ПРОЕКТИРОВАНИЕ БАЗЫ МНОГОЭТАПНЫХ МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ КАК СРЕДСТВА РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ IT-СПЕЦИАЛИСТОВ

DESIGN OF A DATABASE OF MULTI-STAGE MATHEMATICAL AND INFORMATIONAL TASKS AS A MEANS OF DEVELOPING PROFESSIONAL COMPETENCIES OF IT SPECIALISTS

Vinogradov Evgenij Valentinovich

candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Kostroma State University,

Russian Federation, Kostroma

Аннотация

В статье рассматривается проблема проектирования банка многоэтапных математико-информационных заданий (ММИЗ) как средства развития профессиональных компетенций IT-специалистов. Предложена структурная схема построения базы ММИЗ, включающая классификацию по типам объектов и уровням сложности. Выявлены дидактические принципы отбора и конструирования ММИЗ. Представлен пример выполнения задания студентом.

Abstract

The article examines the problem of designing a bank of multi-stage mathematical and information tasks (MMI tasks) as a means of developing professional competencies of IT specialists. A structural scheme for building a MMI tasks database is proposed. Didactic principles for selecting and designing MMI tasks are identified. An example of a student completing a task is presented.

Ключевые слова: многоэтапное математико-информационное задание; профессиональные компетенции; фрактальная геометрия; алгоритмизация; банк учебных заданий.

Keywords: multi-stage mathematical-informational assignment; professional competencies; fractal geometry; algorithmization; bank of learning tasks.

Введение

В практике подготовки IT-специалистов мы постоянно сталкиваемся с тем, что студенты успешно осваивают отдельные математические дисциплины, но испытывают заметные трудности при решении междисциплинарных задач, требующих одновременного применения математического аппарата и навыков программирования. Собственный опыт преподавания автора в Костромском государственном университете показывает: разрыв между математической и информационной составляющими подготовки остаётся одним из наиболее острых. В работах В.С. Секованова неоднократно подчёркивалось, что многоэтапные математико-информационные задания (ММИЗ) способны эффективно преодолевать этот разрыв, поскольку они интегрируют оба компонента в едином исследовательском цикле [1]. Однако, на взгляд автора, остаётся недостаточно проработанным вопрос о системном проектировании их базы. Именно это обстоятельство определило цель настоящей работы – разработать структурную схему построения базы ММИЗ как средства целенаправленного развития профессиональных компетенций.

1. Теоретические основания проектирования базы ММИЗ

Идея многоэтапных математико-информационных заданий имеет свою предысторию. Первоначально в работах школы В.С. Секованова использовалось понятие многоэтапных математических заданий (ММЗ), где упор делался исключительно на математические методы. Со временем, по мере внедрения компьютерных технологий в научные исследования, возникла необходимость включить в этот процесс и информационные инструменты. Сам В.С. Секованов формулирует это так: когда компьютерные технологии «стали интенсивно использоваться при решении современных математических задач, было введено понятие «Многоэтапное математико-информационное задание» (ММИЗ), при выполнении которого предусмотрено использование как математических методов, так и информационных и коммуникационных технологий (ИКТ)» [2].

Что же представляет собой ММИЗ по своей сути? Если обобщить имеющиеся определения, то это специально выстроенная последовательность задач и проблемных ситуаций, которая вовлекает студента в различные виды математической деятельности, компьютерное моделирование и поиск информации [3]. По мнению автора, ключевая особенность ММИЗ заключается именно в интеграции этих видов деятельности, а не в простом их чередовании.

В ходе апробации ММИЗ на базе нашего университета были выделены несколько функций этих заданий. Во-первых, их интегративный потенциал: студент оказывается в позиции, где он должен одновременно выступать и математиком, и программистом. Как справедливо замечают авторы исследований, это «нацелено на развитие его креативности и повышения мотивации к математике и программированию» [4]. Во-вторых, ММИЗ обладают выраженным развивающим эффектом: они требуют прогнозирования результатов, рефлексии собственных действий, что способствует формированию гибкости мышления [1]. В-третьих, для преподавателей важно, что ММИЗ выполняют профессионально-ориентирующую функцию, поскольку моделируют полный цикл профессиональной деятельности: от анализа до интерпретации результатов [5].

2. Структурная схема построения базы ММИЗ

Обобщив опыт выполнения и публикации ММИЗ [1–8], автор предлагает собственную структурную схему их базы.

2.1. Уровни сложности

В нашей практике выделяются три уровня сложности, каждый из которых ориентирован на определённый этап обучения:

Таблица 1.

Уровни сложности

При этом важно подчеркнуть: переход от уровня к уровню не является жёстким, студент может двигаться по индивидуальной траектории.

2.2. Классификация по объектам исследования

Основой для классификации избраны типы математических объектов, с которыми работает студент. Опираясь на работы школы В.С. Секованова [6, 7, 8], можно выделить четыре крупных класса.

Первый класс – фрактальные множества голоморфной динамики: множества Жюлиа, Мандельброта, диски Зигеля. Это наиболее разработанное в дидактическом плане направление. Примером может служить ММИЗ «Циклы, множества Жюлиа и лепестки Ло-Фату», где студенты исследуют неподвижные точки и строят соответствующие множества [3].

