О  МНОЖЕСТВЕ  ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ  ЧИСЕЛ

Алатин  Сергей  Дмитриевич

канд.  техн.  наук,  старший  научный  сотрудник,

главный  инженер  ООО  «Русское  решение»,

РФ,  г.  Нижний  Новгород

E-mail:  alatin1949@mail.ru

ON  THE  SET  OF  REAL  NUMBERS

Sergey  Alatin

candidate  of  technical  Sciences,  Senior  Research  Scientist,  Chief  Engineer

of  OOO  “Russkoye  Resheniye”,

Russia,  Nizhny  Novgorod

АННОТАЦИЯ

Актуальность  выбранной  темы  обусловлена  необходимостью  выявления  и  устранения  апорий  Зенона  в  основаниях  теории  множеств.

ABSTRAСT

Relevance  of  the  topic  chosen  due  to  the  need  to  identify  and  eliminate  the  paradoxes  of  Zeno  foundations  of  set  theory.

Ключевые  слова:  мощность;  степень;  отображение  множеств;  апории  Зенона.

Keywords:  cardinality;  degree;  mapping  of  sets;  Zeno  aporia.

Бросая  в  воду  камни,

смотри  на  круги,  ими  образуемые.

В  противном  случае  оное  бросание

будет  зряшным  времяпрепровождением.

К.  Прутков.

Настоящая  статья  является  продолжением  ранее  опубликованной  работы  автора  [1],  и  пусть  в  ней  отсутствует  математическая  символика,  тем  не  менее,  по  мнению  автора,  она  должна  быть  отнесена  к  рубрике  математики.

Кантор  объявил,  что  установил  равномощность  плоскости  прямой  и  сам  удивился  этому.  Сделал  он  это  аналитически:  из  двух  координат  точки  плоскости  изготовил  одно  число  и  показал  его  биекцию  на  числовую  ось.  Удивился  он,  и  не  только  он,  потому,  что  все  видят  –  плоскость  представляется  бесконечно  больше  прямой  линии.  Между  тем  удивляться  тут  нечему,  и  вопрос  этот  очевиден  и  без  аналитики.  Действительно,  отрезок  линии  либо  область  пространства  любого  конечного  числа  измерений  имеет  отличную  от  нуля  величину  (размер,  меру).  Точка  размера  не  имеет.  Внимание,  вопрос:  какой  смысл  можно  придать  самому  вопросу  –  сколько  точек  разместится  на  отрезке,  независимо  от  его  размера  или  размерности?  Или:  каким  образом  это  возможно  из  того,  что  размера  не  имеет,  сконструировать  то,  что  размер  имеет?  То  есть,  как  это  представить  себе,  чтобы  из  не  имеющих  размера  точек  соорудить  имеющую  размер  область?  Обращение  к  такой  категории,  как  бесконечность,  тут  не  поможет:  нуль  остается  нулем,  сколько  раз  его  ни  приплюсовывай,  и  из  точек  составить  отрезок,  площадь,  объем  и  т.  д.  никак  не  получается.  Или:  того,  чего  нет,  разместится  одинаковое  количество  в  любом  том,  что  есть.  Собственно,  Кантор  аналитически  показал  именно  это.

Добавим:

По  форме  –  Кантор  работал  с  числами  и  только  с  числами,  речь  же  вел  о  плоскости  и  прямой.

По  факту  –  Кантор  сравнивал  различные  «нечто»  (плоскость  и  прямая)  с  «ничто»  (точка),  а  это  есть  логическая  ошибка  –  количественное  сравнение  несравнимых  качеств  или  величин.

Поэтому  теорема  о  равномощности  точек  плоскости  и  прямой,  по  мнению  автора,  математической  теоремой  не  является;  это  «теорема»  философии,  скорее  схоластики.  Эта  «теорема»,  как  и  упомянуто  выше,  предлагает  ответ  на  вопрос  –  сколько  «ничто»  разместится  в  «нечто»,  и  ответ  этот  называет  словом  континуумом.

(По  мере  углубления  анализа  все  чаще  ловлю  себя  на  мысли  –  уж  не  пошутил  ли  Кантор  над  всеми  нами?  Очень  уж  похож  этот  вопрос  на  излюбленный  средневековыми  богословами-схоластами  вопрос  –  сколько  ангелов  может  разместиться  на  острие  иголки?)

