СОУДАРЕНИЕ  ДВУХ  АБСОЛЮТНО  ЖЕСТКИХ  ТЕЛ  С  УПРУГИМ  ПРОМЕЖУТОЧНЫМ  ЭЛЕМЕНТОМ,  ИМЕЮЩИМ  НЕЛИНЕЙНУЮ  ХАРАКТЕРИСТИКУ

Попелло  Егор  Сергеевич

студент  Оренбургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Оренбург

Е-mail :  mouse-ka001@mail.ru

Кудина  Лариса  Ивановна

доцент  Оренбургского  государственного  университета,  РФ,  г.  Оренбург

Трактовки  понятия  удара  различны.  Но  все  они  имеют  общие  характерные  черты,  а  именно:  относительную  скорость  тел  к  моменту  их  соприкосновения  и  наличие  процесса  перехода  кинетической  энергии  в  потенциальную  энергию  деформации.  Таким  образом,  механическим  ударом  называется  явление,  возникающее  при  столкновении  тел,  сопровождающееся  полным  или  частичным  переходом  кинетической  энергии  тел  в  энергию  их  деформации.  Формулы  классической  теории  удара  успешно  применяются  в  том  случае,  если  время  удара  в  несколько  (3—5)  раз  превышает  наибольший  период  собственных  колебаний  соударяющихся  тел  Т.  Однако  в  формулы  классической  теории  удара  время  не  входит.  Кроме  того,  с  помощью  этих  формул  нельзя  рассчитать  силу  удара,  напряжение  в  соударяющихся  телах,  их  перемещения  и  ускорения.  Для  их  определения  приходиться  комбинировать  методы  классической  механики  удара  с  элементами  теории  упругости  [1,  с.  5].

Рассмотрим  ударную  систему,  у  которой  промежуточный  элемент  настолько  мягок,  а  соударяющиеся  тела  настолько  жесткие,  что  деформацией  соударяющихся  тел  можно  пренебречь,  учитывая  лишь  деформацию  промежуточного  упругого  элемента.  Положение,  показанное  на  рисунке  пунктиром,  соответствует  моменту  касания  упругим  элементом  ударяемого  тела  —  началу  удара  [2,  c.  50].

Из  рисунка  (рисунок  1)  очевидны  равенства  (1)  и  (2): 

  =    (1)

α=    –  l  =  (2)

где:  α  —  сжатие  промежуточного  элемента; 

  —  длина  промежуточного  элемента  после  во  время  удара; 

—  длина  пружины  до  удара;

перемещение  центров  тяжести  тел  соответственно  [2,  c.  60].

Сила  сопротивления  сжатию  упругого  элемента  N  зависит  от  его  конструкции

N  =  f(α)  (3)

f(α)  =  cα  (4)

Сила  сжатия  упругого  элемента  действует  на  оба  тела,  сообщая  им  ускорения.  Следствии  этого  скорость  центров  тяжести  тел  изменится  и  после  удара  будет  иметь  значение:  для  ударника,  для  ударяемого  тела:

  (5)

.  (6)

Рисунок  1.  Процесс  деформации  упругого  элемента  при  ударе

Обозначим  соответственно  ускорения  ударника  и  ударяемого  тела.

  (7)

  (8)

За  положительное  направление  сил,  скоростей,  ускорений  примем  направление  первоначальных  перемещений.  Тогда  дифференциальное  уравнение  движения  тел  получат  вид  :

  (9)

  (10)

Принимая  для  простоты,  что  ударяемое  тело  до  удара  было  неподвижно,  а  упругий  элемент  не  имел  начального  сжатия,  присоединяя  к  дифференциальным  уравнения  движения  тел,  получим  систему  дифференциальных  уравнений: 

  (11)

  (12)

N  =  f(α) 

t=0 

==0  α  =0  N  =  0

:

  (13)

  (14)

Исключая  интеграл  силы  по  времени,  находим: 

