ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ДОДЕКАФОНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

GENERALIZATION OF THE PRINCIPLES OF DODECAPHONY USING ELEMENTS OF SET THEORY

Semyon Bryatov

student of the Institute Of Computer Science, Mathematics And Electronics, Samara University,

Russia, Samara

Anton Vlasov

student of the Institute Of Computer Science, Mathematics And Electronics, Samara University,

Russia, Samara

Vladimir Tishin

аssociate Professor at the Department of Applied Mathematics, Samara University, Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

Целью работы является обобщение принципов, используемых в додекафонии, для октав, разбитых более чем на 12 микроинтервалов. Для достижения нашей цели мы рассмотрим конструкции классической додекафонии и применим их для октавы, состоящей из 24 четвертитонов. Как итог работы, мы докажем, что рассмотренные нами принципы актуальны и для серий с произвольным количеством разбиений октавы на микроинтервалы.

ABSTRACT

The objective of this work is generalization of the principles, used in twelve-tone technique, for octave, divided more than into 12 steps. To achieve our goal we consider the structure of classic dodecaphony and apply them for octave, divided into 24 equal steps. As a result, we will prove that these principles are also relevant for series with an arbitrary number of splits the octave into microintervals.

Ключевые слова: додекафония.

Keywords: dodecaphony.

В начале XX века композитор Арнольд Шёнберг в сотрудничестве с «нововенской школой» разработал метод сочинения музыки из серии неповторяющихся звуков. Этот метод был назван додекафонией, что в переводе с греческого означает двенадцатизвучание. В основе этого способа лежит построение композиции непосредственно из единственного первоисточника – набора из 12 полутонов равномерно темперированной октавы. Такой набор называется серией или рядом и состоит из выбранных композитором интервалов [4, стр. 34]. В серии соблюдаются следующие правила: каждый звук повторяется единожды, порядок звуков является строго определённым. Принцип использования серии заключается в постоянном её повторении, а также её производных форм на протяжении всей композиции.

Выделяют четыре формы (модуса) серии: основную, ракоходную (звуки серии звучат с конца до начала), инверсию (заменяются все интервалы на их обращения) и ракоходную инверсию (комбинация второй и третьей формы; совпадает с инверсией ракохода с точностью до транспозиции – относительного высотного положения серий). Для удобства, обозначения сокращают по первым звукам латинских названий: прима – P, ракоход – R, инверсия – I, ракоходная инверсия RI.

Стоит обратить внимание, что принципы классической додекафонии рассматриваются именно при разбиении октавы на 12 полутонов. В то же время, в ряде музыкальных направлений, к примеру, в античной музыке и музыке некоторых стран востока наблюдается присутствие интервалов меньше полутона. В частности, арабский звукоряд содержит от 14 до 18 ступеней, а в некоторой музыке других восточных стран, а также в блюзе, можно заметить наличие четвертитонов, т.е. разбиения октавы уже на 24 отдельных звука [2, стр. 18].

Таким образом, в ходе нашей работы, рассмотрев алгоритмы построения всех производных форм серий классической додекафонии, мы сможем доказать, что они актуальны также и для разбиения октавы, более чем на 12 микроинтервалов. Такой подход даст нам возможность применять конструкции, используемые в додекафонии, в более широком круге музыкальных направлений.

Математически серию удобно представить в виде набора чисел от 0 до N, где каждому звуку по порядку присвоен свой номер, а N является числом используемых звуков в серии, уменьшенным на единицу, так как для удобства индексации, мы начинаем счёт с 0. Так, для классической додекафонии, при условии использования всех 12 звуков серии, 0 будет являться «до», 1 – «до-диез», 2 – «ре», 3 – «ми-бемоль», 4 – «ми», 5 – «фа», 6 – «фа-диез», 7 – «соль», 8 – «ля-бемоль», 9 – «ля», 10 – «си-бемоль», 11 – «си», а 12-й звук будет равен 0, т.е. снова «до». В нашем же случае, для упрощения работы, мы будем использовать частотно-индексное представление звуков, исходя из формулы для получения значений частоты звуков произвольного разбиения октавы:

                                             (1),

где  – частота n-ого звука октавы,  – номер звука в октаве(начиная от 0),   – число разбиений октавы,  – частоты начал выбранной октавы и октавы, следующей за ней. При этом, как и положено при классическом разбиении октав, звуки соседних октав с одинаковым индексом положения внутри своей октавы отличаются по частоте в два раза. Таким образом, для того, чтобы произвести транспозицию звука из одной октавы в другую, следует воспользоваться формулой:  (2), где  – частота нового звука,  - исходная частота звука в октаве, а k – коэффициент транспозиции вида {…, , 1, 2, 3...}(выбирается, исходя из положения выбранных октав относительно друг друга).

В качестве примера рассмотрим следующую серию S = (2, 3, 6, 7, 9, 10, 0, 1, 4, 5, 8, 11). Для более удобного математического представления определим её как множество пар S = {(n, h)}, где n – номер звука в серии, а h – высота звука (соответствующая индексу её расположения в октаве). Таким образом, нашу последовательность можно привести к виду S = {(0,2), (1,3), (2,6), (3,7), (4,9), (5,10), (6,0), (7,1), (8,4), (9,5), (10,8), (11,11)}.

