МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВУЗЕ

​METHODOLOGICAL ASPECTS OF TEACHING DIFFERENTIAL CALCULUS FUNCTIONS OF TWO VARIABLES AT THE UNIVERSITY

Sidorenko-Nikolashina Elena

Candidate of Sciences in Pedagogy, assistant professor of Higher Mathematics department, Institute of Physics and Technical of the V.I. Vernadsky Crimean Federal University

Russia, Simferopol

АННОТАЦИЯ

В статье анализируются педагогические аспекты методики изучения высшей математики на примере дифференциального исчисления функции двух переменных для обучаемых по инженерным направлениям подготовки вуза. Рассмотрение изучаемой темы и её частей на основе анализа их структуры в виде наглядных логических схем представляет один из компонентов авторской методики. Доказывается необходимость решения задач профессиональной направленности, в частности, для будущих землеустроителей и геодезистов методом наименьших квадратов. Данная методика обучения высшей математике позволяет закрепить знания, необходимые студентам при изучении других фундаментальных и общетехнических дисциплин, а также в будущей деятельности на производстве. Предлагаемая методика универсальна и может быть применима для изучения других учебных дисциплин вузов.

ABSTRACT

The article analyzes the pedagogical aspects of the methodology of studying higher mathematics using the example of differential calculus of a function of two variables for students in engineering areas of higher education. Consideration of the topic under study and its parts based on the analysis of their structure in the form of visual logical schemes is one of the components of the author's methodology. The necessity of solving professional tasks is proved, in particular, for future land managers and geodesists using the least squares method. This methodology of teaching higher mathematics allows students to consolidate the knowledge they need for studying other fundamental and general technical disciplines, as well as for future careers in industry. The proposed methodology is universal and can be applied to the study of other academic disciplines of universities.

Ключевые слова: высшая школа; высшая математика; структурно-логические схемы; задачи профессиональной направленности; метод наименьших квадратов.

Keywords: higher school; higher mathematics; structurally-logic schemes; professional tasks; least squares method.

Постановка проблемы. Сегодня высшее образование призвано обеспечить подготовку высококвалифицированных кадров по всем основным направлениям общественно полезной деятельности в соответствии с потребностями общества и государства. В приказе Минобрнауки России от 19.12.2013 N 1367 четко определено «Организация образовательного процесса по образовательным программам предусматривает применение инновационных форм учебных занятий, развивающих у обучающихся навыки командной работы, межличностной коммуникации, принятия решений, лидерские качества...» [1].

Современный процесс обучения призван решать следующие задачи: образовательные, развивающие, формирование теоретических знаний, развитие профессиональных навыков, формирование обще-профессиональных компетенций. Для их решения вуз должен и вынужден внедрять в процесс обучения классические и инновационные педагогические технологии, в том числе передовые методы изложения учебного материала по высшей математике для повышения эффективности усвоения знаний.

Особенности математики − это универсальность методов исследования и обучения, практическая значимость ее конструкций и понятий для других наук. В связи с этим, цель данной работы состоит в рассмотрении методических аспектов изложения темы «Дифференциальное исчисление функции двух переменных» для обучающихся по инженерным направлениям подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, а также 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование. Для них в рамках ФГОС ВО освоение программы бакалавриата предполагает умение выпускников решать задачи профессиональной деятельности следующих типов: технологического, проектного, организационно-управленческого, научно-исследовательского, педагогического, применяя методы моделирования, математического анализа, естественнонаучные и общеинженерные знания.

Изучение теоретических и практических аспектов проблемы повышения качества математического образования опирается на работы известных психологов, дидактов Ю.К. Бабанского, П.Я. Гальперина, А.Н. Леонтьева, А.А.˚Столяра. В российской педагогике проблема формирования конкурентоспособности специалистов была раскрыта в социальном, организационном и педагогическом аспекте в трудах С.Я. Батышева, В.М.˚Демина, Г.И. Ибрагимова, А.Я. Найна, Ю.Н. Петрова, П.Н.˚Осипова и др. Важнейший дидактический принцип связи теории с практикой рассматривался многими учеными, например Л.В. Васяк [3], Т.В.˚Кудрявцевым [4] и другими. Однако проблема обучения высшей математике будущих землеустроителей и геодезистов не была исследована в полном объеме.

Основная часть. Изучение темы «Основы дифференциального исчисления функции двух переменных» мы рекомендуем начать с анализа её структуры, которая наглядно представлена на соответствующей структурно-логической схеме (рис. 1) [6, с. 12].