=  (15)

=  (16)

Дифференцируем  уравнения  по  времени  и  делаем  подстановки,  преобразования.  Откуда  получаем  зависимость  сжатия  тел  α  по  времени:

t=  (17)

Максимальному  сближению  тел  во  время  удара    соответствует  условие  экстремума  da/dt=0.  В  этом  случае:

=  (18)

  (19)

A _п  —  часть  кинетической  энергии  ударника,  которая  в  процессе  удара  переходит  в  потенциальную  энергию.  Находим  время  соответствующее  максимальному  сжатию  :

  (20)

Таким  образом  полное  время  удара:

  =

  (21)

  Максимальную  сила  удара  будет  соответствуем  наибольшему  сжатию  упругого  элемента,  т.  е.

=f()  (22)

Наибольшие  ускорения  соответствуют  наибольшей  силе.

  (23)

  (24)

Рассмотрим  случай,  когда  упругий  элемент  имеет  нелинейную  характеристику.

Рисунок  2.  Процесс  деформации  упругого  элемента  при  ударе

Рассмотрим  наиболее  общий  случай,  когда  силы  упругости  элемента  не  линейны  его  деформации,  а  изменяются  по  степенному  закону  (рисунок  2).  Величина  ударной  силы  будет  равна:

,  (25)

где:    —  условный  коэффициент  жесткости  упругого  элемента,  Н/мⁿ;

a  —  деформация  упругого  элемента,  м;

  —  показатель  степени.

Максимальная  ударная  сила  будет  соответствовать  наибольшему  сжатию  упругого  элемента.

Определим  работу,  совершаемую  ударной  силой:

,  (26)

где:    —  максимальная  абсолютная  деформация  упругого  элемента,  м. 

Работа  ударной  силы  будет  равна  потенциальной  энергии  деформированного  упругого  элемента  A:

,  (27)

где  ,    —  массы  тел  соответственно,  кг;

  —  относительная  скорость  тел  в  момент  начала  удара,  м/с.

Приравнивая  выражения  (26)  и  (27),  выразим  максимальную  абсолютную  деформацию.

.  (28)

После  подстановки  выражения  (28)  в  формулу  (25)  можно  получить  максимальную  ударную  силу  и  максимальные  ускорения  тел    и  .

,  (29)

,  (30)

.  (31)

Построим  график  зависимости  ударной  силы  от  степени  n  (рисунок  3).

Рисунок  3.  График  зависимости  ударной  силы  от  степени  n

По  построенному  графику  можно  сделать  вывод:  чем  меньше  степень  n,  тем  меньше  N,  следовательно,  меньше  динамические  нагрузки  на  соударяемые  тела. 

Практическое  применение  данной  работы,  заключается  в  следующем.  Промежуточный  элемент  с  нелинейными  характеристиками  может  иметь  широкий  спектр  применения,  так  как  эффективнее  справляется  с  гашением  динамических  нагрузок,  нежели  элемент  с  линейной  зависимостью.

Данный  промежуточный  элемент  может  применяться:

·     для  обеспечения  пассивной  безопасности  автомобиля  при  столкновениях;

·     как  элемент  обшивки  речного  транспорта  для  более  безопасной  швартовки  в  портах;

·     как  подушка  конечного  торможения  скоростного  лифта;

·     в  других  случаях,  когда  имеется  ударная  нагрузка.

Список  литературы:

1.Александров  Е.В.,  Соколинский  В.Б.  Прикладная  теория  и  расчеты  ударных  систем  /  Е.В.  Александров,  В.Б.  Соколинский.  М.:  Наука,  1969.  —  199  с.

2.Власов  Ю.Л.  Удар.  Общие  рекомендации  по  решению  задач:  методические  указания  к  практическим  занятиям  по  дисциплине  «Теоретическая  механика»/  Ю.Л.  Власов.  Оренбург:  ОГУ,  2010.  —  36  c.