КЛАССИФИКАЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО КОСЕМАНТИЧНОСТИ ФРАГМЕНТОВ

ЙОНСОНОВСКИХ МНОЖЕСТВ В ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНО ПРОСТЫХ

ВЫПУКЛЫХ ЙОНСОНОВСКИХ ТЕОРИЯХ

Ешкеев Айбат Рафхатович

д-р физ.-мат. наук,

проф. Карагандинского государственого университета им. Академика Е.А. Букетова

зав. кафедрой алгебры, математической логики и геометрии им. проф. Т.Г. Мустафина,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: modth1705@mail.ru

Шаматаева Назгуль Куанышовна

докторант 1-го курса, специальность «6D060100-Математика»,

Карагандинский государственный университет им. Академика Е.А. Букетова,

преподователь Карагандинского политехнического колледжа,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: naz.kz85@mail.ru

Жумакаева Кульбан Нигметовна

магистрант 1-го курса, специальность «6М060100-Математика»,

Карагандинский государственный университет им. Академика Е.А. Букетова,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: 

CLASSIFICATION WITH REGARD TO THE COSEMANTICNESS OF FRAGMENTS

OF JONSSON SETS IN EXISTENTIAL PRIME CONVEX JONSSON THEORIES 

Aibat Yeshkeyev

Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

named after E.A. Buketov Karaganda State University  

Professor Head. Of Department of Algebra, Mathematical logic

and Geometry. Named after prof. T.G. Mustafin,

Kazakhstan, Karaganda

Nazgul Shamatayeva

named after E.A. Buketov Karaganda State University Doctoral student of 1st course,

speciality “6D060100-Mathematics” teacher of the Karaganda Polytechnic College,

Kazakhstan, Karaganda

Kulban Zhumakayeva

named after E.A. Buketov Karaganda State University

Master of 1st course, speciality “6M060100-Mathematics”,

Kazakhstan, Karaganda

АННОТАЦИЯ

В этой статье рассмотрены различные способы классификации фрагментов йонсоновских множеств в экзистенциально простых выпуклых йонсоновских теориях относительно косемантичности замыканий этих множеств. Также рассмотрены синтаксические и семантические свойства их моделей через понятие косемантичности для фрагментов рассматриваемых йонсонсвких множеств.

ABSTRACT

This article discusses various ways to classify the fragments of Jonsson sets in existential ptime convex Jónsson theories regarding a cosemanticness of closures of these sets. Also considered syntactic and semantic properties of their models through the concept cosemanticness for fragments considered Jonsson sets.

Ключевые слова: йонсоновский теория, совершенная йонсоновская теория, выпуклая теория, экзистенциально простая теория, индуктивная теория, йонсоновское множество, экзистенциально замкнутая модель, алгебраически простая модель.

Keywords: the Jónsson theory, perfect Jónsson theory, convex theory, existential prime theory, inductive theory, Jonsson set, existentially closed model, algebraically prime model.

В данной работе мы рассмотрим некоторые теоретико-модельные свойства фрагментов йонсоновских множеств. Такие множества были определены и по их исследованию начата работа [1, с. 53–62; 7, с. 99–100; 8, с. 8; 9, с. 751–752]. В работе [3, с. 48–56], были рассмотрены вопросы счетной и несчетной категоричности для йонсоновских множеств просто йонсоновских теорий. Под такими фрагментами будут рассматриваться специальные замыкания этих множеств. Изучение таких свойств лежит в русле изучения йонсоновских теорий. Йонсоновские теории составляют достаточно широкий класс теорий, которые являются примерами основных классических примеров алгебр. Например, следующие теории есть суть йонсоновские: Группы, абелевы группы, поля фиксированной характеристики, булевы алгебры, решетки, полигоны. С другой стороны, к йонсоновской теории можно легко прийти с помощью естественных обогащений, как скулемизация или морлизация от произвольной полной теории [2, с. 61]. Но при этом йонсоновские теории вообще говоря являются неполными, а аппарат исследования таких теорий недостаточен для современных реалий теории моделей. Таким образом развитие для изучения йонсоновских множеств, является актуальной задачей.

Основной задачей теории моделей является классификация двух понятий – теории и класса её моделей. Модели фиксированной теории между собой классифицируется различными способами, например, изоморфизм, элементарная эквивалентность. Такой подход обычно рассматривается для полных теорий. В случае неполных теорий (а йонсоновские теории в общем случае таковыми являются) понятие элементарной эквивалентности двух моделей было обобщено Т.Г. Мустафиным на понятие йонсоновской эквивалентности, рассмотренной в [4, с. 39–41].

Данная статья связана с классификацией фрагментов в новом классе теорий. А именно, рассмотрены, экзистенциально простые выпуклые йонсоновские теорий введенные в [8, с. 8]. Рассмотренная классификация – это косемантичность между фрагментами подмножеств семантической модели рассматриваемой теории.

