МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ КАК ОНА ЕСТЬ

Алатин Сергей Дмитриевич

канд. техн. наук, ст. науч. сотр., главный инженер ООО «Русское решение»,

РФ, г. Нижний Новгород

E-mail: alatin1949@mail.ru

POWER SETS AS IT IS

Sergey Alatin

candidate of technical Sciences, Senior Research Scientist, Chief Engineer

of OOO “Russkoye Resheniye”,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

Актуальность выбранной темы обусловлена необходимостью выявления и устранения апорий Зенона в основаниях теории множеств.

ABSTRACT

Relevance of the topic chosen due to the need to identify and eliminate the paradoxes of Zeno foundations of set theory.

Ключевые слова: мощность; степень; отображение множеств; апории Зенона.

Keywords: cardinality; degree; mapping of sets; Zeno aporia.

Увидев на клетке льва надпись «осел»,

не верь написанному.

К. Прутков

Настоящая статья является прямым продолжением работ автора [1] и [2].

В значительной своей части она служит дополнительным обоснованием, разъяснением и уточнением полученных в этих работах результатов. И хотя статья эта по форме является философской и в ней рассматриваются вопросы дефиниций, тем не менее, адресована она математикам: математикам, а не философам делать конкретные выводы из этих работ.

1. Об эквивалентности множеств различной размерности.

Алгебра работает с теми же объектами, что и теория множеств, и доказывает: отображение плоскости на прямую линию является вырожденным, поэтому биекцией быть не может. Кантор доказывает, что это биекция. Одновременно быть истинными эти результаты не могут. Один из них необходимо ложен.

Но вот уже полтора столетия как алгебраисты утверждают одно, а специалисты по теории множеств – другое. Каждый мирно сосуществует в своем «пространстве», но вечно так продолжаться не может.

Почему математика по настоящее время мирится с этим противоречием, и где его истоки? Более того, и в наше время, следуя Кантору, предпринимаются успешные попытки доказательств эквивалентности пространств конкретно самой различной размерности и считаются важными научными достижениями.

Да потому и мирится, что в своем доказательстве Кантор логически абсолютно безупречен.

Ставим вопрос ребром: так все-таки где же конкретно зарыта собака в этой апории Кантора, утверждающей очевидную нелепость об эквивалентности прямой и плоскости? Нелепость, которую вот уже полтора столетия математики считает гениальным открытием и по настоящее время не устают муссировать в интернете, оттачивая свой интеллект.

Саму логику Кантора смотреть бессмысленно: она действительно безупречна. Но логика безупречна и в апории про Ахиллеса и черепаху, так же утверждающей нелепость. В работе [1] показано, что парадокс Ахиллеса проистекает из неправомерного совмещения двух метрик – эвклидовой и неэвклидовой. У апории Кантора тоже есть неправомерное применение понятий.

Отметим, и это важно для понимания истоков, что, совершенно очевидно, Кантор прилежно изучал Гегеля. Немец Кантор начал публиковаться приблизительно через тридцать лет после выхода в свет «Науки логики» немца Гегеля, и не быть знакомым с этим знаменитым в то время трудом он не мог, поскольку язык и логики их очень похожи. В самом деле, рассуждения об «одно» и о «много», о «ничто» и о «нечто», о переходе одного «нечто» в другое «нечто», о «свечении» одного «нечто» в другом «нечто» – это любимые темы Гегеля, подробнейшим образом рассмотренные им в его «Учении о бытии» [5]. Кантор толкует о том же самом, только другими словами: о точках (числах), о множествах, о свечении (эквивалентности) одного множества в другое. Но вот незадача: автором установлено, что «Наука логики» – это всего лишь учебник схоластики, иначе говоря, пустопорожние словопрения, к науке отношения, не имеющие [4]. Вот Кантор и балансирует на границе математики и схоластики. Будучи по образованию математиком, он ловко оперирует и в области схоластики. В своем доказательстве эквивалентности прямой и плоскости Кантор прячется за числа, и факт сравнения несравнимых величин невооруженным глазом не видно: не видно, что сравниваются отношения имеющих размер с размера не имеющими, а это все равно, что сравнивать килограммы с метрами. И именно здесь, на уровне идентификации, Кантор выходит за рамки математики и переходит в область схоластики: оперирует с числами, которыми он обозначает точки, которые, в свою очередь, не имеют размера.

Собака зарыта именно здесь.