Подчеркнем  еще  раз:

Кантор  рассматривал  не  плоскость  и  прямую,  а  координаты  –  двухмерную  систему  координат  на  плоскости  и  одномерную  на  прямой:  реальные  плоскость  и  прямая  были  заменены  заданными  на  них  соответствующими  системами  координат,  которые  и  анализировались.  Стало  быть,  и  выводы  Кантора,  в  лучшем  случае,  справедливы  лишь  для  систем  координат  разного  числа  измерений.

Смешение  понятия  пространства  с  понятием  системы  координат  пронизывает  всю  современную  математику,  что  не  мешает  ей,  следует  признать,  успешно  развиваться.  Между  тем  координатные  оси  –  не  более  чем  строительные  леса,  по  которым  передвигаются  и  с  помощью  которых  ориентируются,  но  к  строящемуся  зданию  (к  пространству)  отношения  они  не  имеют.  Аналогичную  роль  играют  и  числа  на  каждой  из  осей  координат:  дают  возможность  позиционироваться  на  оси.  Тем  не  менее,  сам  А.Н.  Колмогоров  пишет:  «Метрическим  пространством  называется  пара  (Х,  r),  состоящая  их  некоторого  множества  (пространства)  Х  элементов  (точек)  и  расстояния…»  [4,  с.  48].

Любопытно,  но  еще  И.  Кант  понимал:  «…точки  (единственное  простое,  что  есть  в  пространстве)  суть  лишь  границы,  а  не  нечто  такое,  что  само  служит  как  часть  для  образования  пространства»  [3,  с.  319].

На  поставленные  выше  вопросы  сегодня  отвечают,  по  сути,  так:  то,  чего  нет,  разместится  одинаковое  количество  в  любом  том,  что  есть,  и  это  одинаковое  количество  суть  континуум  (по-русски  –  непрерывное,  сплошное).  Но  если  континуум  есть  нечто  непрерывное  и  сплошное,  то  это  есть  нечто  единое,  а  никак  не  множество.  Получается,  что  называть  нечто  непрерывное  «множеством»  –  не  более  чем  фигура  речи,  означающая,  что  в  это  непрерывное  введена  система  координат,  координаты  которой  и  именуют  множеством. 

По  нашему  мнению,  налицо  подмена  понятий.

По  мере  развития  матанализа  математиками  формальной  школы  все  больше  овладевало  желание  придать  ему  логическую  завершенность,  которая  понималась  ими  как  полное  изгнание  из  арифметики  геометрических  представлений,  как  будто  все  процессы  происходят  не  в  пространстве  той  или  иной  структуры.  Действительно,  если  раньше  говорили,  что  прямая  есть  геометрическое  место  точек,  и,  поскольку  непрерывность  этого  геометрического  места  –  линии  –  сомнению  не  подвергалась,  не  возникал  и  вопрос  о  непрерывности  действительных  чисел.  Когда  же  непрерывное  геометрическое  место,  на  котором  располагались  точки,  упразднили  и  стали  говорить,  что  прямая  суть  множество  точек  с  такими-то  свойствами,  то,  естественно,  встал  и  вопрос  о  непрерывности  этого  множества.  Но  было  и  осознание  противоречия:  с  одной  стороны,  процессы,  протекающие  в  природе,  как  и  само  пространство,  непрерывны,  соответственно  и  описывающий  их  матанализ  без  понятия  непрерывности  чисел  выглядел  ущербным;  с  другой  стороны,  множество  тех  же  действительных  чисел  состоит,  как  видят  все,  из  отдельных  чисел,  и,  по-видимому,  прерывно.

Привычное  словосочетание  «непрерывное  множество»  представляется  абсурдным,  поскольку  множество  всегда  состоит  из  отдельных  элементов.

Вопрос  этот  решился  по  самому  надежному  древнему  принципу  –  если  и  нельзя,  но  очень  хочется,  то  можно.

Выбор  был  невелик  –  либо  вернуть  на  место  непрерывное  «геометрическое  место»,  либо  непрерывность  этого  «геометрического  места»  присвоить  множеству  действительных  чисел.  Математика  пошла  по  второму  пути,  и  множество  действительных  чисел  было  просто-напросто  объявлено  непрерывным,  при  этом,  в  виду  важности  вопроса,  было  предпринято  несколько,  на  мой  взгляд,  безуспешных  попыток  придать  понятию  непрерывности  действительных  чисел  научный  вид.  Вот  некоторые  из  них.