Рисунок 1. Структура темы «Дифференциальное исчисление функции двух переменных»

С помощью структурно-логической схемы «Дифференцирование функции двух переменных» продолжается анализ изучаемой темы, устанавливаются глубокие ассоциативные связи между понятиями приращений и частных производных первого порядка, между непрерывностью и дифференцируемостью, а также дифференциалом данной функции (рис. 2) [6,˚с.˚34].

Рисунок 2.Структура темы « Дифференцирование функции двух переменных»

Значение наглядных схем и таблиц неоценимо, так как позволяет человеку использовать автоматически срабатывающие алгоритмы обработки зрительной информации [2]. Этот прием позволит студентам с первой лекции представить весь объём учебного материала, последовательность изложения и взаимосвязь между его отдельными параграфами, а также мысленно долгосрочно удерживать в памяти структуру темы как единый смысловой комплекс знаний.

На протяжении дальнейших лекций и практических занятий автор видит целесообразность представления обучающимся более детализированной структурно-логической схемы, которая отображает прикладные аспекты дифференциального исчисления функции двух переменных, в частности, её частных производных первого порядка (рис. 3) [6, с. 36].

Рисунок 3. Структура темы «Приложения частных производных»

График функции двух переменных, представляющий собой некоторую поверхность пространстве, имеет аналог в геодезии. Изображение поверхности как представление рельефа некоторой местности находит широкое применение при составлении карт. Рельеф местности на плане изображают горизонталями, то есть линиями, соединяющими точки земной поверхности с одинаковыми высотами. Горизонтали получаются как горизонтальные проекции линий от сечения местности уровенными поверхностями (плоскостями), отстоящими на равном расстоянии одна от другой (рис. 4). Высотой сечения рельефа называется расстояние между соседними горизонталями по высоте.

Заметим, что точка F на рисунке 4 является седловой. Аналогичное понятие седла или перевала имеет место и в геодезии, где седловиной называется наиболее низкое место между двумя соседними вершинами.

Рисунок 4. Горизонтали на плане рельефа местности

Важнейшим аспектом педагогической методики изложения учебного материала является закрепление основных теоретических моментов, рассмотренных во время лекций, посредством решения задач профессиональной направленности на практических занятиях, в частности, с применением метода наименьших квадратов [3], [4], [5], [6], [7]. По мнению Т.В. Кудрявцева, наглядность – это мост, перекинутый от знаний в понятиях к конкретным практическим задачам [4].

При создании геодезической сети, как правило, измеряют большее количество величин, чем необходимо для построения сети. Величины, измеряемые сверх необходимого количества, называются избыточными (выполняются для контроля и повышения точности уравненных величин).

Необходимые и избыточные величины связаны между собой, так называемыми, условными уравнениями. Например, в треугольнике, в котором измерение двух углов является необходимым, а измерение третьего угла – избыточным, сумма углов должна быть равна . Но при измерении из-за влияния различных погрешностей это условие не выполняется, отсюда возникает неоднозначность решения задачи по уравниванию измеренных величин. Чтобы устранить эту неоднозначность и освободиться от невязок всех геометрических условий, возникающих в данной геодезической сети, применяют строгие математические методы уравнивания, одним из которых является метод наименьших квадратов. Сущность его состоит в том, что при распределении невязок на измеренные величины предъявляется требование: сумма квадратов поправок должна быть минимальной [7, с. 174].

Следует разъяснить обучающимся суть данного метода с математической точки зрения, который заключается в аппроксимации опытных данных различными функциями. Пояснить теоретическую основу мы предлагаем примером решения одного условного уравнения фигур для треугольника триангуляции:

.

Заметим, что триангуляция – это метод определения геодезических пунктов построением на местности систем смежно-расположенных треугольников, в которых измеряют длину одной стороны (по базису) и углы, а длины других сторон получают тригонометрически.

Здесь – поправки на измеренные углы;  – коэффициенты при поправках; f – угловая невязка, в общем случае называемая свободным членом условного уравнения поправок. Чтобы решить такое уравнение, надо найти поправки  из условия, чтобы сумма квадратов бала минимальной:

.

Так как здесь число искомых поправок больше числа уравнений, то задача решается при помощи неопределенного множителя , называемого коррелатой, которую вычисляют по формуле . Теперь каждую поправку  вычисляют как произведение коррелаты  на соответствующий коэффициент . С увеличением числа условных уравнений увеличивается число коррелат и объем вычислительных действий [7, с. 175].

Метод наименьших квадратов остается актуальным и при решении задач географии, туризма, картографии, геодезии.

