АКТУАЛЬНОЕ И ВИРТУАЛЬНОЕ О БЕСКОНЕЧНОСТИ И НЕПРЕРЫВНОСТИ

Королев Владимир Степанович

канд. физ.-мат. наук, доц., Санкт-Петербургский государственный университет,

РФ, г. Санкт-Петербург

E-mail: vokorol@bk.ru

ACTUAL AND VIRTUAL ON INFINITE AND CONTINUOUS

Vladimir Korolev

candidate of Physical and Mathematical Sciences,
assistant professor, Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Обсуждаются проблемы бесконечности, непрерывности и вечности в математике, физике и космологии. Рассматриваются гипотезы о строении окружающего мира и границах Вселенной, аксиомы и теории в процессе развития математики. Предлагаются замечания к доказательствам теорем Кантора по теории множеств и утверждений с использованием семантики самопринадлежности в отношении бесконечных множеств чисел при сравнениях их мощности.

ABSTRACT

The problems of infinity and eternity in mathematics, physics and cosmology are discuss. We consider the hypothesis about the structure of the world and the borders of the Universe. Remarks on the proofs of Cantor theorems of the theory of sets and statements with using semantics on self-implements in respect of the countable sets of numbers on comparison their power are offered.

Ключевые слова: гипотезы и теории; модели Вселенной; множества; бесконечность; непрерывность; теоремы Кантора.

Keywords: hypotheses and theories; models of the Universe; sets; infinity; continuous; Cantor theorems.

Существование Интернета и возможности электронных научных публикаций значительно упрощает и ускоряет общение. Это заменяет беседы в философских школах или научных кружках. Развитие современной формы заочных конференций с возможностью обсуждения позволяет почти в реальном времени получать отзыв или критику представленного доклада или статьи от кого-либо совсем неизвестного. Появляются новые возможности проверять свои гипотезы и теории прежде, чем печатать учебники. Взгляд со стороны может быть интересен и полезен.

В древние времена люди научились замечать, осознавать, использовать в своей жизни, передавать другим и создавать новую информацию. Философы размышляли о многих проблемах создавали гипотезы или теории [2; 3; 8]. Делали практические выводы. Позднее смогли придумать средства сохранения информации в наскальных изображениях или передачи другим с помощью алфавита и записи на папирусах или бумажных носителях.

Понятия «бесконечность» и «вечность» принадлежат к числу самых фундаментальных и сложных. Бесконечность – категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ. Первым ввел в математику понятие бесконечно большого и бесконечного малого Анаксагор (V век до н. э.). Он разрабатывал учение о бесконечном множестве качественно определенных элементов материи. Каждый элемент в свою очередь состоит из бесконечного числа более мелких. «В малом не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее» [3].

Первые проблемы бесконечности – вопросы конечности пространства и времени, количества вещей в мире и возможность бесконечного деления. Эти категории стали предметом живейшего интереса и пристального внимания. Время рассматривается в связи с жизнью космоса, движением звезд или планет, а потому порой отождествлялось с движением небосвода.

Вечность есть интервал времени, который содержит в себе любой конечный интервал времени, то есть не имеет ни начала, ни конца во времени.

Философские школы Пифагора [9], Платона и Аристотеля [2] собирали и обсуждали утверждения, разрабатывали гипотезы или новые теории на основе логических построений, удобных определений и аксиом, которые другие принимали на веру без доказательства. Платон мыслил время как категорию космическую: оно творится вместе с космосом, проявлено в движении небесных тел и подчиняется закону чисел, при этом сопрягаются множественное и единое. Аналогично считал, его ученик и последователь Аристотель. Тем не менее время нельзя отождествить с движением, ибо движение может быть быстрее и медленнее, а время нет. Время не есть движение, но не существует и без движения. Математическое время само по себе и по самой своей сущности протекает равномерно и непрерывно. Позднее Ньютон утверждал, что абсолютное время не зависит ни от чего внешнего, его самостоятельность настолько велика, что оно не зависит даже от того, существует или не существует наш мир.

Учение Ньютона об абсолютных времени и пространстве было критически воспринято частью научного сообщества. Пуанкаре считал, что физика должна строиться на следующих представлениях:

«Абсолютного пространства не существует, а мы познаем только относительные движения. Не существует абсолютного времени. Утверждение, что два промежутка времени равны, не имеет смысла и можно принять его только условно. Мы не способны к непосредственному восприятию не только равенства двух промежутков времени, но даже факта одновременности двух событий, происходящих в различных местах. Наша евклидова геометрия есть лишь род условного языка. Мы могли бы изложить факты механики, относя их к неевклидову пространству, которое было бы основой, менее удобной, но столь же законной, как и наше обычное пространство.»