Теперь представим правила построения производных форм начальной серии. Тогда для серии S = {(n, h)} ракоход запишется в виде R(S) = {(-n, h)}, инверсия I(S) = {(n, -h)}, а инверсия ракохода или ракоход инверсии будут RI(S) = IR(S) = {(-n, -h)}. Транспозицию на t микроинтервалов определим выражением Т(t) = (n, h  t).

Расширением модели классической додекафонии является такое преобразование, как ротация, сдвигающее исходную серию вправо или влево на с позиций индексов положений звуков в серии. Она может быть представлена в виде С (с)(n, h) = (n  с, h).

Тогда наша двенадцати звуковая серия S будет образовывать посредством полученных выражений соответствующие производные формы:

R(S) = {(0,11), (1,8), (2,5), (3,4), (4,1), (5,0), (6,10), (7,9), (8,7), (9,6), (10,3), (11,2)};

I(S) = {(0,2), (1,1), (2,10), (3,9), (4,7), (5,6), (6,4), (7,3), (8,0), (9,11), (10,8), (11,5)};

RI(S) = IR(S) = {(0,5), (1,8), (2,11), (3,0), (4,3), (5,4), (6,6), (7,7), (8,9), (9,10), (10,1), (11,2)}.

Для транспозиции выберем число 2, а для ротации -1:

T(2) = {(0,4), (1,5), (2,8), (3,9), (4,11), (5,0), (6,2), (7,3), (8,6), (9,7), (10,10), (11,1)};

C(-1) = {(0,3), (1,6), (2,7), (3,9), (4,10), (5,0), (6,1), (7,4), (8,5), (9,8), (10,11), (11,2)}.

Несложно догадаться, что данные преобразования подойдут и для разбиения октав на любое число N микроинтервалов. Для наглядности, мы написали программу-конвертер, получающую на вход серию с заданным разделением октав и определённым пользователем количеством звуков. Программа преобразует введённую серию посредством описанных выше алгоритмов. Предположим, что мы являемся любителем восточной музыки и решили немного поэкспериментировать. Для этого, мы выберем разбиение октавы на 24 микроинтервала, что сделает каждый отдельный звук в нашей серии четвертитоном, по канону музыки выбранного нами направления. Исходную серию можно задать самостоятельно, но в контексте нашей работы, нам важна именно математическая сторона вопроса, поэтому мы воспользовались генератором псевдослучайных чисел и получили серию вида S = P = {(0,6), (1,7), (2,18), (3,0), (4,9), (5,14), (6,22), (7,3), (8,11), (9,19), (10,21), (11,2), (12,12), (13,8), (14,17), (15,4), (16,5), (17,13), (18,10), (19,1), (20,23), (21,16), (22,15), (23,20)} (напоминаем, что буква P в данном случае обозначает “приму” или “исходную серию”). Далее, используя соответствующие кнопки, мы получили все рассмотренные нами выше возможные варианты форм исходной серии. Взглянем на результаты:

Рисунок 1. Prima                           Рисунок 2. Ракоход

Рисунок 3. Инверсия                     Рисунок 4. Инверсия ракохода

По горизонтали расположены индексы положения звуков в серии, а по вертикали – индексы высоты звука в текущей серии (см. формулу 1).

При транспозиции данной серии, допустим, на две высотные позиции вниз, и ротации вправо на три временные позиции на выходе получаем:

Рисунок 5. Транспозиция                        Рисунок 6. Ротация

Как видно из результатов эксперимента, классические преобразования додекафонии являются актуальными и для случаев с разбиением октавы более чем на 12 полутонов. Неважно, какое число N для разбиения мы выберем, алгоритм будет работать для всех случаев. Однако, следует сказать, что человеческий слух имеет свои пределы. При достаточно большом разбиении октавы нам будет очень трудно различать отдельные звуки серии, если они будут высотно расположены близко друг к другу. А также, некоторое звучание может, в итоге, показаться нам крайне неестественным из-за сходства звуков выбранного разбиения октавы со звуками, полученными при классическом разбиении октавы на 12 микроинтервалов. Но тут уже в силу входит дело привычки: знакомое звучание будет всегда казаться нам более естественным. Однако, именно выход за рамки привычного и является основным двигателем музыки, благодаря которому, человеческий разум и изобрёл такой огромный набор музыкальных направлений.

Вывод

На основе полученных результатов, мы доказали, что можем использовать принципы классической додекафонии для произвольного разбиения октавы, создавая мелодии из всевозможных комбинаций исходных форм серий и их производных. Данный подход откроет всем любителям музыки широкий спектр возможностей для экспериментов, а также поиска новых необычных музыкальных направлений.

Список литературы:

1. Бутилов В. Компьютер и музыкальная акустика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.comprice.ru/logovo/2400_1.phtml (дата обращения: 09.04.2017)
2. Мазель ­Л. А. О путях развития языка современной // «Советская музыка» – 1965. – № 8 – стр. 17.
3. Tильман И. О додекафонном методе композиции // «СМ» – 1958 – №11
4. Холопов Ю. Н. Кто изобрел двенадцатитоновую технику // Проблемы истории австро-немецкой музыки. Первая треть XX века. Сб. трудов Института им. Гнесиных М – 1983. – с. 34-58.