keywords: associative rings; right Goldie rings; uniform dimension.

В данной статье все кольца ассоциативные с единицей, R – кольцо и f – инъективный эндоморфизм этого кольца.

Определение 1. Пару (A, ), где A – кольцо и  – автоморфизм кольца A, будем называть расширением пары (R, f ), если

1)  R – подкольцо кольца A;

2)  (r) ═ f (r) для всех , то есть – продолжение эндоморфизма f;

3)  A ═ .

Кольцо A называется расширением Кона-Джордана кольца R и обозначается A (R, f). Оно обладает следующим универсальным свойством.

Пусть  – вложение колец и β – автоморфизм кольца B, такой что ι◦f ═ β◦ι. Тогда вложение  можно продолжить до вложения ῖ : A→B, для которого ῖ ◦═ β◦ ῖ .

Расширения Кона-Джордана изучаются и используются для различных целей. Так, например, однородная размерность колец косых многочленов при помощи расширения Кона-Джордана изучается в работах [1; 5] и [9]. В статье [8] с помощью этого расширения исследуются косые полугрупповые кольца над квази-кольцами Бэра. При этом в работе [3] кольцо R расширяется при помощи коммутативного моноида эндоморфизмов, а в статье [10] изучается наиболее общая конструкция расширения Кона-Джордана для полугрупп эндоморфизмов.

Кольцо A (R, f) можно построить либо используя прямой предел колец, либо как подкольцо левого классического кольца частных  кольца косых многочленов (в котором , где .

Рассмотрим последовательности элементов кольца R, начинающиеся с члена  с номером n, где n принимает различные целые неотрицательные значения. При первом подходе элементами кольца A (R, f) являются классы эквивалентности бесконечные последовательности элементов кольца R вида  такие, что для всех , с покомпонентным сложением и умножением. Например, сложение последовательностей осуществляется так:

+=.

Мы назовем такие последовательности f-­после­до­ватель­ностями или нитями [11]. Точнее говоря, элементами кольца A (R, f) служат классы эквивалентности таких последовательностей. Последовательности  и  считаются эквивалентными, если при . Можно обойтись и без классов эквивалентности, для этого в каждом классе нужно выбрать последовательность с наименьшим начальным номером. Тогда элементами расширения Кона-Джордана будут все f-­после­до­ватель­ности , для которых не существует прообраз  начального элемента этой последовательности.

Кольцо R можно считать подкольцом кольца A (R, f), если всякий элемент  отождествить с классом эквивалентности f-последо­ватель­ности . Каждый элемент a ∈ A(R, f ) – это класс эквивалентности, содержащий f-последовательность , где n – целое неотрицательное число, для которого .

Автоморфизм  действует на f-последовательностях покомпонентно, тем самым продолжая f:

Класс эквивалентности последовательности  обратный автоморфизм  отображает в класс эквивалентности последовательности .

Всюду далее A = A (R, f) – расширение Кона-Джордана кольца R.

Определение 2. f – идеал кольца R – это идеал N, для которого .

Определение 3. Будем называть правый идеал M основного кольца R f-замк­нутым [2; 4; 6]), если выполняется любое из двух эквивалентных условий (1), (2):

1) 

2)  .

Лемма 1. Правый идеал L является существенным в A тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого  и для каждого целого неотрицательного числа n найдется целое неотрицательное число m такое, что.

Доказательство. Пусть. L – существенный правый идеал кольца A,  и n – целое неотрицательное число. Положим . Так как , то найдется число  такое, что . Применяя к последнему неравенству автоморфизм , получаем требуемое неравенство .

Предположим теперь, что для каждого ненулевого элемента  и для каждого целого неотрицательного числа n найдется целое неотрицательное число m такое, что. Всякий элемент a ∈ A можно представить в виде , где  и n ≥ 0. Применяя автоморфизм  к неравенству , получаем, что .

Определение 4. Последовательность  назовем f-после­дова­тельностью правых идеалов кольца R, если ее элементами служат правые идеалы кольца R и для каждого номера n ≥ 0 справедливо равенство .

Отметим, что каждый правый идеал , входящие в f-после­до­ватель­ность, автоматически оказывается f-замкнутым. В самом деле, .

Легко видеть, что для каждой f-последовательности правых идеалов кольца R множество  является правым идеалом кольца A.

Если I – правый идеал кольца A, то положим I⁽ⁿ⁾ ═ при n ═ 0, 1, 2, … . Каждому правому идеалу I кольца A соответствует f-последовательность ═правых f-замкнутых идеалов кольца R. Эту последовательность обозначим через ς(I). Очевидно, что ρ(ς(I)) ═ I.

Лемма 2. Если I – ненулевой правый идеал кольца A, то существует такой номер n₀, что I ⁽ⁿ⁾ ≠ 0 для каждого индекса n ≥ n₀.

Доказательство. Пусть 0 ≠ a ∊ I. По определению расширения Кона-Джордана элемент a представим в виде , где n₀ – целое неотрицательное число и 0 ≠ . Осталось заметить, что  для всех чисел k ≥ 0.

Через u-dim(R_R) обозначим правую однородную (равномерную) размерность кольца R, то есть однородную размерность кольца R как правого модуля над собой (см. [7], c. 50).

Теорема 1. а). Предположим, что существует целое положительное число d такое, что любая прямая сумма ненулевых f-замкнутых правых идеалов кольца R содержит не более d слагаемых. Тогда u‑dim(A_A) ≤ d.

б). Справедливо неравенство u‑dim(A_A) ≤ u‑dim(R_R).