В работе «Последние мысли» Пуанкаре писал [20]: «Объектом науки может быть только то, что измеримо, а измеримое время по существу своему относительно. Отсюда вытекает важный вывод: время и пространство по своему существу инструментально; это содержание определяется свойством измерительных инструментов. Свойства времени – это только свойства часов.»

Для сравнения одинаковых или подобных объектов придумали особые обозначения для меры или количества единиц и упорядоченные множества чисел, которые являются основным объектом арифметики. Например, натуральные числа. Каждое следующее число на «единицу» больше предыдущего. Можно изображать «1» в виде камушка или ракушки на берегу моря. Следующий объект множества получают добавлением еще одной единицы. Используют для нового объекта новое обозначение словами или символами римской, или арабской математики. С их помощью можно распределить, пересчитать и переписать все.

Дальнейшее развитие понятия числа (появление нуля и отрицательных чисел, рациональных и десятичных дробей), способы записи чисел (обозначения, системы счисления) – все это имеет свою богатую историю [8].

Множество рациональных чисел получают с помощью операции «отношение». Результат записывают в виде дроби или отношения числителя к знаменателю [14; 15]. Оказалось, что разные дроби могут соответствовать одному значению с учетом действия сокращения одинаковых множителей. Это действие использует представление чисел в виде произведения сомножителей. Две четверти – это столько же, сколько одна вторая. В математике это так, можно считать одним и тем же количеством «половина» и говорить о равенстве. Но два камешка из четырех не равны одному камешку из двух по своим качественным свойствам.

Таким образом, представление множества рациональных чисел в виде двумерной бесконечной таблицы Кантора или массива дробных чисел вполне оправдано. Сравнение двух множеств (натуральных и рациональных чисел) получается взаимно-однозначным в соответствие с тем алгоритмом, который предложил Кантор [10]. Мы можем точно сказать, под каким номером в новом списке (полученном с помощью натуральных чисел) будет соответствующее число из таблицы рациональных чисел и наоборот.

Понятие вещественного числа прошло свой путь. Пифагорейцы первыми признали необходимость таких чисел [9]. Они уподобляли их геометрическим точкам. Всякая реальная величина (линия, поверхность, тело) могла быть отождествлена с некоторым числом – «количеством» (длина, площадь, объем), которые должны иметь свою единицу измерения.

В поисках такой общей единицы измерения смогли придумать бесконечно делимые величины [8]. Но это привело к затруднениям перед понятиями бесконечного и непрерывного, которое проявилось в некоторых утверждениях и парадоксах Зенона (V век до н. э.). Апории «Ахилл и черепаха» и «Дихотомия» противостоят идее бесконечной делимости.

Понятие функции базируется на понятии действительного числа. Оно окончательно сформировалось только в XIX в. Была установлена логическая связь между бесконечным множеством чисел и точками прямой, которая привела к формальному обоснованию идей Декарта и его утверждений о рациональности в математике и механике.

Множество – это набор или совокупность каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех свойством. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» [10]. Для бесконечных множеств нужно главное: придумать правило или порядок следования. А затем организовать процесс для отображения и проверки, даже если это будет продолжаться бесконечно [15].

Попытка сравнить рациональные, алгебраические, трансцендентные или действительные числа, чтобы определить, каких чисел будет «больше» – периодических бесконечных и конечных десятичных дробей (для записи рациональных чисел) или произвольных действительных чисел, которые представляются десятичной бесконечной непериодической дробью, то возвращение к проблеме, которая была решена, хотя попытки получить новые доказательства продолжаются [1; 14; 23; 28; 29].

Парадокс «Стрела» основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов (точек и моментов). Аристотель подверг это утверждение критике. Он различал бесконечность относительно сложения и деления. Рассматривая работы своих предшественников, он стремился выяснить: какие самые общие определения сущего они давали. Как они понимали суть вещей, самые первые начала и причины всего?

