ЗВЕЗДЧАТЫЕ  МНОГОУГОЛЬНИКИ  В  УЧЕБНОЙ  И  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ  РАБОТЕ  ПО  ГЕОМЕТРИИ

Волкова  Мария  Валерьевна

старший  преподаватель  кафедры  математики,  теории  и  методики  обучения  математике,
ФГБОУ  ВПО  «Глазовский  государственный  педагогический  институт  им.  В.Г.  Короленко», 
РФ,  г.  Глазов

E-mail:  mashaggpi@mail.ru

STELLATE  POLYGONS  IN  EDUCATIONAL  AND  RESEARCH  WORK  IN  GEOMETRY

Maria  Volkova

lecturer,  Mathematics,  theory  and  methodology  of  teaching  mathematics  department

Glazov  State  Pedagogical  Institute  in  the  name  of  V.G.  Korolenko, 
Russia,  Glazov

АННОТАЦИЯ

В  статье  приведены  методические  рекомендации  по  организации  учебной  и  исследовательской  деятельности  школьников  по  теме  «Звездчатые  многоугольники». 

ABSTRACT

The  article  deals  with  guidelines  on  organization  of  educational  and  research  activity  of  students  on  theme  "stellate  polygons".

Ключевые  слова:  звездчатые  многоугольники;  учебная  и  исследовательская  деятельность  учащихся.

Keywords:  stellate  polygons;  educational  and  research  activities  of  students.

Звездчатые  многоугольники  привлекают  не  только  внешней  красотой,  но  и  интересными  геометрическими  свойствами,  которые  могут  служить  хорошим  материалом  для  организации  как  учебной,  так  и  исследовательской  деятельности  школьников.

После  знакомства  со  звездчатыми  многоугольниками,  их  видами,  с  понятием  степени  звездчатого  многоугольника  и  теоремой  о  связи  суммы  углов  звездчатого  многоугольника  с  его  степенью  можно  предложить  учащимся  попытаться  выяснить,  сколько  различных  звездчатых  многоугольников  можно  получить  из  данного  правильного  многоугольника,  если  продолжать  его  несмежные  стороны  и  находить  все  возможные  пересечения  этих  прямых.  Проведя  небольшое  исследование,  можно  прийти  к  следующим  интересным  результатам.

Продолжение  любой  стороны  правильного  n-угольника  (присвоим  ей  номер  1)  будет  пересекаться  с  продолжением  k-й  стороны,  где  .  Так,  для  правильного  треугольника  ()  и  квадрата  ()  получаем  противоречивые  неравенства    и  .  Это  говорит  о  том,  что  таких  пересечений  нет.  Для  правильных  пятиугольника  и  шестиугольника  получаем  только  одно  значение  ;  для  правильных  семиугольника  и  восьмиугольника  –  два  значения:    и  ;  для  правильных  13-  и  14-угольников  –  5  значений:  3,  4,  5,  6,  7  и  т.  д.

Если  обозначить  через  К  ()  максимальное  значение  k  для  данного  правильного  n-угольника,  то  для  этого  n-угольника  существуют  звездчатые  n-угольники  первого,  второго,  …,  (К-2)-го  порядка.  Например,  для  правильного  девятиугольника  ,  поэтому  для  него  существуют  звездчатые  девятиугольники  первого,  второго  и  третьего  порядка,  а  для  правильного  24-угольника  ,  следовательно,  для  него  существует  10  звездчатых  24-угольников  (с  первого  по  десятый  порядок).

Чтобы  наглядно  продемонстрировать  все  правильные  звездчатые  многоугольники,  которые  порождаются  данным  правильным  многоугольником,  можно  не  только  выполнить  обычный  чертеж,  но  и  использовать  компьютер,  а  также  метод  математического  вышивания,  когда  вместо  того,  чтобы  проводить  хорды  окружности,  можно  вышивать  их  цветными  нитками  на  картоне,  бархатной  или  наждачной  бумаге. 

Свойства  правильных  звездчатых  многоугольников  можно  использовать  при  решении  задач  на  вычисление  периметра  и  площади  этих  фигур  и  их  частей,  на  доказательство  правильности  звездчатых  многоугольников  и  т.  д.  Например:

Задача  1.  В  правильном  шестиугольнике  проведено  6  диагоналей,  соединяющих  вершины  через  одну.  Доказать,  что  полученные  при  этом  выпуклый  и  звездчатый  шестиугольники  –  правильные.

Полезно  решение  задач  на  доказательство  различных  свойств  правильных  звездчатых  многоугольников,  в  частности,  «золотых»  свойств  правильного  звездчатого  пятиугольника  (пентаграммы)  [2].

«Золотые»  свойства  правильных  звездчатых  пятиугольника  и  десятиугольника  могут  стать  объектом  исследования  в  различных  творческих  работах  школьников.  Они  могут  быть  доказаны  различными  способами.  Один  из  способов  доказательства  –  с  помощью  теоремы  Менелая. 

Задача  2  выражает  еще  одно  геометрическое  свойство  правильного  звездчатого  пятиугольника,  которое  можно  доказать  с  помощью  теоремы  Чевы  и  «золотых»  свойств  этой  фигуры.