Второй класс – динамические системы и аттракторы: логистическое отображение, странные аттракторы, деревья Фейгенбаума. Показательным является ММИЗ «Странные аттракторы», в котором изучаются нелинейные отображения и переходы к хаосу [4].

Третий класс – L-системы и алгоритмические фракталы: системы Линденмайера, кривые Коха, дракона, треугольник Серпинского [6].

Четвёртый класс – синергетика и нейронные сети, включая модели Хопфилда и многослойные сети [7]. Задания этого класса предназначены для магистрантов.

2.3. Инвариантная структура ММИЗ

Вне зависимости от класса объектов, была выстроена единая структура ММИЗ, которая включает пять последовательных этапов [1, 5, 8].

Первый этап – теоретико-аналитический. На этом этапе студент изучает математический объект, формулирует определения, исследует свойства. В практической деятельности часто предлагаются два способа исследования – геометрический (диаграммы Ламерея) и аналитический (дифференциальное исчисление), чтобы развивать гибкость мышления [2].

Второй этап – алгоритмический. Здесь разрабатывается алгоритм исследования или построения объекта. Студенты создают блок-схемы и описывают логику программы.

Третий этап – программная реализация. Студенты пишут код на Python, C++ или Java. Как показано в исследованиях, использование различных инструментов (языков программирования и математических пакетов) позитивно влияет на формирование профессиональных компетенций [5].

Четвёртый этап – визуализация и эксперимент. На этом этапе строятся графические образы, проводятся компьютерные эксперименты с варьированием параметров. Полезным дополнением является предложение студентам создавать художественные композиции на основе полученных множеств [6].

Пятый этап – интерпретация и рефлексия. Студент анализирует полученные результаты, сопоставляет их с теоретическими ожиданиями и оценивает собственные действия. Этот этап считается ключевым, поскольку именно здесь формируется осознанное отношение к исследовательской деятельности.

3. Пример выполнения ММИЗ студентом

Представлен конкретный пример выполнения ММИЗ студентом третьего курса направления «Информационная безопасность» Костромского государственного университета. Было выбрано задание «Исследование неподвижных точек квадратичного отображения и построение множеств Жюлиа», поскольку оно в полной мере отражает все этапы структуры.

3.1. Формулировка задания (базовый уровень)

Задание ММИЗ-А1. Исследование квадратичного отображения f(z)=z²+c

Часть 1. Теоретическое исследование. Для c=−0.7+0.3i определить неподвижные точки, классифицировать их, вычислить множитель.

Часть 2. Алгоритмизация. Разработать алгоритм построения множества Жюлиа с использованием time-escape метода.

Часть 3. Программная реализация. Реализовать алгоритм на Python с использованием NumPy и Matplotlib.

Часть 4. Эксперимент. Построить множество для c=−0.7+0.3i, а также для c=−0.5+0.5i, c=0.285+0.01i, c=−1.5+0i. Сравнить структуры.

Часть 5. Рефлексия. Сформулировать выводы и оценить собственные затруднения.

3.2. Ход выполнения студентом

Этап 1. Для отображения f(z)=z²+c неподвижные точки находятся из уравнения z²+c=z, которое приводится к виду z²−z+c=0. При c=−0.7+0.3i дискриминант d=1−4c=1−4(−0.7+0.3i)=1+2.8−1.2i=3.8−1.2i. Вычисляем корни:

Множитель неподвижной точки определяется как λ=f′(z)=2z. Для z₁: λ₁=2(1.478−0.154i)=2.956−0.308i, модуль ∣λ₁∣≈2.972>1, следовательно, точка отталкивающая. Для z₂: λ₂=2(−0.478+0.154i)=−0.956+0.308i, модуль ∣λ₂∣≈1.004>1. Обе точки отталкивающие, что характерно для множеств Жюлиа с непустой внутренностью [9].

Этап 2. Алгоритм time-escape: для каждой точки z₀ выполняются итерации z_n+1 = z_n² + c до выхода за радиус R = max(2, |c|). Число итераций до выхода определяет цвет пикселя [10].

Таблица 2.

Алгоритм 1- Time-escape метод

Этап 3. Программный код (фрагмент):

Студент представляет программный код:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def julia_set(c, width=600, height=600, max_iter=150):

x = np.linspace(-1.5, 1.5, width)

y = np.linspace(-1.5, 1.5, height)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

Z = X + 1j * Y

img = np.zeros(Z.shape, dtype=int)

for i in range(max_iter):

mask = (img == 0)

Z[mask] = Z[mask]**2 + c

escaped = np.abs(Z) > 2

img[escaped & (img == 0)] = i + 1

return img

c = complex(-0.7, 0.3)

img = julia_set(c)

plt.imshow(img, cmap='hot', extent=(-1.5, 1.5, -1.5, 1.5), origin='lower')

plt.title(f'Множество Жюлиа для c = {c}')

plt.show()

Код позволяет варьировать параметры области, число итераций и разрешение. Для ускорения вычислений используется векторизация операций с массивами NumPy [10].