В виду важности вопроса уточнимся еще раз: так эквивалентность чего именно на самом деле установил Кантор в нашумевшем в свое время доказательстве эквивалентности множеств точек прямой и плоскости?

Курьезно: очень серьезный математик Кронекер, который редактировал математический журнал и, конечно же, прекрасно знал алгебру, получив для публикации эту самую работу Кантора, справедливо счел ее очевидной нелепостью, рассердился и пообещал, что разнесет ее в пух и прах. Несколько месяцев «мариновал» он эту работу. Но как Кронекер ни старался, как ни напрягался, найти в логике Кантора изъяна так и не смог, и был вынужден эту работу опубликовать. Не нашел он изъяна именно потому, что изъяна там не было. Не там искал Кронекер. Искать надо было в посылках. Более того – в посылках, которые Кантор в явном виде не формулировал. И посылки эти таковы: Кантор неправомерно исходил из того, что пространство можно рассматривать как множество точек, при этом на факт отсутствия у точки размера внимание обращено не было. Кронекер исходил из тех же ложных посылок, что и Кантор, и именно поэтому изъяна не обнаружил. Как показано в работе [2], этих посылок достаточно, чтобы априори и уже на «законном» основании объявить все непрерывные области эквивалентными, независимо от их размера и размерности.

Кантор конкретно обозначил числами точки, которые размера не имеют, и из которых, следовательно, невозможно построить ни прямую, ни плоскость. И самим действием этого обозначения придал идеальным точкам реальность. А уж далее – логически безупречно доказал эквивалентность соответственно множеств этих самых точек, которые размера не имеют. Современникам же доложил, что эквивалентны прямая и плоскость. И ему не сразу, но поверили. По сути же Кантор аналитически показал (слово «доказал» здесь не вполне уместно) философскую (да и на бытовом уровне) бессмысленную и бесполезную, бессодержательную, хотя и очевидную «истину»: «ничто» содержится одинаковое количество в любом «нечто». Разумеется, если здесь вообще применимо слово «количество». Строго говоря, уже сама постановка вопроса «сколько ничто разместится в некотором нечто» неправомерна уже потому, что эти объекты различаются качественно.

В высшей степени удивительно, но это именно так: логика здесь – один в один – та же, что и в шараде для первоклашек:

0 = 0 ® 1*0 = 2*0 ® 1*0/0 = 2*0/0 ® 1 = 2,

только вместо символа нуль поставлен символ бесконечности.

Так была «доказана» эквивалентность пространств размерностей 1 и 2.

Следует согласиться с Н. Бурбаки [4; 225], что действительные числа были вызваны к жизни потребностью измерений непрерывных величин (Отсюда вытекает желание присвоить непрерывность и множеству действительных чисел, но сама непрерывность множества действительных чисел отсюда еще никак не вытекает). Поэтому число, как абстрактная безразмерная величина, всегда суть отношение величин одинаковой размерности.

Как не имеет смысла вопрос – что больше, один килограмм или один метр, точно так же не имеет смысла и вопрос – что больше, один линейный метр или один метр квадратный. Говорить об эквивалентности метров линейных и метров квадратных можно, во-первых, отвлекаясь от их размерности (это есть первый недопустимый, но не всегда заметный схоластический ход); во-вторых, неявным образом жонглируя понятием актуальной бесконечности, так как такой объект, как не имеющая размера точка (пусть даже и число, эту точку изображающее) суть не что иное, как нуль, который связан с актуальной бесконечностью обратным отношением. Это есть второй недопустимый замаскированный схоластический ход.

Добавим: у точек нет самостоятельного бытия. Точки могут лишь служить границами имеющих бытие объектов. Точки придумал человек с целью ориентации в пространстве. В работе [1] показано, как постепенно, начиная с Декарта, точкам присваивали бытие. И ситуация получается довольно занятная: человек сам точки придумал, а после сам же и озаботился их пересчетом; пересчетом того, чего нет. Тут-то и открылось необъятное поле для фантазии.

Как итог: говорить об эквивалентности разноразмерных областей можно, лишь допустив недопустимое сравнение несравнимых величин (объектов).

Здесь же, в частности, берут свои истоки «доказательства» таких «теорем», как эквивалентность множеств целых чисел и чисел рациональных, счетность счетного множества счетных множеств и т. п.

2. О понятии эквивалентности множеств.

Ключевым понятием теории множеств является понятие эквивалентности (равномощности) множеств.

