СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ВОЛЬТЕРРОВСКИХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА

SPECTRAL PROPERTIES OF VOLTERRA LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD KIND OF THE SECOND ORDER

Venera Muratalieva

candidate of Science, assistant professor of Jalal-Abad State University,

Kyrgizstan, Jalal-Abad

АННОТАЦИЯ

На примерах показано, что среди вольтерровских интегро-дифференциальных уравнений с производной второго порядка с параметром спектральные свойства имеются у уравнений с кубическим сомножителем при производной.

ABSTRACT

It is shown by examples that spectral properties are due to equations with cubic coefficient by the derivative among Volterra linear integro-differential equations with the derivative of the second order.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, линейное уравнение, уравнение типа Вольтерра, уравнение третьего рода, спектр.

Keywords: integro-differential equation, linear equation, Volterra equation, equations of the third kind, spectrum.

1. Обзор известных результатов

В [2] выявлены спектральные свойства уравнений вида

 (1)

и систем двух таких уравнений, вида

  (2)

Здесь и далее – заданные функции – целые аналитические [1] (обозначим такое пространство через A), заданные константы – комплексные числа, l – параметр.

Производился поиск условий, при которых уравнения (1) и (2) имеют решения в пространстве A, то есть представимые в виде рядов

                                       (3)

                                         (4)

где: сходимость – такого же порядка, как для рядов, представляющих функции.

Доказано, что спектр таких уравнений либо отсутствует, либо состоит из кратных некоторому числу или числам.

Ранее нами были рассмотрены уравнения

                          (5)

(6)

Полагая  в этих уравнениях, получим, что обязательное условие наличия аналитического решения:, откуда

                                               (7)

Подставляя (3) и (7) в (5), получаем:

Преобразуем

 .

Таким образом, была доказана

Теорема 2. Если k не принадлежит последовательности то уравнение (5) имеет единственное решение в А, иначе оно либо имеет бесконечное количество решений, либо не имеет решения в А.

Далее, для уравнения (6), где , подставляя (3) и (7), получаем:

.

Преобразуем

 .

Доказана

Теорема 3. Существует такая последовательность чисел что: если не принадлежит этой последовательности, то уравнение (6) имеет единственное решение в А, иначе оно либо имеет бесконечное количество решений, либо не имеет решения в А.

2. Результаты для уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнения

                         (8)

(9)

с условием (7).

Подставляя (3) и (7) в (8), получаем:

Преобразуем

 .

Приравнивая сомножители при одинаковых степенях , получаем:

(10)

Теорема 4. Если k не принадлежит последовательности то уравнение (5) имеет единственное решение в А, иначе оно либо имеет бесконечное количество решений, либо не имеет решения в А.

Доказательство следует из того, что при выполнении условия теоремы все уравнения (10) имеют решение, и, начиная с некоторого номера, будет

Подставляя (3) и (7) в (9), получаем:

Преобразуем

 .

Приравнивая сомножители при одинаковых степенях t , получаем:

,

или

(11)

Теорема 6. Существует такая последовательность чисел что: если не принадлежит этой последовательности, то уравнение (9) имеет единственное решение в А, иначе оно либо имеет бесконечное количество решений, либо не имеет решения в А.

Доказательство следует из того, что для больших n сомножитель при u_n в левой части (11) возрастает быстрее, чем оценка для суммы в правой части.

Список литературы:

1. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции, 3-е издание. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
2. Тагаева С.Б. Регуляризация и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра 3-го рода в неограниченных областях. – Автореферат … канд. физико-математических наук. – Бишкек, 2015. – 16 с.