Сначала признавали причинами то, из чего все происходит и во что все превращается (материю), и тот субстрат изменения, который остается неизменным во всех видимых изменениях. Аристотель указывает, что существует причина изменения, которую нельзя отожествлять с самим изменением. Движение не сводится к веществу. Оно имеет начало, отличное от вещества, или, точнее, имеет нематериальное начало.

Аристотель [2] находит, что есть действия, которые обусловливаются не своим началом, а своим концом, и объясняются только из своего конца, составляющего их цель. В наше время это привело к появлению теории управления. Всякое разумное человеческое действие объясняется из своего конца, из своей цели. Из материи не объясняется форма материи, ее вид или род, из субстрата изменения не объясняется та окончательная форма, которую он получает. Например, статуя есть форма меди, медь – форма или вид материи.

Аристотель был озабочен проблемой существования «перводвигателя» (но не Бога), приводящего в круговое движение звездное небо и порождающего все прочие движения. Не простое тело или какие-либо элементы будут для него первоначалами, а именно перводвигатель является причиной Вселенной. Аристотель постоянно намекает на него, говоря, что его существование есть что-то само собой разумеющееся.

Многие признавали Вселенную единой как материю, считали телесным и непрерывным, бесконечно протяженным. Они указывали элементы только для тел. Точно так же, пытаясь указать причины возникновения и уничтожения, они отвергали причину движения.

Согласно Аристотелю, конечный продукт, который надо получить, и форма, которую нужно развить в процессе роста, так или иначе присутствуют в самом начале (в семени), при правильном питании, вырастающем в полноценное растение. Говоря языком современной науки, генетический код семени дает набор направлений для его роста и развития. Мы можем называть это программирующими генами или управляющим потенциалом – это не имеет большого значения для нашего понимания происходящего.

Гипотезы о строении окружающего мира и границах Вселенной были в работах многих философских или научных школ древней Греции и Рима, Европы и России в средние века и позднее: Платон, Аристотель, Аристарх Самосский, Птолемей и Гиппарх [3], Галилей и Коперник [13], Кеплер и Ньютон [19], Ломоносов и Эйлер, Лобачевский и Менделеев [16].

Например, М.В. Ломоносов писал в стихотворении:

«Я долго размышлял и долго был в сомненье,

Что есть ли на землю от высоты смотренье;

Или по слепоте без ряду всё течет,

И промыслу с небес во всей вселенной нет».

Те, кто признавал мир как единое, непрерывное и бесконечное образование, указывали на материю и с разных сторон изучали элементы тел, как основу всего существующего, забывая объяснить причины возникновения и изменения или причины движения.

Взаимодействие физики и математики в работах многих последователей привело к созданию новых представлений о вечности и бесконечности, а также породило новые теории о возникновении и развитии Вселенной: А. Пуанкаре (он одним из первых разработал и опубликовал [5; 20] основы теории относительности), А. Эйнштейн [28], А.А. Фридман [22], Г.А. Гамов [8], С. Хокинг [26] и другие [7; 18; 21]. В общей теории относительности Эйнштейна делается вывод, что пространство-время возникли в сингулярной точке Большого Взрыва, а свой конец должно встретить в сингулярной точке Большого Схлопывания.

Что в действительности происходило на очень ранних и может происходить на очень поздних стадиях развития Вселенной? Есть ли действительно у Вселенной начало и конец?

Математические модели возможной структуры пространства и времени пытаются подтвердить или проверить астрофизики. Находят косвенные признаки для момента зарождения всего существующего мира из абстрактной или воображаемой (виртуальной) точки «первоматерии».

При этом нарушаются прежние представления других великих ученых, что материя и энергия не исчезает и не возникает из ничего. Просто происходило возможное преобразование формы или структуры, переход из одного состояния в другое [18]. Но все это было всегда и будет вечно. Иначе снова возникает вопрос: что было до начала и что может быть после «конца света»?

Если Вселенная когда-то вдруг образовалась, это должно было бы происходить во взаимодействии материи–пространства–времени–информации, которые начинали бы формировать первоначальную структуру и создавать основные элементы или новые кирпичики рождающегося мира [13; 30].

Если Бог сотворил мир, то кто и когда сотворил его?

Если бесконечное разнообразие Вселенной появилось из первоматерии, то откуда она появилась и когда? Что породило структуру пространства и времени, материи, энергии, информации?