Понятие это, хотя до конца и непонятно, нужно ли оно вообще еще где-нибудь, кроме самой теории множеств, тем не менее представляется прозрачным, непротиворечивым и надежным. Например, множество целых чисел эквивалентно множеству чисел четных:

n ~ 2n.

Прозрачность эта начинает исчезать, как только мы замечаем, что как на границах множеств, так и на самих множествах, взятых как законченные целые, эквивалентность эта превращается в бессодержательные тождества:

0 = 2*0,

¥ = 2*¥.

С помощью аффинного преобразования легко показывается, что множества точек любых отрезков эквивалентны между собой. Это тоже представляется непротиворечивым и прозрачным. Однако и здесь как на границах множеств, так и на самих множествах, взятых как законченные целые, эквивалентность превращается в те же бессодержательные тождества.

Отсюда предварительно напрашивается: понятие эквивалентности множеств работает и, безусловно, имеет смысл на некотором ограниченном интервале (области), между тем как законность решения распространить (продолжить) его на множества безграничные и законченные (на актуальные бесконечности) не очевидна.

Поставим «невозможный» вопрос: какое множество имеет большую мощность – множество целых или множество действительных чисел? Для ограниченного интервала этих множеств ответ очевиден: здесь можно воспользоваться критерием эквивалентности. Если же эти множества брать как завершенные данности, то ответ становится не так очевидным. Не видно критерия, по которому можно отличить одну безграничную бесконечную величину, взятую как завершенное целое, от другой.

Вместо ответа именно на этот вопрос всегда предлагается ответ на другой вопрос: чем отличается на заданной ограниченной области множество целых чисел от множества чисел действительных? В ответе на второй вопрос – да, можно воспользоваться отношением эквивалентности.

Видимо, речь можно вести все-таки лишь о скорости, с которой приближаются множества к своим пределам (границам) – к нулю или к бесконечности, но не о самих этих пределах.

Уже при сравнении пространств различной размерности аффинной алгеброй не обойдешься, и вопрос обнажается: в работе [2] показано, что, поскольку точка размера не имеет, а отрезок (область) размер имеет, то, по сути дела, речь идет о том, сколько «ничто» разместится в некотором «нечто». Само понятие эквивалентности размывается и теряет смысл. Если эквивалентность заключается именно в этом, то непонятно, чем же она отличается от вопроса – сколько ангелов разместится на острие иголки.

На взгляд автора, это один и тот же вопрос, только терминология разная. И ответ один и тот же – континуум.

Получается: при рассмотрении ограниченных областей множеств одной размерности понятие эквивалентности еще работает и представляется осмысленным; при переходе к областям безграничным либо к областям с различными размерностями понятие это работать перестает, поскольку не видно, чем одна бесконечность отличается от другой бесконечности, и поскольку разноразмерные области несравнимы. Если, подчеркнем, бесконечности эти рассматриваются не как процессы, а как завершенные данности, иными словами, как актуальные бесконечности.

Именно невозможность внятно фиксировать их отличие породила ряд искусственных приемов. В частности, чтобы показать эквивалентность целых и рациональных чисел, пришлось строить довольно искусственную конструкцию, в которой рациональные числа предварительно определенным образом перемешали, лишив их естественной упорядоченности. Для доказательства несчетности множества действительных чисел последние вообще перемешали случайным образом. При этом, по мнению автора, была доказана лишь плотность этого множества.

Известно, что структура любого объекта может быть определена исходя из таковой на его границах. Каждое абстрактно взятое бесконечное множество имеет одни и те же границы – это нуль и бесконечность. Соответственно и различать безграничные и бесконечные множества, взятые как завершенные данности, нет оснований. Нет такого критерия, по которому можно отличить одну бесконечность как завершенную данность, от другой. Есть критерий, по которому можно различать лишь потенциальные бесконечности, что и делается в матанализе.

Иллюстрацией ограниченности понятия эквивалентности служит уже тот факт, что, повторимся в очередной раз, все непрерывные области оказываются эквивалентными между собой независимо от их размера и размерности.

Пользуясь отсутствием размера у точки, ставят и вопрос о множестве и даже уже и о структуре множества кардинальных чисел. Законность постановки самого этого вопроса «узаконил» Цермело своей аксиомой о степени множеств [6; 60]. Просто вот взял и «узаконил». Или: какие бесконечные множества бесконечных подмножеств ангелов разместятся на острие иголки, и как там у них с континуум-гипотезой, в том числе и обобщенной.