Задача  2.  A,  B,  C,  D,  E  –  вершины  правильного  звездчатого  пятиугольника,  A₁,  B₁,  C₁,  D₁,  E₁  –  соответственно  точки  пересечения  сторон  BD  и  CE,  CE  и  DA,  DA  и  BE,  BE  и  AC,  AC  и  BD.  Доказать,  что  отрезки  ,  ,  ,    и    пересекаются  в  одной  точке.

Таким  образом,  при  изучении  темы  «Теоремы  Чевы  и  Менелая»  появляется  возможность  еще  раз  обратить  внимание  на  свойства  правильного  звездчатого  пятиугольника.

Очень  удобно  использовать  звездчатые  многоугольники  для  составления  и  решения  задач  на  применение  теоремы  Микеля  [3,  с.  269].  Рассмотрим  пример  такой  задачи. 

Задача  3.  A,  B,  C,  D,  E  –  вершины  правильного  звездчатого  пятиугольника,  A₁,  B₁,  C₁,  D₁,  E₁  –  соответственно  точки  пересечения  сторон  BD  и  CE,  CE  и  DA,  DA  и  BE,  BE  и  AC,  AC  и  BD.  Доказать,  что  а)  три  окружности,  проходящие  через  точки  ,  ,  ;  ,  ,    и  ,  ,  ,  пересекаются  в  одной  точке;  б)  четыре  окружности,  описанные  около  треугольников  ;  ;    и  ,  пересекаются  в  одной  точке.

Широкие  возможности  правильные  и  полуправильные  звездчатые  многоугольники  открывают  перед  учителем  при  изложении  темы  «Симметрия  фигур».  Выполнение  обучающимися  заданий  на  поиск  элементов  симметрии  правильных  и  полуправильных  звездчатых  многоугольников  поможет  не  только  глубже  усвоить  эту  тему,  но  и  увидеть  красоту  звездчатых  многоугольников.  Например,  школьникам  можно  предложить  такую  задачу:

Задача  4.  Правильный  звездчатый  девятиугольник  используется  в  удмуртском  декоративно-прикладном  искусстве  как  элемент  панно,  для  украшения  подвесок  и  т.  д.  Пользуясь  линейкой  и  транспортиром,  постройте  правильный  звёздчатый  девятиугольник,  вписанный  в  данную  окружность,  и  определите  его  элементы  симметрии.

Самостоятельную  познавательную  деятельность  учащихся  можно  организовать  посредством  использования  на  занятиях  Web-квест  технологий  [1].  Пример  образовательного  Web-квеста  по  теме  «Многоугольники:  правильные,  полуправильные,  звездчатые»  представлен  на  сайте  http://metodbazaifim.ru/.  Квест  предполагает  выполнение  учащимися  заданий,  способствующих  формированию  их  поликультурной  компетентности.

В  конструктивной  геометрии  можно  рассматривать  следующие  задачи  на  построение  правильных  звездчатых  многоугольников  с  помощью  циркуля  и  линейки:

а)  В  данную  окружность  вписать  правильный  звездчатый  n-угольник  (n  =  5,  6,  8,  10,  12,  …);

б)  Построить  правильный  звездчатый  n-угольник  со  стороной,  равной  данному  отрезку  а.

Решение  задачи  б)  можно  рассмотреть  на  примере  правильного  звездчатого  пятиугольника,  а  6-угольник,  8-угольник,  10-угольник  и  12-угольник  оставить  для  самостоятельного  исследования.  Все  эти  звездчатые  многоугольники  можно  получить  из  правильных:  сначала  выразить  сторону  исходного  правильного  n-угольника  через  а,  потом  его  построить,  а  от  него  перейти  к  звездчатому. 

Таким  образом,  звездчатые  многоугольники  представляют  интерес  не  только  с  точки  зрения  их  свойств,  но  и  с  точки  зрения  их  использования  в  различных  разделах  геометрии. 

Статья  подготовлена  в  рамках  программы  научных  исследований  Российского  гуманитарного  научного  фонда,  проект  14-16-18002  «Web-квест  технологии  как  средство  формирования  поликультурной  компетенции  учащихся  основной  школы  при  обучении  математике».

Список  литературы:

1. Волкова  М.В.  Web-квест  технологии  как  средство  формирования  поликультурной  компетентности  учащихся  основной  школы  при  обучении  математике  /  Web-технологии  в  образовательном  пространстве:  проблемы,  подходы,  перспективы:  сб.  ст.  участников  Международной  науч.-практ.  конф.  –  Н.  Новгород,  ООО  «Растр-НН»,  2015.  –  С.  227–230.
2. Крежевских  Л.Т.  Геометрические  свойства  «золотых»  фигур  /  Вопросы  технологии  в  обучении  математике:  материалы  региональной  науч.-практ.  конф.  «Преподавание  математики  в  вузах  и  школах:  проблемы  содержания,  технологии  и  методики».  –  Глазов:  Изд-во  Глазов.  гос.  пед.  ин-та,  2003.  –  С.  65–70.
3. Шарыгин  И.Ф.  Геометрия.  9–11  кл.:  От  учебной  задачи  к  творческой:  учеб.  пособие.  –  М.:  Дрофа,  1997.  –  400  с.