Наблюдая природу на Земле и в космосе, получили много возможностей для описания отдельных сторон и проявлений, для открытия законов и разработки теорий. Но создать «единую теорию поля» пока не получается. Были попытки наделить Вселенную «эфиром» или межзвездным газом, которые заполняют все пространство, но позволяют перемещаться элементарным частицам или скоплениям в виде звезд и галактик, планет и комет. Сейчас предлагают темную материю и энергию или считают «фундаментальными кирпичиками материи не элементарные частицы, а струны» [6] с особыми свойствами существования материи. «Струны похожи на маленькие резиновые ниточки, очень тонкие и невероятно упругие. Электрон, например, представляет собой струну, вращающуюся и вибрирующую в столь малом масштабе, что обнаружить эту вибрацию сложно даже при помощи современных ускорителей».

Находясь внутри теории или учения невозможно доказать его непреложную истину или опровергнуть. Человек религиозный не может доказать другим, что «Бог есть». Он может просто верить в это. Атеист не может доказать, что бога нет. Невозможно доказать, что нет того, что им не определено.

Можно разрабатывать непротиворечивые теории или учения и даже пытаться применять это на практике. Можно вообразить кривизну трехмерного физического пространства в «других измерениях» многомерного мира или заметить это в параллельных Вселенных. Но трудно увидеть или измерить это, находясь внутри. На компьютерах можно создавать виртуальный мир и моделировать процессы, стараясь находить подтверждение на практике. Только не стоит забывать об ограничениях или условиях реализации.

В начале ХХ века обнаружили явление разбегания галактик благодаря красному смещению в спектре их излучения, для которого установили линейную зависимость скорости от расстояния. Вскоре стали объяснять это следствием Большого Взрыва при образовании Вселенной. Сейчас утверждают, что галактики разбегаются ускоренно, и даже получили за открытие премию, хотя пока не нашли причину такого поведения.

Могу предложить свою гипотезу, если этого еще никто не делал:

Утверждение. «Ускоренное разбегание Вселенной является результатом вращения сферического слоя S³ или движения многообразия D³ в n-мерном пространстве-времени Rⁿ , в котором располагается вся видимая реальная часть Вселенной».

Это позволит определить радиус кривизны по законам классической механики [19; 26], если будем знать зависимость ускорения от взаимных расстояний между галактиками.

Главное здесь, что наш мир может находиться в более общем (5, 10 или 26-мерном) пространстве и двигаться в неинерциальной системе, которую мы пока считаем абсолютной. Появляются силы инерции, которые определяют относительное ускоренное разбегания всех звездных систем. Конечно при условии, что в этом виртуальном пространстве продолжают действовать известные нам принципы. Наглядно это можно представить себе, как движение слоя сливок на поверхности чашки кофе, которое раскрутили. Особенно, если на эти сливки бросили шоколадные крошки. Наблюдателю будет казаться, что они разбегаются. И чем дальше от центра, тем быстрее. Да и ускорение можно заметить. Аналогично этому для пассажира автобуса или поезда, если он крепко держится за поручни, можно будет заметить, что некоторые предметы начинают ускоренно двигаться при крутом повороте или торможении транспорта.

А параллельные миры, о которых говорят фантасты и другие мечтатели, могут оказаться не такие уж параллельные. Они могут иногда как-либо и где-то пересекаться с нами, двигаясь по своим законам. Многообразие природы окружающего мира еще не полностью проявилось для нас. Если Вселенная будет существовать бесконечно долго, то человечеству будет чем заняться.

Многие проблемы бесконечности и непрерывности связаны с обобщениями в математике. Появление теории множеств Кантора [10; 11] в свое время позволило решить многие проблемы, получило развитие и применение во многих направлениях науки, но было встречено критикой со стороны Пуанкаре и других ученых. В том числе Пуанкаре спрашивал: «Почему мощность континуума не такая же, как и мощность целых чисел?» [20].

Это приводило к попыткам доказать или опровергнуть теоремы Кантора и другие результаты теории множеств, появлению новых течений и логически идеальных теорий. В том числе работ с «использованием семантики самопринадлежности» [24], которые позволяют своим внутренним языком поправлять предшествующие теории. При этом иногда такие учения опровергают не только утверждения Кантора о мощности множеств на основе диагонального метода, но и сами себя. В статье [23] можно прочитать следующее.

«Теоремы Гёделя доказываются достаточно кратко».

«Теорема 1. В предикативной системе не доказуема ее непротиворечивость».

«Теорема 2 (о неполноте). Предикативная теория не полна».