Теория множеств считается сегодня базисом всего здания математики. Во всяком случае, как показывает опыт Н. Бурбаки, начинать можно именно с нее. Схоластичность, соответственно и бесплодность таких разделов, как раздел о кардинальных числах или толки о континуум-гипотезе видны уже из того, что нигде, кроме самих этих теорий, применения найти не могут.

В матанализе под понятием «бесконечность» всегда понимается одно и то же: нет двух различных бесконечностей, есть лишь разные скорости приближения к бесконечности. Соответственно, нет и двух разных нулей.

3. Немного о понятии непрерывности действительных чисел.

Создатели матанализа исходили из понятия величины, которая считалась априори непрерывной. На понятии непрерывности, собственно, и построен весь матанализ: понятие точки (числа) было вспомогательным.

С проникновением в умы математиков теоретико-множественных идей, которые, почеркнем это, формально-логически безупречны, возник соблазн перестроить матанализ, исходя уже не из величины, а из множества, в частности, числового. Но без непрерывности – никуда, и сама логика привела: если матанализ верен, и если теоретико-множественные представления верны, то вывод можно сделать только один: множество действительных чисел – непрерывно.

Сам матанализ от этой перестройки ничего не приобрел, но ничего и не потерял. Сменился лишь язык: вместо «непрерывная величина» стали говорить «непрерывное множество».

И процесс этот происходил примерно так.

Во второй половине XIX века группа энергичных и настроенных мыслить исключительно аналитически математиков решили, что геометрические представления в матанализе неуместны, так как нарушают строгость доказательств. Но поскольку без понятия непрерывности в матанализе и шагу ступить невозможно, а понятие это прежде всего геометрическое (конечно, в физике много и иных непрерывных величин, которые, опять же, могут быть изображены непрерывными линиями), то свойство непрерывности просто взяли и перетащили из геометрии на множество действительных чисел, сформулировав для этого соответствующую аксиому (одним из первых озаботился, кажется, Дедекинд). И каких-либо серьезных обоснований этому факту перетаскивания нет, если не считать простого хотения и соображений эстетики. В работе [2] показано, как этому перетаскиванию многократно пытались придать статус научного факта.

Оказалось, однако, что перетаскивание это имеет негативные и далеко идущие последствия в самой теории множеств.

Действительно, если множество действительных чисел непрерывно, то возможно объявить биекцию его и отрезка, который остался непрерывным. Не точек отрезка, а именно самого отрезка [2].

Или: если множество действительных чисел непрерывно, то непрерывно и множество всех точек отрезка. Стало быть, это множество всех точек отрезка и есть сам отрезок.

Эта «логика» и лежит в основе апорий Кантора.

Но «логика» эта сразу же рушится, как только указывают на упрямый факт: нет у точек размера, стало быть, ничего из точек построить невозможно.

Мыслитель громадного масштаба, творец не только анализа бесконечно малых, но и глубокого философского трактата «Новые опыты о человеческом разуме» [7], Готфрид Вильгельм Лейбниц считал: «Ничего не происходит сразу, и одно из моих основных и наиболее достоверных положений то, что природа никогда не делает скачков» [7; 52].

Тогда почему же ни Лейбниц, ни Бернулли, ни Эйлер не посчитали нужным даже озадачиться непрерывностью множества действительных чисел?

Да потому, что не было у них в этом никакой нужды, как, впрочем, нет никакой настоятельной нужды и сегодня.

Действительно, матанализ начинается с рассмотрения предела отношения приращений функции и аргумента. В этом отношении оба приращения суть меры, которые непрерывны независимо от того, прерывно или не прерывно само множество действительных чисел, которыми эти самые меры отмеряют. И в этом вся суть дела. Человек имеет дело всегда лишь с величинами (с мерами), а числа – всего лишь ярлыки, которые на эти величины (объекты рассмотрения) навешиваются. И ситуация с числами та же, что и с точками: как не получается из точек построить хотя бы отрезок, не впадая при этом в логическую бессмыслицу, так не получается и из чисел сотворить какую-либо непрерывность. Но поскольку как у множества точек, например, отрезка, так и у множества действительных чисел свойство – дискретность – одно, постольку и стало возможным установить между ними биекцию. А непрерывная величина – сам отрезок, тут не при чем: дискретное множество точек, промаркированное дискретным множеством чисел, лежит на непрерывном отрезке – мере. И именно части непрерывных отрезков (мер) и имеет в виду Лейбниц, когда говорит об отношении приращения функции к приращению аргумента. Поэтому присваивать непрерывность множеству действительных чисел в матанализе никакой необходимости нет.