Этап 4. Для c=−0.7+0.3i получено связное множество (рис. 1). При c=−1.5+0i структура становится пылевидной (несвязной).

Сравнение показывает: топология множества определяется значением *c* и типом неподвижных точек [9, 10].

Этап 5. Студент формулирует выводы:

В ходе выполнения задания были получены следующие результаты:

1. Теоретический анализ позволил классифицировать неподвижные точки отображения f(z)=z²−0.7+0.3i как отталкивающие.
2. Разработанный алгоритм и программная реализация обеспечивают визуализацию множеств Жюлиа для различных значений параметра.
3. Эксперименты подтвердили, что при ∣c∣>1 множество Жюлиа становится несвязным (Канторова пыль), а при малых значениях параметра сохраняет связность, независимо от типа неподвижных точек.
4. Наибольшую сложность вызвал этап интерпретации результатов для случая нейтрально-иррациональной точки (диск Зигеля), где потребовалось существенное увеличение числа итераций для проявления структуры.

Задание позволило интегрировать знания из теории комплексного анализа, численных методов и программирования.

4. Дидактические принципы проектирования базы ММИЗ

На основе проделанного анализа автором сформулированы следующие принципы, которыми руководствуются при проектировании базы ММИЗ.

Принцип многоэтапности. Каждое задание представляет собой последовательность этапов, где последующий опирается на предыдущий. Это создаёт «лестницу» компетенций [2].

Принцип интегративности. Задание должно объединять математические и информационные методы. В практической деятельности это означает, что ни один этап не является чисто математическим или чисто программистским [5].

Принцип вариативности. Для каждого типа объектов предусматривается варьирование параметров, что позволяет адаптировать задание под уровень подготовки.

Принцип продуктивности. Результатом каждого этапа является конкретный продукт: аналитическое решение, алгоритм, код, визуализация. Это, на взгляд автора, повышает мотивацию [1].

Принцип открытости. База должна пополняться новыми заданиями, отражающими актуальные направления. Как отмечалось в исследованиях, такая работа «способствует формированию самостоятельности и креативности студентов» [6].

Заключение

Предложенная структурная схема позволяет систематизировать дидактический материал и целенаправленно формировать профессиональные компетенции. Апробация в Костромском государственном университете подтверждает эффективность подхода. Как показывает представленный пример, выполнение ММИЗ требует синтеза математических знаний, алгоритмического мышления и навыков программирования.

Дальнейшие исследования автор связывает с разработкой цифровой платформы для поддержки ММИЗ и созданием открытого банка заданий.

Список литературы

1. Секованов В.С., Бабенко А.С. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Непрерывные динамические системы» как средство формирования креативности студентов // Ярославский педагогический вестник. – 2018. – № 3. – С. 109⁠–⁠120.

2. Секованов В.С., Ивков В.А. Многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы» // Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова. – 2013. – Т. 19, № 5. – С. 155⁠–⁠157.

3. Секованов В.С., Рыбина Л.Б., Щепин Р.А. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Циклы, множества Жюлиа и лепестки Ло-Фату» как средство развития креативности студентов // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. – 2025. – Т. 31, № 1. – С. 123⁠–⁠131.

4. Секованов В.С., Ивков В.А., Виноградов Е.В., Щепин Р.А., Розанов В.В. Многоэтапное математико-информационное задание «Классификация компонент связности множества Фату» // Творчество студентов и школьников в области математики и информатики и методы его развития: материалы 44-го Междунар. науч. семинара. – Минск: БГПУ, 2025. – С. 254⁠–⁠258.

5. Секованов В.С., Шапошникова И.В., Балакина Е.Е. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Структура неподвижных точек рациональных функций и множества Жюлиа» как средство развития креативности студентов // Актуальные проблемы обучения математике в школе и вузе. – 2022. – С. 145⁠–⁠156.

6. Секованов В.С. Фрактальная геометрия. Преподавание, задачи, алгоритмы, синергетика, эстетика, приложения: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2022. – 180 с.

7. Секованов В.С., Ивков В.А., Пигузов А.А., Рыбина Л.Б. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Динамика итерирования кусочно-линейных функций» как средство развития креативности студентов // Современные информационные технологии и ИТ-образование. – 2020. – Т. 16, № 3. – С. 711⁠–⁠720.

8. Секованов В.С., Ивков В.А., Виноградов Е.В., Пигузов А.А. Исследование динамики одного семейства итерированных полиномов // Современные информационные технологии и ИТ-образование. – 2025. – Т. 21, № 4.

9. Виноградов Е.В. Исследование неподвижных точек квадратичного отображения как инструмент развития антропотехнических компетенций у студентов IT-специальностей // Актуальные вопросы научного поиска: сб. ст. II Междунар. науч.-практ. конф. – Петрозаводск: Новая Наука, 2026. – С. 10⁠–⁠16.

10. Виноградов Е.В. Повышение эффективности самостоятельной работы студентов в условиях активного использования электронных устройств и средств // Научный альманах. – 2024. – № 3⁠–⁠1 (113). – С. 35⁠–⁠39.