«…эти утверждения в их выводе ссылаются на себя самих».

«… теорема 1 о том, что в предикативной теории не доказуема ее непротиворечивость, доказана».

Это замечательно. Только ничего здесь не доказано.

Кроме красивых слов пока ничего не видно.

«Следующие утверждения, рассматриваемые без использования диагонального метода, связаны с отношением счетности и несчетности множеств».

«Для объектов натурального ряда (натуральных чисел) свойство структурной изоморфности, очевидно, не выполняется, одни натуральные числа другим неизоморфны. Следовательно, самоподобные объекты несчетны».

«Теорема 4. Количество точек на прямой несчетно».

В работах предлагается такая иерархия мощности множеств:

• пустое множество,
• конечное множество,
• счётное множество действительных чисел,
• множество его подмножеств (тоже счётное),
• недостижимые множества (континуальные),
• множество всех множеств наибольшей бесконечной мощности.

Но «утверждения о несчетности числа точек на прямой» не доказаны, поскольку не приводится явного определения понятий для математической точки и прямой кроме «интуитивного».

Конечно, не все из реально существующего (актуального) или воображаемого (виртуального) можно точно обозначить или описать, хотя в математике есть много полезных понятий и определений [17], кроме просто красивых гипотез и теорий. В аналитической геометрии прямая и точка определяются с помощью действительных чисел (элементов множества вещественных чисел) и элементов аффинного и векторного пространств, которые связывает алгоритм ассоциированности.

Кроме того, в указанной статье появляется новое противоречие между счётным множеством действительных чисел и объектов натурального ряда (натуральных чисел).

В классической физике элементы пространства и времени считают бесконечно малыми (то есть не имеющими размера) и непрерывными в своем единстве при формировании прямой, кривой, плоскости или более сложной поверхности. След, который оставляет мел на поверхности школьной доски, можно представить не имеющим размера или непрерывным. Можно считать звезды просто светлыми точками на небосводе, а луч света, который летит к нам, называть реальной, идеальной и непрерывной прямой. Но сейчас известны огромные размеры звезд, а луч света представляет собой поток элементарных частиц – фотонов. Позднее трактовали множество наблюдаемых частиц как кирпичики пространства или создавать кванты времени, пренебрегая непрерывностью.

Если на прямой «выколоть» одну точку, то потеряет ли она свою непрерывность так же как график при изображении кусочно-непрерывных функций с разрывами первого рода, которые иногда считают устранимыми? Как можно удалить то, что не имеет размера? Как можно заметить, что из отрезка что-то удалили? Фактически рассматривается отображение и подмена понятий множества точек на множество чисел. Можно ли точки считать реальными объектами пространства или это всего лишь виртуальные условные границы выделяемых множеств на прямой? Свойства виртуальных точек нельзя переносить на реальные объекты, хотя в математических моделях они помогают в исследованиях.

Классическая и небесная механика может рассматривать в качестве материальных точек планеты Солнечной системы или их спутники. Но иногда требуется все-таки учитывать их размеры, замечать вращение относительно воображаемой точки под названием центр масс тела при распределении материи в некоторой области пространства.

Если на прямой выделить отрезок между двумя различными точками и удалить, то разрыв заметен. Прямые или кривые линии также не имеют размера под названием «толщина», а являются лишь условными границами выделяемых множеств на плоскости или в пространстве.

В квантовой физике придумали много разных сложностей, так что даже трудно бывает разобраться и представить себе: как это частица одновременно здесь и везде, да еще связана с себе подобными мгновенными сообщениями, то есть может передавать информацию быстрее скорости света. Но говорят, что это позволит создать супермощный квантовый компьютер.

В астрофизике для описания наблюдаемых процессов движения звездных скоплений придумали темную материю, которую невозможно увидеть, хотя предполагается, что ее многократно больше той материи, которую мы сейчас наблюдаем и можем исследовать. С помощью темной материи и такой же темной энергии пытаются обосновать некоторые особенности или странности в наблюдаемом движении галактик, используя математическое моделирование и даже графическое изображение процессов, которые происходили за прошедшие миллиарды лет.

Возможно, что вся наша действительная материя в галактиках и звездных системах как-то преобразовывается из невидимой темной материи или залетает из параллельных миров, продолжая обновление всей Вселенной. Только необходимо создать нужные инструменты или провести какие-то эксперименты, чтобы обнаружить не только бозон Хигса, но и частицы этой темной материи. Либо установить новые законы существования и новые модели взаимодействия элементарных частиц материи на глобальном уровне.