Доказательство. а). Предположим, что u-dim(A_A) > d. Тогда существует прямая сумма ненулевых правых идеалов кольца A, содержащая d + 1 слагаемое. Выбрав в каждом из этих слагаемых ненулевой элемент , получим прямую сумму главных правых идеалов. Для каждого элемента  найдется целое неотрицательное число  такое, что . Пусть n ═ max{}. Тогда ,  и  – прямая сумма правых идеалов кольца A. Заметим, что , поскольку , и  – правый f-замкнутый идеал кольца R. Таким образом, – прямая сумма ненулевых f – замкнутых правых идеалов кольца R, содержащая d + 1 слагаемое, что противоречит условию.

Пусть правая однородная размерность кольца R конечна и равна числу d. Тогда из пункта а) данной теоремы следует, что u‑dim(A_A) ≤ d. Если же u‑dim(R_R) ═ ∞, то неравенство б) заведомо верно.

В работе [4] была введена решётка Lat (R, f) правых f-замкнутых идеалов кольца R, в которой операция пересечения обычная, а вместо сложения в этой решётке используется операция . Правый f-замкнутый идеал B назовем существенным в решётке Lat (R, f), если B∩С ≠ 0 для каждого ненулевого С ∊ Lat (R, f).

Сейчас будут доказаны две несложные теоремы, которые позволяют по-новому взглянуть на описание существенных правых идеалов расширения Кона-Джордана.

Теорема 2. Пусть L – правый идеал кольца A. Если для каждого целого положительного числа m найдется номер n* ≥ m такой, что правый идеал L ^(n*) существенен в решётке Lat (R, f), то правый идеал L является существенным в кольце A.

Доказательство. Пусть M – ненулевой правый идеал кольца A. Тогда  ≠ 0 для всех n ≥ n₀ по лемме 2. По условию теоремы существует номер n* ≥ n₀ такой, что правый идеал L ^(n*) существенен в решётке Lat(R, f ). Отсюда, L^(n*) ∩ M ^(n*) ≠ 0 и поэтому 0 ≠ ^–n*(L^(n*) ∩ M ^(n*))  L ∩ M .

Теорема 3. Пусть R – полупервичное кольцо Голди справа (см. [7], с. 98) и L – существенный правый идеал кольца A. Тогда следующие условия (1), (2) и (3) эквивалентны:

(1) L – существенный правый идеал кольца A;

(2) для каждого целого положительного числа m найдется номер n* ≥ m такой, что правый идеал L ^(n*) существенен в решётке Lat(R, f );

(3) для каждого целого положительного числа m найдется номер n* ≥ m такой, что правый идеал L ^(n*) – существенный подмодуль модуля R_R;

(4) для каждого ненулевого элемента  и для каждого целого числа n ≥ 0 существует такое целое число m ≥ 0, для которого.

Доказательство. “(1)(3)”. В случае полупервичного кольца Голди справа R, как показывает теорема 3.4. работы [9], правые однородные размерности колец R и A совпадают: u‑dim(R_R) ═ u‑dim(A_A). Пусть u‑dim(A_A) ═ d. Так как u‑dim(L_A) ═ u‑dim(A_A), то в L_A содержится прямая сумма d ненулевых главных правых идеалов .

Предположим, что условие (2) не выполнено. Иначе говоря, предположим, что существует целое положительное число m такое, что ни для одного числа n ≥ m правый идеал L ⁽ⁿ⁾ не является существенным в R. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 1, находим целое неотрицательное число n, для которого , . При этом можно выбрать число n не меньшее чем m. Заметим, что  и . Так как L ⁽ⁿ⁾  не является существенным, то в R найдется ненулевой правый идеал I такой, что L ⁽ⁿ⁾∩ I ═ 0. Тогда возникает прямая сумма , что противоречит равенству u‑dim(R_R) ═ d.

“(3)(2)”. Условие (2) является более слабым чем (3).

“(2)(1)”. Эта импликация доказана в теореме 2.

“(1)⇔(4)”. Эта эквиваленция доказана в лемме 1.

Теорема 3 позволяет поставить следующий открытый вопрос.

Пусть размерность u-dim(R_R) конечна или размерность u-dim(A_A) конечна, но кольцо R не полупервично или не удовлетворяет условию максимальности на правые аннуляторы. Будут ли при этом эквивалентны условия (1) и (2), предложенные в теореме (3).

Список литературы:

1. Мушруб В.А. О размерности Голди расширений Оре со многими переменными//Фундаментальная и прикладная математика. – 2001. – Т. 7, № 4 – С. 1107–1121.
2. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
3. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
4. Мушруб В.А., Сухорукова И. В. О решетке f-замкнутых правых идеалов // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 118-125.
5. Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильников А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов // Отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований).
6. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.
7. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. – М.: МЦНМО, 2009. – 472 с.
8. Hashemi E. The Cohn-Jordan extension and skew monoid rings over a quasi-Baer ring// Communications of the Korean Mathematical Society. – 2006. – Vol. 21, № 1. – P. 1–9.
9. Leroy A., Matczuk J. Goldie conditions for Ore extensions over semiprime rings // Algebras and Representation Theory. – 2005. – Vol. 8, № 5. – P. 679–688.
10. Matczuk J.S – Cohn-Jordan extensions // Communications in Algebra. – 2007. – Vol. 35, № 3. – P. 725–746.
11. Mushrub V. Endomorphisms and invariance of radicals of rings // Contemporary Mathematics – 2007. – Vol. 131, Part 2. – P. 363–379.