МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ РЕМОНТА И СОДЕРЖАНИЯ ДОРОЖНОГО ПОЛОТНА

MODEL OF DYNAMIC PROGRAMMING FOR PLANNING OF REPAIR  AND AINTENANCE OF THE ROADWAY

Olga Yarkova

docent, candidate of  Economics  Science, Associate Professor at the Department of Mathematical Methods and Models in the Economy, Orenburg State University,

Russia, Orenburg

Maria Gupalenko

graduate student of  "Economic", Orenburg State University,

Russia, Orenburg

АННОТАЦИЯ

Планирование капитального ремонта, ремонта и содержания автомобильных дорог, а также своевременное их проведение позволит увеличить срок эксплуатации дорог и оптимизировать расходы. Предлагаемый подход, основанный на модели динамического программирования, направлен на определение оптимальной периодичности выполнения работ по ремонту и содержанию, при которой итоговые затраты за плановое время эксплуатации дорожного полотна будут минимальны.

ABSTRACT

Planning for the capital repair, repair and maintenance of highways, as well as their timely implementation will allow to increase term of operation of highway and to optimize costs. The proposed approach is based on a model of dynamic programming to determine the optimal frequency of performance of works on repair and maintenance where the total costs for the planned operation of the roadbed will be minimal. 

Ключевые слова: динамическое программирование; план ремонта дорог;  содержание дорог.

Keywords: dynamic programming; plan of repair of roads; maintenance of roads.

Одним из основных мероприятий, обеспечивающих сохранение дорожного полотна является своевременного проведение ремонтно-восстановительных работ. Неэффективная система планирования ремонтно-восстановительных работ приводит к преждевременному износу и увеличению затрат на эксплуатацию дорожного фонда. Планирование капитального ремонта, ремонта и содержания автомобильных дорог [2], а также своевременное их проведение позволит увеличить срок эксплуатации дорог и оптимизировать расходы. Для решения задач такого рода, как правило, применяют модели динамического программирования.

Применению динамического программирования к планированию  работ в различных отраслях посвящено большое количество научных работ. Так, в работе Баркалова С.А. [1] рассмотрена постановка задачи планирования ремонтных работ в автодорожной отрасли, направленная на снижение затрат и ущерба от проведения мероприятий, для различных видов накопления ресурсов. В работе Сутягиной Н. И. [7] формулируется задача динамического программирования, используемая для разработки оптимального плана работы крестьянско-фермерского хозяйства. В работе Павлова О.В., Рясной Т.Н. [3] сформулирована и решена задача планирования на этапе освоения нового изделия при динамическом снижении трудоёмкости. В работе Ростовой Е. П. [6] метод динамического программирования предлагается применить для управления рисками на предприятии, в работе Поповой О.Н., Лукина А.Ю. [4] для планирования текущих ремонтных и капитальных работ в коммунальном хозяйстве, в работе Раменской А.В. [5] - для планирования стратегии эксплуатации норийных установок мельничного цеха. Несмотря на большой объем и значимость проведенных исследований в указанной области тема оптимизации планов проведения работ на основе моделей динамического программирования является недостаточно проработанной.

Для решения задачи  планирования эксплуатации автомобильных дорог адаптируем задачу о замене оборудования. В качестве целевой функции выступают затраты на эксплуатацию и содержание дорожного полотна. Будем считать, что решение о ремонте (или содержании) дорог выносится в начале каждого промежутка эксплуатации. В качестве основной характеристики дороги рассматривается ее износ, который характеризуется коэффициентом текущего износа K^t,  - доля дороги подвергшаяся разрушению к началу промежутка эксплуатации t. 

Процесс эксплуатации рассматривается как n-шаговый, каждому шагу соответствует один год эксплуатации. Управления на каждом шаге характеризуются качественными признаками: X^сод - содержание дороги в течении года, предусматривающее ямочный ремонт, устранение деформаций и повреждений покрытий, исправление кромок покрытий, заливка трещин на асфальтобетонных покрытиях, восстановление и заполнение деформационных швов;  Х^ремонт - ремонт дороги, предусматривающий частичное восстановление дорожного покрытия (к примеру, асфальтирование полотна поверх старого) и содержание дороги в течении года; Х^{кап_ремонт} - капитальный ремонт дороги, предусматривающий снятие старого дорожного покрытия на всем протяжении участка, укладку нового дорожного полотна и содержание дороги в течении года.