В дальнейшем в данной статье мы будем придерживаться определений всех устоявшихся атрибутов и методов, присущих изучению йонсоновских теорий и их классов моделей, только лишь с учетом специфики экзистенциальной простоты и выпуклости рассматриваемого класса теорий и соответственно их классов экзистенциально замкнутых моделей.

Дадим основные ппредварительные сведения о йонсоновских теориях [5, с. 122–126].

Пусть L является счетным языком первого порядка.

Следующие два определения принадлежит А. Робинсону.

Определение 1. Модель теории называется алгебраически простой, если она изоморфно вкладывается в любую модель рассматриваемой теории.

Существуют теории с разным спектром алгебраически простых моделей, в том числе и с пустым.

Определение 2. Теория  называется выпуклой,если для любой ее модели и для любого семейства  ее подструктур, которые являются моделями теории , пересечение  есть модель теории При этом предполагается, что это пресечение не пусто. Если это пересечение никогда не пусто, то теория называется сильно выпуклой.

Выделим следующее понятие йонсоновоски теории, характеризующее достаточно широкий подкласс индуктивных теорий.

Определение 3. Теория  называется йонсоновской, если

1)  имеет бесконечную модель;

2)   - аксиоматизируема;

3)   обладает свойством совместного вложения (JEP), то есть любые две модели  и  изоморфно вкладываются в некоторую модель ;

4)   обладает свойством амальгамируемости (АР), то есть если для любых  таких, что ,  – изоморфные вложения, существуют , изоморфные вложения ,  такие, что .

Определение 4. Модель  йонсоновской теории  называется семантической моделью теории , если она  – однородна – универсальна.

Определение 5. Семантическим пополнением (центром) йонсоновской теории  называется элементарная теория  семантической модели  теории , т.е. .

Далее мы предполагаем, что мы работаем с некоторой йонсоновской теорией (ее мы будем называть первоначальной)  полной для экзистенциальных предложений и ее семантической моделью С.

Определение 6. Модель  теории  называется  – экзистенцианально замкнутой, если для любой модели В и любой экзистенциальной формулы  с константами из  выполняется А╞  при условии, что  подмодель  и В╞ .

Заметим, что если  – класс  – экзистенциально замкнутых моделей индуктивной теории , то он всегда непуст [3, с. 57–61]. 

Определение 7. Индуктивная теория  называется экзистенциально-простой, если

1.  Она имеет алгебраически простую модель, класс всех ее алгебраически простых моделей обозначим через AP,

2.  Класс  моделей теорииимеет непустое пересечение с классом, AP, .

Так как относительно йонсоновских теорий возможны два случая: совершенный и несовершенный, то мы будем придерживаться следующей договоренности. Хорошо известно из [4, с. 17–22], что если йонсоновская теория  совершенна, то класс её экзистенциально замкнутых моделей  элементарен и совпадает с Mod*, где * – её центр. В противном случае, т. е. если теория  несовершенна, мы вместо Mod работаем с классом , т. е. предполагается ,что все утверждения касаются только экзистенциально замкнутых моделей. В нашем случае мы предполагаем в несовершенном случае, что помимо экзистенциальной замкнутости все рассматриваемые модели являются алгебраически простыми.

Так как йонсоновские теории являются индуктивными, мы можем рассмотреть йонсоновские теории, которые экзистенциально-простые и затем среди них рассмотреть выпуклые. Самый яркий пример показывающий, что таких теорий много это пример теории групп. Этот пример характерен тем, что это пример несовершенной йонсоновской теории. В случае теории абелевых групп, мы имеем совершенный пример выпуклой йосоновской теории.

Будем говорить, что все – следствия произвольной теории создают йонсоновский фрагмент этой теории, если дедуктивное замыкание этих  – следствий есть йонсоновская теория.

Полученная в этом случае йонсоновская теория будет называться йонсоновским фрагментом (в дальнейшем фрагментом) соответственно йонсоновского множества. В обоих случаях мы можем проводить исследование йонсоновских фрагментов относительно связи с первоначальной теорией, что является новой постановкой задачи исследовании йонсоновских теорией.

Рассмотрим определения:

Пусть  йонсоновская теория полная для экзистенциальных предложений в языке L и ее семантические модель есть С.

Мы говорим, что множество Х – определимо, если оно определимо некоторой экзистенциальной формулой.

Множество X называется йонсоновским в теории , если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1)  X есть определимое подмножество С;

2)  dсl(Х) есть носитель некоторой экзистенциально-замкнутой подмодели С.

Пусть X йонсоновкое множество в теории  и M экзистенциально замкнутая подмодель семантической модели С, рассматриваемой йонсоновской теории , где dcl(X) = M. Тогда пусть , йонсоновский фрагмент йонсоновского множества Х.

