Понятие комплексных чисел в аффинной системе координат и поворот аффинной плоскости

Сагиндыков Бимурат Жумабекович

канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель, КазНИТУ. им. К.И. Сатпаева, Республика Казахстан, г. Алматы

Е-mail: 

CONCEPT OF COMPLEX NUMBERS IN THE AFFINE COORDINATE SYSTEM AND ROTATION OF AFFINE PLANE

Bimurat Sagindykov

candidate (Ph.D.) of Physical and Mathematical sciences, senior lector, KazNRTU after K.I. Satpayev,

Kazakhstan, Almaty

Аннотация

В данной статье рассматривается связь между декартовой и аффинной системами координат. С помощью обобщенной формулы Эйлера получены формулы поворота аффинной плоскости. Через управляющие параметры  построены графики некоторых кривых второго порядка, которые являются образами окружности. Показано, в каких разделах математики и механики применяется эта теория.

ABSTRACT

This article discusses the connection between Cartesian and affine coordinate systems. Formulas of rotation of the affine plane were obtained by using the generalized Euler formula. Graphs of some curves of the second order, which are images of the unit circle, plotted using control parameters . Application of this theory in some areas of mathematics and mechanics was shown in the article.

Ключевые слова: аффинная плоскость; обобщенное комплексное число; обобщенная формула Эйлера; аффинное преобразование.

Keywords: affine plane; generalized complex number; a generalized Eulers' formula; an affine transformation.

Введение. Если на плоскости выбрать декартову систему координат, то между всеми комплексными числами  и всеми точками  плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если на плоскости выбрать аффинную систему координат (т. е. косоугольную систему координат), то возникает вопрос – какое комплексное число однозначно соответствует текущей точке  плоскости относительно этой системы координат? Такое комплексное число называется обобщенным комплексным числом и представляется в алгебраической форме как , где ; ;  – вещественные числа [1; 2]. Ниже будет изложен один из вариантов понятия обобщенного числа [3].

Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно старших производных, для неизвестной функции :

                         (A)

где: .

Решение уравнения (A) ищем в виде , где  – некоторый мнимый параметр аффинной плоскости. В новой переменной  уравнение (A) принимает вид

Если коэффициенты  считать постоянными, то параметр  удовлетворяет условию . Отсюда , где , . Следовательно, искомое решение представляет собой функцию от обобщенного комплексного переменного , .

Плоскость обобщенных комплексных чисел. Зададим на плоскости аффинную систему координат . Тогда каждому обобщенному комплексному числу  можно однозначно поставить в соответствие точку  (рис. 1). Вещественные числа  при этом изображаются точками оси , поэтому ось  называют действительной, числа  называют мнимыми и изображаются точками оси . Эту ось называют мнимой.

Рисунок 1. Производная аффинная система координат

Число  называется сопряжением комплексному числу . Действительное число  называется модулем комплексного числа [1]. В аффинной системе координат радиус-вектор точки  определяется векторным равенством . Тогда

В аффинной системе координат направление базисного вектора  (т. е. угловой коэффициент прямой, проходящей через полюс) относительно декартовой системы координат определяется из условия:

, где .

В аффинной системе координат, чтобы найти геометрическим способом сопряженную точку  точки  сначала находим уравнение прямой, относительно которой рассматривается центральная аффинная симметрия. Разыскиваемая прямая проходит через точку  на действительной оси, а ее направляющим вектором является вектор . Следовательно,  есть уравнение прямой, относительно которой рассматривается центральная аффинная симметрия. Далее относительно этой прямой находятся координаты сопряженной точки.

Пусть аффинная система координат  определяется через управляющие параметры , . Тогда , , , . Если в этой системе задана точка , то сопряженной ей точкой является точка . В дальнейшем, чтобы понять геометрическую интерпретацию обобщенных комплексных чисел начало аффинной системы координат совмещаем с началом декартовой системы координат.

Если в декартовой системе координат произвольная точка  имеет координаты  и , то после преобразования  эта же точка переходит к точке . Но относительно репера  аффинной системы координат точка  имеет координаты  и . Таким образом будем считать, что , то есть в дальнейшем рассматриваем аффинные преобразования плоскости. Тогда формулы

 и

связывают координаты точки при переходе от декартовой системы координат к другой аффинной системе координат и наоборот. При этом выполняется тождество .

Пример. Пусть репер  аффинной системы координат определяется через управляющие параметры . Тогда направление мнимой оси (т.е. ось ) определяется равенством

, , где .

В аффинной системе координат рассмотрим точку . После преобразования  эта же точка относительно декартовой системы координат  имеет координаты  (рис. 2).

 и для точки  имеем:

; ;

Рисунок 2. Аффинная система координат при

Если мы фиксируем радиус-вектор точки  и меняем угол , то конец вектора описывает окружность с радиусом . В то время её образ, т. е. точка  в косоугольной системе координат описывает эллипс, который определяется уравнением .

Аффинные преобразования координат. Рассмотрим аффинные преобразования системы координат на плоскости.

Пусть на плоскости заданы два репера  и . Первую систему координат условно назовем "старой", а вторую – "новой". Тогда  – старый, а базис  – "новый". То ввиду единственности разложения вектора по базису имеем

                                              1)

где:  – координаты векторов нового базиса относительно старого базиса.

Если детерминант матрицы перехода от старого базиса к новому отличен от нуля, то система (1) разрешима относительно , . Тогда всякое аффинное преобразование на плоскости задается в любом аффинном репере формулами вида

                                      2)

Теорема. Преобразование умножения на обобщенное комплексное число с модулем единица является поворотом аффинной плоскости .

Формула  определяет поворот евклидовой плоскости на угол , так как . Следовательно, формула  определяет поворот аффинной плоскости на угол . Если раскрыть последнюю формулу, имеем

где

Отсюда                                            3)

Здесь .

Тогда переход от репера  к реперу  осуществляется в виде следующей формулы

                                   4)

где: .

Применение теории обобщенных комплексных чисел в аффинной геометрии. Выше было получено тождество , которое связывает декартовую и аффинную систему координаты текущей точки. Если в декартовой системе координат рассмотрим окружность , то образом этой окружности в аффинной системе координат является эллипс, который определяется уравнением .

Ниже показаны образы различных кривых второго порядка, полученных с помощью управляющих параметров ,  (рис. 3).

Рисунок 3. Аффинная система при различных  и

Список литературы:

1.    Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. – М.: Наука, 1971. – C. 240. 

2.    Sagindykov Bimurat. Analytical functions of generalized complex variables and some applications // International Journal of Research in Education Technology. – 2014. Vol. 5. № 1. – P. 569–575.

3.    Sagindykov Bimurat. The generalized complex exponent and its application for finding sums // International Journal of Advanced Research. – 2013. Vol. 1. Issue 10. – P. 546–550.