НОВЫЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

New informative approach to the teaching solving of problems with parameters

Natalia Andraphanova

candidate of Pedagogics, Associate Professor, Kuban State University,

Russia, Krasnodar

Natalya Ognerubova

graduate student of the Informational Education Technologies Department,

Kuban State University,

Russia, Krasnodar

АННОТАЦИЯ

В статье представлен новый информационный подход к обучению решению задач с параметрами. В качестве инструмента решения используется система динамической геометрии GeoGebra как средство обеспечения наглядности работы с понятием «параметр» и поэтапной подготовке к его восприятию при решении задач высокого уровня сложности.

ABSTRACT

In the article is shown new informative approach to the teaching solving of problems with parameters. Dynamic geometry environment GeoGebra is used as a means of providing visibility of work with such term like “parameter” and preparing it gradually for its perception while solving problems of high level.

Ключевые слова: система динамической геометрии, СДГ GeoGebra, исследовательская деятельность учащихся.

Keywords: dynamic geometry environment, SDG GeoGebra, pupils’ research activity.

Решение уравнений и неравенств с параметром - один из сложнейших разделов школьного курса математики. Если при решении обычных уравнений и неравенств у большинства учащихся не возникает вопросов, то уравнения и неравенства с параметрами понимают и решают немногие, о чем свидетельствуют результаты сдачи ЕГЭ по математике. Средний процент выполнения задания с параметрами в 2015 году составил: 1 балл 3,4 %, 2 балла 0,2 %, 3 балла 0,04 %, 4 балла 0,5 % [4, с. 18].

В демонстрационном варианте КИМ 2016 года (профильный уровень) задание 18 - это задание высокого уровня сложности на исследование системы уравнений с параметром. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников включено требование (умение): использовать для решения уравнений и неравенств графический метод, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры [3, с. 2].

Уравнение (неравенство) называется параметрическим, если в нем некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены переменными буквами a, b, c, …, которые называют параметрами. Решить уравнение (неравенство) с параметром - значит указать, при каких значениях параметра существуют решения и найти эти решения.

Задание с параметром по своей сути является алгебраическим и требует использование аппарата алгебры, однако в процессе его решения часто требуется функционально-графическое представление. Функционально-графическое представление задачи - наглядный образ исследуемого объекта, помогающий восприятию самого понятия «параметр».

Хотя изучение функциональной линии начинается в 7 классе и продолжается до окончания школы, исследование функций, особенно с параметрами, для многих учащихся является невыполнимым заданием. Это связано еще и с тем, что само понятие функции является абстрактным и, как показывает опыт, достаточно сложным для восприятия учащимися. Задача учителя состоит в том, чтобы изучение данного вопроса сделать максимально наглядным и понятным, тем более, когда речь идет о функциях с параметрами.

Одним из путей решения данной проблемы является использование систем динамической геометрии (СДГ), которые позволяют изменить традиционные подходы к изучению многих вопросов математики, используя такие возможности программ как наглядность, моделирование, динамику [1, с. 561].

Среди систем динамической геометрии выделим GeoGebra, отличительной особенностью которой является двойное представление объектов: в виде алгебраической и геометрической моделей (geometry+algebra), для каждой из которых выделяется отдельное окно, тем самым подчеркивается неразрывная связь различных разделов математики, связь аналитической конструкции с наглядным представлением объекта.

Кроме этой отличительной особенности системы следует отметить тот факт, что GeoGebra является свободно распространяемым кроссплатформенным программным обеспечением, имеющим русскоязычную версию, а также особый интерес к этой системе исследователей и преподавателей из многих стран мира, внедряющих ее в учебный процесс, в том числе и в образовательных заведениях Российской Федерации.

Использование системы динамической геометрии при построении и исследовании графиков функций необходимо выполнять с первых шагов знакомства с любой функцией, чтобы в дальнейшем задания высокого уровня сложности не вызывали затруднений у учащихся при подготовке и сдаче ЕГЭ [2, c. 24].