1. Непрерывность  по  Дедекинду 
2. Лемма  о  вложенных  отрезках  (принцип  Коши-Кантора)
3. Принцип  супремума
4. Лемма  о  конечном  покрытии  (принцип  Гейне-Бореля)
5. Лемма  о  предельной  точке  (принцип  Больцано-Вейерштрасса)

Все  эти  подходы  эквивалентны  между  собой  (строго  говоря,  некоторые  из  них  не  вполне  эквивалентны),  что  естественно,  так  как  они  пытаются  описать  одно  и  то  же  свойство  –  непрерывность.  И  все  они  сводятся  к  той  или  иной  формулировке  непрерывности  геометрического  объекта  –  линии.  Это  неизбежно,  поскольку  понятие  непрерывного  пространства  является  первичным.  Когда  же  за  первичное  понятие  взяли  множество,  тогда  и  встал  неразрешимый  вопрос,  как  из  точек  сконструировать  пространство.  Задача  эта  на  логическом  поле  не  имеет  решения  и  заувалируется  словом  «континуум». 

Можно  сказать  и  так:  нет  у  нас  другого  инструмента,  кроме  чисел  –  дискретного  в  самой  своей  основе  множества.  С  другой  стороны  –  непрерывные  объекты  пространства  –  геометрии.  Более  того  –  нужды  матанализа.  Отсюда  –  упорные  попытки  если  не  доказать,  то  хотя  бы  как-то  оправдать  объявленную  непрерывность  действительных  чисел.  Хотя,  казалось  бы,  чего  нелогичного  в  том,  чтобы  считать  действительные  числа  прерывным  инструментом,  с  помощью  которого  мы  изучаем  непрерывные  объекты?

Рассмотрим  логику  приведенных  выше  принципов  непрерывности.

1. Дедекинд  принял  как  данные  три  факта:

*на  числовой  оси  нет  места,  где  бы  не  было  точки,

*на  числовой  оси  нет  точки,  которой  не  соответствовало  бы  действительное  число,

*между  точками  и  числами  существует  биекция.

Поскольку  же  числовая  ось  непрерывна,  давайте  считать  непрерывным  и  множество  действительных  чисел.  В  этих  трех  пунктах  начинается  и  заканчивается  весь  Дедекинд  [2],  и  добавить  тут  больше  нечего. 

Однако  он  зачем-то  ввел  понятие  сечения  –  разбиение  множества  на  два  класса  –  и  зафиксировал  очевидный  факт:  каждому  сечению  соответствует  одно  число,  и  каждому  числу  соответствует  одно  сечение.  Имея  в  виду  вещественные  числа,  он  их  линейную  упорядоченность  молчаливо  предполагает.  Далее  он  отметил  еще  один  очевидный  факт:  сечение  можно  задать  как  на  геометрической  прямой,  так  и  на  множестве  действительных  чисел,  при  этом  рассуждения  о  сечении  на  прямой  линии  и  на  множестве  действительных  чисел  совпадают  с  точностью  до  терминологии.  Собственно,  вот  и  вся  логика  Дедекинда,  и  в  этой  логике  состоит  весь  его  принцип  непрерывности.  Между  тем,  сечения  Дедекинда  можно  задать  и  на  линейно  упорядоченном  множестве  целых  чисел,  но  отсюда  непрерывность  их  еще  не  последует.

Вывод:  сечения  Дедекинда  –  всего  лишь  попытка  придать  видимость  научности  недоказуемому  факту  непрерывности  действительных  чисел.

2. В  этой  лемме  как  само  собой  разумеющееся  используется  понятие  отрезка  (по  умолчанию  непрерывного),  его  длины;  точка  отрезка  отождествляется  с  числом,  используется  понятие  предела.

Но:  если  непрерывный  отрезок  уже  задан,  то  нет  необходимости  доказывать  его  непрерывность.  А  если  непрерывность  его  только  доказывается,  то  неправомерно  пользоваться  понятием  предела,  который  сам  предполагает  непрерывность.  Вообще  же  в  лемме  речь  идет  об  отрезках  и  точках,  а  никак  не  о  числах.  Число  просто  присваивается  точкам.

В  итоге:  лемма  исходит  их  тех  же  посылок,  что  и  Дедекинд.

Крамольный  вопрос  –  как  же  все-таки  из  не  имеющих  размера  точек  сконструировали  имеющий  размер  отрезок  –  повисает  в  воздухе.

3. Если  постулировать  существование  супремума  у  всякого  непустого  ограниченного  сверху  множества,  то  можно  доказать  принцип  непрерывности  по  Дедекинду.
4. «В  любой  системе  интервалов,  покрывающей  отрезок,  существует  конечная  подсистема,  покрывающая  этот  отрезок». 

