НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

NONLOCAL PROBLEM FOR THE LAPLACE EQUATION IN RECTANGULAR DOMAIN

Yuliya Sabitova

candidate of science, assistant professor

Sterlitamak branch of Bashkir state University,

Russia, Sterlitamak

Yuriza Nurgalieva

5th year student of the faculty of mathematics and information technology

Sterlitamak branch of Bashkir state University,

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной статье для уравнения Лапласа решена граничная задача с нелокальным условием. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения задачи. Решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда.

ABSTRACT

In this article for the Laplace equation boundary problem is solved with a nonlocal condition. By spectral analysis of the theorem of uniqueness and existence of solution of the problem. The solution of the problem is constructed as a sum of biorthogonal series.

Ключевые слова: нелокальное условие; уравнение Лапласа; полнота; биортогональный ряд.

Keywords: nonlocal condition; Laplace equation; completeness; biorthogonal series.

Рассмотрим уравнение Лапласа

                                                      1)

в прямоугольной области . Для уравнения (1) поставим следующую задачу.

Задача. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям

                                               2)

                                              3)

                                              4)

где: ,  – заданные достаточно гладкие функции, причем , , , .

Опираясь на работы [1-3], докажем теоремы единственности и существования решения нелокальной задачи.

Теорема 1. Если существует решение задачи (2) – (4), то оно единственно.

Доказательство. Пусть  – решение задачи (2) – (4). Воспользуемся системами функций [2]:

                                     5)

6)

и рассмотрим функции

7)

                                              8)

           9)

Продифференцируем дважды (9) по переменной  под знаком интеграла, учитывая уравнение (1), получим

                        10)

Проинтегрируем по частям 2 раза полученный интеграл

Отсюда заключаем, что  удовлетворяет дифференциальному уравнению . Общее решение последнего уравнения принимает вид

                               11)

В силу условий (4) получим граничные условия

12)

13)

Удовлетворим общее решение (11) граничным условиям (12) и (13) найдем неизвестные постоянные  и :

                        14)

Тогда общее решение (11), с учетом (14), примет вид

                                          15)

Найдем теперь . Дифференцируя (7) дважды по  и учитывая уравнение (1) имеем

Полученный интеграл проинтегрируем по частям

16)

Учитывая условия (3), получим следующую граничную задачу, решением которого будет функция :

                                                                              17)

18)

19)

Общее решение уравнения (17) будет иметь вид

                                                         20)

Учитывая (18) и (19), из уравнения (20) найдем постоянные  и :

                                21)

Подставляя (21) в (20) найдем единственное решение задачи (17) – (19)

                                                    22)

Для нахождения  продифференцируем дважды (7). Учитывая уравнение (1), получим

Интегрируя по частям полученный интеграл, будем иметь

Интегрируя по частям два полученных интеграла и учитывая (7) и (9), получим , получим неоднородное уравнение для функции

                23)

с граничными условиями

            24)

           25)

Общее решение уравнения (23) построим методом вариации произвольных постоянных:

                          26)

Неизвестные функции  и  найдем из системы

Вычислим определитель данной системы и другие вспомогательные определители. Далее по методу Крамера найдем

Интегрируя равенства получим

                            27)

                                 28)

Тогда уравнение (26), учитывая (27) и (28), примет вид

29)

где: функция  определяется равенством

Подставим (15) в функцию , получим

Вычислив интегралы из полученного равенства, имеем

                                                                       30)

Для нахождения  и , удовлетворим общее решение (29) граничным условиям (24) и (25):

Тогда с учетом найденных постоянных  и  общее решение (29) примет вид

31)

Из формул (15), (22) и (31) следует единственность решения задачи (2) – (4), так как если ,  на , то , ,  для  на . Тогда из (6) – (8) имеем

Отсюда в силу полноты системы (6) в пространстве  следует, что функция  в области .

Далее покажем существование решения задачи (2) – (4).

Лемма 1. Для всех  справедливы неравенства:

где:

Лемма 2. Если выполняются условия леммы 1, то справедливы оценки:

Лемма 3. Если  и выполнены следующие условия , , , , , , то справедливы оценки

где:

Теорема 2. Если  и  удовлетворяют условиям леммы 2, то существует единственное решение задачи (2) – (4) и оно представимо в виде суммы ряда

32)

где: функции , ,  определены по формулам (22), (31), (15) соответственно.

Доказательство. Так как системы функций (5) и (6) образуют базис Рисса, то если , тогда функцию  можно представить в виде биортогонального ряда (32), который сходится в  при любом . На основании сходимости функций , ,  и их производных до второго порядка включительно, следует сходимость ряда (32) и рядов из производных первого и второго порядка в замкнутой области .

Список литературы:

1. Лернер М.Е., Репин О.А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметричного уравнения Гельмгольца // Дифференц. уравнения. 2001. – Т. 37, – № 11 – С. 1562–1564.

2. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. – 1999. – Т. 35, – № 8. – С. 1094–1100.

3. Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Об однозначности разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», посвящ. 70-летию акад. Ильина В.А., АН РБ. Стерлитамак. – Уфа: Гилем, 2003. – Т. 1. – С. 213–219.