Биекцию множества точек числовой прямой и множества действительных чисел оспаривать, наверное, не надо. Но если из множества точек не получается построить непрерывную прямую, поскольку из точек построить не удается ничего, то как вообще можно вести разговор о непрерывности множества действительных чисел?

Присвоение множеству действительных чисел статуса непрерывности, равно как и присвоение точке статуса строительного материала для построения пространств, являются волевыми решениями скорее эстетического плана, позволяющими более выпукло и компактно формулировать теоремы математики, иллюстрацией чего служит многотомный трактат Н. Бурбаки.

Но решения эти на определенном этапе работать перестают и приводят к логическим нестыковкам, а также открывают дорогу, при неправомерном их применении, к совершенно оторванным от реальности абстракциям.

Как общий вывод из работ [1; 2] и настоящей статьи, следует сказать следующее.

Всякая абстракция, даже самая разумная и полезная, как и любой иной полезный инструмент, имеет границы своего адекватного применения: топором можно срубить дерево и построить дом, но нельзя починить женские часики.

Абстракция «непрерывное пространство суть множество точек …» уместна и удобна для того, чтобы задавать в этом пространстве те или иные структуры, в которых точки служат лишь границами чего-то иного.

Но как только не имеющим размера точкам – объектам исключительно идеальным – присваивается реальность, то есть самостоятельное существование, и из них начинают строить непрерывные, имеющие размеры объекты пространства, так сразу же абстракция эта перестает работать, перестает адекватно отображать реальное положение дел; перестает именно потому, подчеркнем еще раз, что пространство – реально, точки же – всего лишь продукт абстракции, поэтому идеальны. Уже поэтому даже пересекаться с пространством они не могут.

Имеет границы своего адекватного применения и такая абстракция, как «эквивалентность множеств»: распространение ее на актуальные бесконечности лежит в основе специфической области схоластики – учения о кардинальных числах.

Выход за допустимые рамки применения указанных абстракций и есть первопричина целого ряда парадоксальных, а по сути дела ошибочных результатов Кантора.

В этом, в частности, и заключается ответ на вопрос – почему математика мирится с парадоксальными результатами и вскрыть их не может: не на поле математики лежат эти парадоксы, а на поле философии, более точно – в области идентификации.

P.S.

1. Впрочем, ничего плохого в том, что современные интеллектуалы от цеха математики рассуждают об обобщенной гипотезе континуума, об иерархии алефов, о слабо недостижимых и о сильно недостижимых кардинальных числах, об элиминации порядковых чисел и т. п., конечно же, нет.

И хотя это вопросы из того же разряда, что и вопросы западных средневековых ученых схоластов-богословов – сколько ангелов может разместиться на острие иголки, и может ли муха сесть на нос Папе римскому; являются, можно сказать, одной из форм рецидива схоластики в наше время, но кто может ручаться, быть может, и на этом запредельно абстрактном по форме и схоластическом по содержанию пути со временем отковать какой-нибудь полезный инструмент так-таки и удастся.

Ведь защищают же в Англии и по настоящее время диссертации о Шерлоке Холмсе, и степени ученые присуждают.

Не видно так же, чем хуже доктор от богословия доктора от философии.

Опять же следует помнить наставление А. Эйнштейна: мы всегда должны быть готовы изменить наши представления о Вселенной.

2. Автор признает неправоту своих воззрений и публично покается, но только в том случае, если ему предъявят множество различных нулей, упорядоченное по включению.

Список литературы:

1. Алатин С.Д. О рациональных числах, «диагональной теореме» и о теории множеств вообще. / Естественные и математические науки в современном мире / Сб. ст. по материалам XXXII международной научно-практической конференции. – 2015 – 7 (31). Новосибирск: Изд. «СибАК», – С. 6–20.
2. Алатин С.Д. О множестве действительных чисел. / Естественные и математические науки в современном мире / Сб. ст. по материалам XXXYI–XXXYII международной научно-практической конференции. – 2015 – 7 (31). Новосибирск: Изд. «СибАК», – С. 6–20.
3. Алатин С.Д. Вселенская мистификация: Монография. Нижний Новгород: Печатная Мастерская РАДОНЕЖ, 2015. – 236 с.
4. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы, числа и связанные с ними группы и пространства. «Наука», 1969, 392 с.
5. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. Т. 1. М., «Мысль», 1970. – 504 с.
6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. – М., «Мир», 1970. – 416 с.
7. Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме. – М., – Л. 1936, 686 с.