Здесь  речь  идет  снова  о  геометрических  объектах  –  об  отрезках.

5. «Всякое  бесконечное  ограниченное  числовое  множество  имеет  по  крайней  мере  одну  предельную  точку».

Доказательство  этой  леммы  непосредственно  опирается  на  непрерывность  числового  множества.

Общие  выводы: 

*Процессы  природы  непрерывны:  протекают  в  непрерывных  пространстве  и  времени.

*Человек  построил  прерывный  аппарат  –  числа.

*Желание  аналитически  настроенных  математиков  полностью  уйти  в  арифметике  от  геометрии  привело  к  формальному  и,  на  сегодняшний  день,  строго  не  обоснованному  переносу  геометрического  понятия  непрерывности  из  геометрии  на  числовое  множество  действительных  чисел.

*Построение  математики  «от  точки»  (от  множества)  оставляет  неразрешимым  противоречие  между  не  имеющей  размера  точкой  и  имеющим  размер  пространством.

P.S.

1. Возьмем  дробь,  например,  2/3  и  поставим  вопрос:  что  это  –  число  или  алгоритм  для  нахождения  числа?

Наличие  оператора  деления,  который  предполагает  известный  алгоритм  Эвклида,  склоняет  к  мысли,  что  это  не  число,  а  алгоритм.

Если  же  это  число,  то,  поскольку  не  видно,  чем  оператор  деления  лучше  всех  остальных  операторов,  придется  признать,  что  и  2*3  число,  и  2³  число,  и  любое  арифметическое  выражение  тоже  суть  число,  что  представляется  нелепым. 

Рассматривая  в  позиционной  системе  счислений  лишь  дробную  часть  действительных  чисел  –  после  запятой,  все  числа  можно  разделить  так:

1. Число  знаков  (цифр)  конечно.
2. Число  знаков  бесконечно  и  периодично.
3. Число  знаков  бесконечно  и  не  периодично.

Иного  деления  не  существует.

Если  не  привлекать  геометрических  соображений  соизмеримости-несоизмеримости  и  оставаться  на  чисто  аналитической  точке  зрения,  то  следует  признать,  что  между  числами  по  п.  2  и  п.  3  сходства  больше,  чем  различий:  наличие  периода  в  п.  2  лишь  облегчает  ручные  вычисления,  но  не  отменяет  необходимость  производить  их  бесконечно.

В  виду  бесконечного  числа  знаков  в  числах  как  в  п.  2,  так  и  в  п.  3  точное  значение  их  в  записи  позиционной  системы  одинаково  невозможно.

В  этом  смысле  выделение  рациональных  чисел  (п.  1  и  п.  2)  в  отдельный  класс  представляется  аналитически  недостаточно  обоснованным.

2. Если  же,  вслед  за  древними  греками,  2/3  считать  числом,  то,  поскольку  множество  всех  этих  чисел  неполно  и  дополнить  его  в  такой  форме  записи  не  представляется  возможным,  можно  сделать  и  такой  вывод:  представление  (изображение)  чисел  в  виде  отношения  является  наглядным,  но  не  корректным.  Скорее,  это  лишь  дань  традициям. 

Боле  того,  если  2/3  считать  числом,  то,  рассуждая  о  рациональных  числах,  вообще  не  выходим  за  рамки  целых  чисел.  В  этом  смысле  множество  целых  чисел  придется  считать  полем,  и  понятие  «рациональное  число»  следует  упразднить. 

Стало  быть,  само  понятие  рационального  числа  могло  возникнуть  и  возникло  на  пересечении  архаичного  счисления  над  обыкновенными  дробями  и  позиционной  системы  счисления.

Список  литературы:

1. Алатин  С.Д.  О  рациональных  числах,  «диагональной  теореме»  и  о  теории  множеств  вообще.  Материалы  XXXII  международной  научно-практической  конференции.  Сборник  научных  трудов,  №  7(31),  Новосибирск,  2015  г.
2. Дедекиндъ  Р.  Непрерывность  и  иррацiональные  числа.  Одесса,  1914.  –  40  с.
3. Кант  И.  Критика  чистого  разума.  М.,  ЭКСМО,  2014.  –  736  с.
4. Колмогоров  А.Н.,  Фомин  С.В.  Элементы  теории  функций  и  функционального  анализа.  М.,  Наука,  1981.  –  544  с.