Создание новых гипотез или формирование логически непротиворечивых теорий полезно и даже необходимо. В процессе обсуждения и развития в разных направлениях фундаментальных исследований они могут давать замечательные результаты, способствуя ускорению или совершенствованию науки, а также создавать новые возможности практического применения. Может быть такие философские виртуальные беседы помогут появиться новым размышлениям и актуальным открытиям.

Список литературы:

1. Алатин С.Д. О рациональных числах, «диагональной теореме» и о теории множеств вообще // Естественные и математические науки в современном мире. Сб. науч. тр. № 7(31). Новосибирск: АНС «СибАК», 2015. – С. 6–21.
2. Аристотель. Сочинения. – М., 1975.
3. Боголюбов А.Н. Математики, механики. Биографический справочник. – Киев: изд. Наукова думка, 1983. – 639 с.
4. Буфеев В.А. Кто и как создал теорию относительности. История создания и развития понимания теории относительности. – М., 2015. – 234 с.
5. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. – М.: Наука, 1965. – 128 с.
6. Габсер С. Маленькая книга о большой теории струн. В поисках принципов устройства Вселенной. – СПб: Питер, 2015. – 202 с.
7. Гамов Г.А. Создание Вселенной (The Creation of the Universe). – Viking Press, 1952.
8. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1986. – 432 с.
9. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. – Л.: Наука, 1990. – 191 с.
10. Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – 431 с.
11. Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. – М.: Мартис, 1999.
12. Коперник Н. О вращении небесных сфер. – М.: Наука, 1964.
13. Королев В.С. Структура окружающего мира при образовании и развитии Вселенной // Актуальные направления научных исследований: от теории к практике. Материалы междунар. науч.-практ. конф. – Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2014. – С. 188–192.
14. Королев В.С. Как пересчитать все действительные числа: комментарии к доказательствам теорем Кантора // Естественные и математические науки в современном мире. 2015, № 26. – С. 24–31.
15. Королев В.С., Королева О.П. главные проблемы теории множеств // Инновации в науке. 2015, № 10. – C. 14–20.
16. Люди русской науки // Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники. (Математика. Механика. Астрономия. Физика. Химия). Сб. статей под ред. И.В. Кузнецова. – М.: изд. Физматлит, 1961. – 600 с.
17. Математическая энциклопедия. В 5 томах. – М.: изд. «Советская энциклопедия», 1977–1984.
18. Николаев С.А. Эволюционный круговорот материи во Вселенной. 5-е изд. – СПб, 2009. – 304 с.
19. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. / Перевод с латинского и комментарии А.Н. Крылова. – М.: Наука. 1989. – 687 с.
20. Пуанкаре А. О науке. / Перевод с французского под ред. Л.С. Понтрягина. – М.: Наука, 1990. – 736 с.
21. Соколовский Ю.И. Теория относительности в элементарном изложении. – Харьков, 1960. – 174 с.
22. Фридман А.А. Мир как пространство и время. 2-е изд. – М.: Наука, 1965.
23. Чечулин В.Л. О счётности простых деревьев и следствиях из неё // Вестн. Перм. ун-та. Серия матем, мех, информ. 2010. Вып. 4. – С. 20–23.
24. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). – Пермь: изд. ПГНИУ, 2012. – 125 с.
25. Хокинг С. Краткая история времени. От большого взрыва до черных дыр. – СПб: Амфора, 2007. – 231 с.
26. Эйлер Л. Механика или наука о движении в аналитическом изложении. – М. – Л.: ОНТИ. 1938. – 500 с.
27. Эйнштейн А. Собрание сочинений в 4-х томах. – М.: Наука, 1967.
28. Baker M. Uncountable Sets and an Infinite Real Number Game. // Mathematics Magazine. USA, 2007. – P. 377–380.
29. Korolev V.S. Reflections on power numerical sets. As recounted all real numbers. // Studying the nature of matter and physical fields in the search for ways of the fundamental scientific gnoseology problems solution – London: IASHE, 2015. – P. 41–44.
30. Korolev V.S. Reflections about a structure and possible development of the Universe. // Variety of interaction forms of material objects through a prism of the latest analytical concepts. – London, 2015. – P. 25–27.