В дальнейшем мы будем рассмотривать только йонсоновские множества , являющееся подмножествоми семантической модели С.

Пусть  первоначальная йонсоновская теория в языке L. Пусть -йонсоновские множества в теории. Тогда пусть есть замыкание йонсоновского множества ,  есть замыкание йонсоновского множества . Тогда  есть фрагмент ,  фрагмент есть.

Определение 8. Модели  и  одной и той же сигнатуры называются йонсоновски эквивалентными, если для любой йонсоновской теории  верно, что   , и обозначаются через  .

Определение 9. Две йонсоновские теории  и  называются косемантичными (символически ), если они имеют общую семантическую модель.

Получены следующие результаты относительно йонсоновской эквивалентности фрагментов йонсоновских множеств.

Лемма 1. Фрагмент йонсоновского множества всегда йонсоновская теория и сохраняет совершенность первоначальной йонсоновской теории.

Доказательство. Совершенность фрагмента следует из косемантичности фрагмента и первоначальной теории. Йонсоновость следует из того факта, что являются экзистенциально замкнутыми моделями, а в [4, с. 93–106] доказано, что для любой экзистенциально замкнутой модели множество все универсально–экзистенциальных предложений истинных в этой модели образует йонсоновскую теорию.

Лемма 2. Пусть -йонсоновские множества в теории. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)  ,

2)  .

Доказательство. Следует из леммы 1.

Определение 10. Модели  и  модели сигнатуры  называются косемантичными ( символически), если для любой йонсоновской теории  такой, что , найдется йонсоновская теория , косемантичная с , такая что . И наоборот.

Лемма 3. Пусть  первоначальная йонсоновская теория в языке L. Пусть -йонсоновские множества в теории. Тогда для любых -йонсоновских множеств в произвольной первоначальной теории  верны следующие импликации:

Доказательство. Следует из определений и предыдущих лемм.

Из леммы 3 мы можем заключить, что семантическое свойство косемантичности для фрагментов йонсоновских множеств уточняет классическое понятие теории моделей, как отношение элементарной эквивалентности между моделями произвольной теории, в том числе и неполной теории.

Проблема. Получить описание косемантичных йонсоновских алгебр из выше приведенного списка йонсоновских алгебр.

Следствие 1. Пусть  есть фрагмент ,  фрагмент есть, где -йонсоновские множества в некоторой первоначальной теории . Причем  семантическая модель ,  семантическая модель . Тогда, если

 = , то .

На основании вышеуказанных определений и полученных результатов мы можем сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть  и  фрагменты соответственно йонсоновских множеств , в совершенной первоначальной йонсоновской теории . Причем  семантическая модель ,  семантическая модель . Тогда эквивалентны следующие условия:

1)  ,

2)  ,

3)  =.

Теорема 2. Пусть – экзистенциально замкнутые подмодели семантической модели совершенной первоначальной йонсоновской теории . -йонсоновские множества в этой теории . Тогда эквивалентны следующие условия:

1)  ,

2)  .

Все неопределенные понятия и неявно используемые факты в этой работе относительно йонсоновских теориях и их моделях, можно извлечь из [4].

Список литературы:

1.    Ешкеев А.Р. Йонсоновские множества и их некоторые теоретико-модельные свойства: Вестник Карагандинского университета. – Серия математика. – 2014. – № 2 (74). – С. 53–62.

2.    Справочная книга по математической логике: В 4-х частях / Под ред. Дж. Барвайса. – Ч. 1. Теория моделей: пер. с англ. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982, 366 с.

3.    Ешкеев А.Р., Муканов А.А., Медеубаев Н.К., Категоричные фрагменты йонсоновских множеств. // Естественные и математические науки в современном мире, Новосибирск: Изд-во СибАК, № 2 (26) февраль, 2015. С. 48–56.

4.    Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. Караганда: Изд-во КарГУ, 2009. – 250 с.

5.    Ешкеев А.Р. Счетная категоричность Δ-PM-теорий // 12-ая Межвузовская конференция по математике, механике и информатике, Алматы, 10–14 сентября 2008 года.

6.    Baldwin J.T. Kueker D.W. Algebraically prime models. Ann. Math. Logic. 1981, 20. – Р. 289–330.

7.    Yeshkeyev A.R. (On Jonsson sets and some of their properties) Logic Colloquium’14, Vienna, Austria, July 14–19, 2014 The Bulletin of Symbolic Logic. – 2015. – Volume 21. – № 1. – Р. 99–100.

8.    Yeshkeyev A.R. Jonsson sets and some of their model-theoretic properties: International Congress of Mathematicians August 13–21, 2014 Seoul, Korea. P. 8.

9.    Yeshkeyev A.R. Properties of central type for fragments of Jonsson sets. Logic Colloquium 2015 / Annual European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic (ASL). – University of Helsinki, 3–8 August, 2015. – P. 751–752.