Решение уравнений (неравенств) с параметрами - это деятельность учащихся, близкая по характеру к исследовательской деятельности, которая включает в себя постановку задачи, выбор метода решения, формулировку гипотезы исследования, анализ полученных результатов. Эта деятельность подобна научной и отличается только тем, что тематика исследования определяется требованиями школьной программы, а результат исследования обладает новизной только для данного исследователя.

Рассмотрим задание 18 из досрочного варианта ЕГЭ от 28.03.2016 (профильный уровень).

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:

Решение:

1.  Рассмотрим первое уравнение системы.

Область допустимых значений переменной x: .

Преобразуем уравнение:

2.  В результате преобразований первого уравнения получаем систему:

3.  В одной координатной плоскости строим графики двух уравнений.

3.1. Графиком первого уравнения являются следующие линии (рис. 1):

 - прямая, параллельная оси абсцисс;

 - гипербола, область определения которой .

3.2. Так как ОДЗ исходной системы , то данная область выделена цветом на графике и прямая  изображена пунктирной линией, а точки пересечения этой прямой с графиком первого уравнения системы являются выколотыми.

Аналогично, учитывая область определения гиперболы, выделим красной пунктирной линией прямую .

Рисунок 1. График первого уравнения системы

3.3. График второго уравнения  - это семейство прямых, проходящих через начало координат, имеющих переменный угловой коэффициент .

Для построения графика уравнения  воспользуемся возможностями системы динамической геометрии GeoGebra.

3.3.1. Инструмент Ползунок (рис. 2) содержит свободно перемещаемую по некоторой линии точку-бегунок, с которой связана переменная a - параметр уравнения. Перемещая движок ползунка от меньшего значения к большему значению, можно наблюдать за изменением положения прямой  на координатной плоскости и количеством точек пересечения ее с графиком первого уравнения.

Рисунок 2. Инструмент Ползунок

3.3.2. Команда Анимировать (рис. 3) задает анимацию ползунка, автоматически изменяя значение параметра а в пределах, установленных этим инструментом.

Рисунок 3. Команда контекстного меню Анимировать

3.3.3. Для уравнения  зададим свойство объекта Оставлять след, что позволит получить на экране сектор, в пределах которого происходит изменение параметра а (рис. 4).

Рисунок 4. Наглядная модель решения задачи 18

4.  По условию задачи необходимо определить значения параметра а, при которых графики двух уравнений будут иметь ровно два различных решения, что на языке графической модели решения задачи означает две различные точки пересечения (рис. 4).

4.1. Если прямая  будет находиться внутри сектора, границы которого определяются прямой  (выделена на рисунке красной пунктирной линией) и прямой , проходящей через начало координат и точку , то графики будут иметь две точки пересечения, а значение параметра .

4.2. Если прямая  пройдет через точку пересечения графиков уравнений y=3 и  - , то также получится две точки пересечения. В этом случае уравнение прямой , значение параметра .

Ответ: .

Таким образом, представленный информационный подход к обучению решению задач с параметрами заключается в использовании системы динамической геометрии GeoGebra через создание анимационных чертежей как средства обеспечения наглядности работы с понятием «параметр» и поэтапной подготовке учащихся к его восприятию при решении задач высокого уровня сложности при подготовке к Единому государственному экзамену.

Список литературы:

1. Андрафанова Н.В., Губа Н.В. Применение информационных технологий в математическом образовании. Образовательные технологии и общество. 2015. Т. 18. № 4. С. 559–573.

2. Андрафанова Н.В., Закира И.А. Поддержка исследовательской деятельности школьников средствами ИГС. Проблемы и перспективы развития образования в России. 2014. № 30. С. 21–26.

3. Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения единого государственного экзамена по математике. ФИПИ, 2016. – [Электронный ресурс]: http://fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory (Дата обращения 15.04.2016).

4. Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике. – [Электронный ресурс]: http://fipi.ru/sites/default/files/ document/1441039556/matematika.pdf (Дата обращения 15.04.2016).