Параметр состояния - износ дорожного полотна, в начальный момент времени имеет некоторое фиксированное значение K⁰, определяемое экспертами. Уравнения состояния зависят от управления:

; ,            (1)

где r - доля дорожного полотна которую восстановили;  - коэффициент износа дорожного полотна за год.

В качестве показателя эффективности шага выступают затраты на эксплуатацию дороги:

                 (2)

где    h -ширина участка дороги; l - длина участка дороги; z^сод - затраты на содержание 1 м² дороги; z^ремонт - затраты на ремонт 1 м² дороги; z^{кап_ремонт} - затраты на капитальный ремонт 1 м² дороги.

Уравнения Беллмана имеют вид:

;  ,       (3)

где   - условное оптимальное управление на t-м шаге.

Исходными данными для построения математической модели планирования проведения работ по капитальному ремонту, ремонту и содержанию являются зависимости развития физического износа дорожного полотна и значение доли восстановленной части дорожного покрытия после проведения частичного ремонта.

Оценка оптимальной продолжительности эксплуатации дорожного полотна зависит от предельно допустимого физического износа, обеспечивающего требования безаварийной эксплуатации: до 10 % износа - удовлетворительное состояние, при котором проводятся работы по содержанию дороги; 10 - 40% износа - состояние, при котором требуется проведение частичного ремонта дорожного полотна; более 40% износа - аварийное состояние, требующее проведения капитального ремонта. Приведенная градация положена в основу функции штрафа, взимаемого по окончании планового периода (монотонно возрастающая в области определения функция). Так, к примеру, при износе дорожного полотна 40% взимается штраф в размере стоимости капитального ремонта и, далее, возрастает по мере увеличения износа полотна.

Подробнее продемонстрируем реализацию модели на примере составления плана ремонтно-восстановительных работ на два года для асфальтированного участка дороги "Подъезд к пос. Шахтный от а/д Оренбург - Соль-Илецк - Акбулак - гр. Республики Казахстан" (K⁰=0,2; K^износ=0,06; h=7м.; l=5430м.; z^сод = 79,22 руб.; z^ремонт = 192,786 руб.; z^{кап_ремонт}= 453,15 руб.; r=0,4).

Геометрическая интерпретация задачи: по оси абсцисс откладывается номер шага t, по оси ординат – коэффициент износа дорожного полотна ; положение (, t) на плоскости "время-износ" характеризует начало t-го года эксплуатации дорожного полотна с коэффициентом износа . Под каждым отрезком,  соединяющим состояния  (, t) и (, t+1) записаны управления, над отрезком затраты, связанные с этим управлением, которые рассчитываются по формулам (2). В верхнем блоке каждого состояния указан износ дорожного полотна при соответствующем управлении. График переходов состояний на t-ом шаге  управления показан на рисунке 1.  Начальное состояние соответствует точке S(K⁰,0), конечное - точкам S(K_i ;T), где T - плановый период, т.е. количество лет на которое составляется план ремонтно-восстановительных работ.

Рисунок 1.  График переходов состояний на t-ом шаге

На первом этапе, начиная с состояния, в начальный момент времени характеризуемого износом K⁰, заполняются верхние блоки состояний, дуги переходов помечаются управлением и затратами. Например, при начальном износе K⁰=0,2 возможны три управления: «капитальных ремонт», который сопровождается затратами в размере 17314566 рублей и через год износ дорожного полотна будет равен 0.06; «ремонт», который сопровождается затратами в размере 3382791 рублей и через год износ дорожного полотна будет равен 0,18; «содержание», при котором затраты составят 692565 руб. и износ возрастет до 0,26. Далее, аналогично, формируется граф  для второго  года эксплуатации, при этом для каждого из состояний к концу первого года эксплуатации рассчитывают затраты и износ при всех возможных вариантах управления. Граф состояний модели для рассмотренного примера приведен на рисунке 2.