В конце изучения темы автор предлагает студентам вопросы для самопроверки, позволяющие самим обучающимся выявить пробелы в своих знаниях и устранить их. Приведем ряд контрольных вопросов.

1. Каковы общие понятия теории функции нескольких переменных?

2. Дайте определение предела функции  в точке.

3. Что называется частным и полным приращением функции ?

4. Что понимают под частными производными функции двух переменных? Какова их геометрическая интерпретация?

5. Какое выражение называют дифференциалом ?

6. Какая функция двух переменных называется непрерывной, дифференцируемой в точке?

7. Сколько частных производных второго порядка имеет функция , как их вычислить? Сформулируйте теорему Шварца.

8. Назовите основные приложения частных производных первого порядка функции двух переменных.

9. В чем состоит суть метода наименьших квадратов? Приведите пример его применения для геодезической задачи.

Представленная методика визуализации изучаемого материала в виде структурно-логических схем делает возможным усвоение студентами теоретических основ высшей математики на базе дидактического принципа наглядности, систематизирует знания обучающихся, способствует осознанному запоминанию и эффективному усвоению ими учебного материала.

Решение задач профессиональной направленности для обучающихся по направлениям подготовки «Землеустройство и кадастры», а также «Геодезия и дистанционное зондирование» с помощью дифференциального исчисления функции двух переменных позволяет закрепить знания, необходимые им при изучении других фундаментальных и общетехнических дисциплин, а также для будущей деятельности на производстве.

Выводы. 1) Для решения задач, стоящих сегодня перед вузом он должен и вынужден внедрять в процесс обучения классические и инновационные педагогические технологии, в том числе передовые методы изложения учебного материала по высшей математике для повышения эффективности усвоения знаний. 2) Рассмотрение изучаемой темы и её частей рекомендовано сопровождать анализом их структуры в виде наглядных логических схем. Представленная методика визуализации учебного материала систематизирует знания обучающихся, способствует их осознанному запоминанию и эффективному усвоению. 3)˚Важным педагогическим аспектом предлагаемой методики является закрепление основных теоретических моментов, рассмотренных во время лекций, посредством решения задач профессиональной направленности на практических занятиях, в частности, с применением метода наименьших квадратов. Это позволяет закрепить знания, необходимые при изучении других фундаментальных и общетехнических дисциплин, а также для будущей деятельности на производстве. 4) Вопросы для самопроверки, предлагаемые студентам в конце каждой темы, позволяют самим обучаемым выявить пробелы в знаниях и определить пути устранения этих пробелов. 5) Данная методика обучения высшей математике универсальна и может быть применима для изучения других учебных дисциплин вузов.

Список литературы:

1. Министерство образования и науки РФ 1. Приказ от 6 апреля 2021 N 245 (в ред. Приказа Минобрнауки РФ от 02.03.2023 №244) "Об утверждении Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам высшего образования − программам бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры" / Министерство образования и науки РФ [Электронный ресурс] // Министерство образования и науки РФ: [сайт]. — URL: https://normativ.kontur.ru/document?moduleId=1&documentId=446245 (дата обращения 13.02.2026 г.).
2. Бобнева М.И. Техническая психология / М.И.Бобнева ([АНСССР. Науч. – попул. серия]). – М.: Наука, 1966. – 127 с.
3. Васяк Л.В. Профессионально ориентированные задачи по математике для студентов инженерных специальностей: учебное пособие [Текст] / В. А. Далингер, Л.В. Васяк. – Омск: Изд-во «Сфера», 2007. – 60 с.
4. Кудрявцев Т.В. Психология технического мышления. (Процесс и способы решения технических задач) / Т.В.Кудрявцев − М.: Педагогика, 1975. − 304 с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике полный курс / Д.Т. Письменный. — 9 изд. — М. Айрис-пресс, 2009. — 608 с.: ил. — (Высшее образование). С. 218-225. Текст: электронный // URL:  https://djvu.online/file/1PT4cFH3gFShS?ysclid=mdt5nk0jts145635530 (дата обращения 13.02.2026 г.).
6. Сидоренко-Николашина Е.Л. Высшая математика: Учебное пособие для студентов инженерно-технологических специальностей высших учебных заведений / Е.Л.Сидоренко-Николашина. – Симферополь: Сонат, 2009. – 252˚с.
7. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей [Текст]: [Учебник для геодез. вузов и фак.]. / А.С.Чеботарев. – М.: Геодезиздат, 1958. – 606 с.