На втором этапе заполняются нижние блоки состояний. В конце периода планирования, в соответствии с моделью, взимается штраф в денежном эквиваленте за состояние износа дорожного полотна. Размер штрафа записывают в нижние части блоков, соответствующих состояниям к концу периода планирования. Так за износ 0,24 взимается штраф в размере 8911761 руб., а при износе 0,06, т.е. при износе, соответствующем одному году эксплуатации после капитального ремонта, штраф равен 0.

Рисунок 2. Граф состояний модели проведения ремонтных работ

Далее проводится условная оптимизация. Рассмотрим, например, состояние, помеченное (*) на рисунке 2. Из него возможны три перехода. Если мы проводим капитальный ремонт, то затраты с учетом штрафа составят 17314566+0 = 17314566 руб.; при проведении частичного ремонта затраты с учетом штрафа составят 3346657+5291181=8637838 руб.; а при выборе управления «содержание» - 632342+8911761=9544103 руб.. Минимальные затраты в размере 8637838 руб. дает управление «ремонт». Полученное значение записываем в нижний блок состояния и соответствующий переход помечаем двойной чертой. Аналогично рассчитывают условные оптимальные затраты для остальных состояний, включая начальное. В соответствии с принципом оптимальности Беллмана в начальной точке получим оптимальные затраты. С учетом штрафа они составят  Z^*=  11880381 руб.. Далее из начального состояния по графу определяют оптимальную стратегию эксплуатации дороги, перемещаясь по двойным стрелкам от начального состояния к концу периода планирования (на графике стратегия помечена жирной линией). В результате получено оптимальное управление на два года: первый год – «содержание», второй год - «ремонт». Состояние износа к концу планового периода 0,216.

Описанная модель оптимизации плана ремонтно-восстановительных работ реализована средствами  MS Excel, с помощью которого составлен оптимальный план ремонтно-восстановительных работ сроком на 5 лет: 1 год - "содержание", 2 год - "содержание", 3 - "ремонт", 4- "ремонт", 5 - "ремонт". Затраты при оптимальном управлении с учетом штрафа составят 18270523 руб. (без учета штрафа - 6225364 руб.), состояние износа к концу планового периода - 0,187.

В работе предложена оптимизационная модель составления плана проведения ремонтных работ, основанная на модели динамического программирования, в частности на задаче о замене оборудования. На основе модели разработана расчетная форма в MS Excel, позволяющая оперативно составлять график проведения дорожных работ, с учетом стоимости ремонтных работ и работ по содержанию дорожного полотна и текущего состояния износа дорожного полотна на исследуемом участке дороги.  

Список литературы: 

1. Баркалов С. А., Левдиков В. И., Половинкина А. И. / Динамическая задача планирования ремонтных работ в автодорожной отрасли  / Системы управления и информационные технологии.  – 2004. – 1(13). – С. 53-58.
2. Приказ Минтранса РФ от 16.11.12 № 402 «Об утверждении Классификации работ по капитальному ремонту, ремонту и содержанию автомобильных дорог»
3. Павлов О. В., Рясная Т. Н. Численное решение задачи планирования производства при динамическом снижении трудоёмкости / Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). –2012. -№6(37) –С. 126-132.
4. Попова О. Н., Лукин А. Ю. Планирование капитальных и текущих ремонтно-строительных работ с использованием методов динамического программирования. Промышленное и гражданское строительство. – 2013. – № 12. –  С. 32-34.
5. 5. Раменская А. В., Шинтемирова   Д. А. Моделирование процессов управления производственными мощностями / Наука и образование: фундаментальные основы, технологии, инновации. Сб. мат-ов междунар. науч. конф. –  2015. – С. 207-212.
6. Ростова Е. П. Постановка задачи динамического программирования для распределения средств по управлению рисками на предприятии / Известия Самарского научного центра Российской академии наук. – 2013. – т. 15 № 6 (4) – С. 1078-1081.
7. Сутягина Н. И. Метод динамического программирования при принятии микроэкономического решения / Вестник НГИЭИ. –2014. –№ 11 (42) –С. 72-77.