категоричность СИЛЬНО МИНИМАЛЬНЫх фрагментов

ЙОНСОНОВСКИх МНОЖЕСТВ

Ешкеев Айбат Рафхатович

д-р физ.-мат. наук, проф.

Карагандинского государственого университета им. Академика Е.А. Букетова,

зав. кафедрой алгебры, математической логики и геометрии им. проф. Т.Г. Мустафина,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: modth1705@mail.ru

Шаматаева Назгуль Куанышовна

докторант 1-го курса, специальность «6D060100-Математика»

Карагандинский государственный университет им. Академика Е.А. Букетова

преподователь Карагандинского политехнического колледжа,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: naz.kz85@mail.ru

Меженина Радмила Олеговна

магистрант 1-го курса, специальность «6М060100-Математика»,

Карагандинский государственный университет им. Академика Е.А. Букетова,

Республика Казахстан, г. Караганда

E-mail: 

CATEGORICALLY STRONGLY MINIMAL FRAGMENTS JONSSON SETS

Aibat Yeshkeyev

Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

named after E.A. Buketov Karaganda State University  

Professor Head. Of Department of Algebra,

Mathematical logic and Geometry. Named after prof. T.G. Mustafin,

Kazakhstan, Karaganda

Nazgul Shamatayeva

named after E.A. Buketov Karaganda State University Doctoral student of 1st course,

speciality “6D060100-Mathematics” teacher of the Karaganda Polytechnic College,

Kazakhstan, Karaganda

Radmila Mezhenina

named after E.A. Buketov Karaganda State University Master of 1st course, speciality “6M060100-Mathematics”,

Kazakhstan, Karaganda

АННОТАЦИЯ

В этой статье рассмотрены вопросы счетной и несчетной категоричности фрагментов сильно минимальных йонсоновских множеств в экзистенциально простых выпуклых йонсоновских теориях.

ABSTRACT

This article considered the questions of countable and notcountable categorisity concern of the fragments of Jonsson strongly minimal sets in existential prime convex Jónsson theories.

Ключевые слова: йонсоновский теория, совершенная йонсоновская теория, выпуклая теория, экзистенциально простая теория, сильно минимальное йонсоновское множество, экзистенциально замкнутая модель, алгебраическая простая модель.

Keywords: the Jоnsson theory, perfect Jonsson theory, convex theory, existential prime theory, strongly minimal Jonsson set, existentially closed model, algebraically prime model. 

В работе [1, с. 53–62] были рассмотрены вопросы счетной и несчетной категоричности для некоторых позитивных подклассов йонсоновских теорий. Данная статья посвящена изучению аналогичных вопросов в более общей ситуации, а именно вопросы категоричности для фрагментов выпуклой и экзистенциальной простой йонсоновской теории. Понятие йонсоновского множества было определено раннее в работах одного из авторов данной статьи, и программа исследования таких подмножеств семантической модели произвольной йонсоновской теории были доложены в [8, с. 8; 9, с. 99–100; 11, с. 108].

Понятие сильной минимальности, как для множеств, так и для теорий сыграли решающую роль при получении результата об описании несчетно-категоричных теорий [8, с. 79–96].

Хорошо известно, что йонсоновские теории представляют собой естественный подкласс такого широкого класса теорий, как класс индуктивных теорий, который содержит многие классические алгебраические примеры – это, например, теории булевых алгебр, абелевых групп, полей фиксированной характеристики, полигонов и т. д. Все эти примеры важны как в алгебре, так и в различных областях математики. Но перечисленные теории не только индуктивные, но и одновременно йонсоновские. И они, как правила представляют пример неполных теорий. При этом современный аппарат теории моделей развивался в основном для полных теорий, поэтому на сегодняшний день техника изучения неполных теорий заметна беднее, чем для полных теорий.

Как видно, из перечисленного списка сфера применения техники, развитой для изучения йонсоновских теорий, может быть достаточно широка и полезна в смысле развития аппарата изучения неполных теорий.

Таким образом, всё вышесказанное говорит о том, что изучение теоретико-модельных свойств йонсоновских теорий является актуальной задачей.

Из опыта изучения индуктивных теорий [7, с. 67], учитывая, что йонсоновские теории, как подкласс индуктивных теорий, обладает дополнительными интересными свойствами, мы пытаемся найти универсальные способы изучения индуктивных теорий. Одним из таких способов является метод переноса свойств первого порядка центра йонсоновской теории на саму йонсоновскую теорию. Об этом методе и об исследованиях в рамках изучения йонсоновских теорий и имеющих отношения к материалу данной статьи, мы можем отослать читателя к следующим источникам [2, с. 7–65; 4, с. 74–77; 5, с. 117–128].

Напомним основные определения из [2, с. 7], которые связаны с рассматриваемыми понятиями данной статьи.

Пусть задан произвольный счетный язык .

Теория  называется йонсоновской, если:

1)  Теория  имеет бесконечные модели;

2)  Теория индуктивна;

3)  Теория  обладает свойством совместного вложения ();

4)  Теория  обладает свойством амальгамы ().

Йонссонская теория T называется совершенной теорией, если семантическая модель насыщенна.

Пусть Т-йонсоновская совершенная теория полная для экзистенциальных предложений в языке L и ее семантические модель есть С.

Мы говорим, что множество Х – определимо, если оно определимо некоторой экзистенциальной формулой.

а) Множество X называется йонсоновским в теории Т, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1.  X есть определимое подмножество С;

2.  dсl (Х) есть носитель некоторой экзистенциально-замкнутой подмодели С.

3.  б)Множество X называется алгебраически йонсоновским в теории Т, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

4.  X есть определимое подмножество С;

5.  асl(Х) есть носитель некоторой экзистенциально-замкнутой подмодели С.

Если в случае изучения полных теорий мы имеем в основном дело с двумя объектами, это сама теори и ее модели, то в случае изучения йонсоновской теории мы в качестве моделей рассматриваем класс экзистенциально замкнутых моделей рассматриваемой теории, а также дополнительным условием является некоторая полнота рассматриваемой теории в логическом смысле. Как минимум, рассматриваемая теория должна быть экзистенциально полна.

Дадим определения йонсоновского фрагмента:

Будем говорить, что все ∀∃ – следствия произвольной теории создают йонсоновский фрагмент этой теории, если дедуктивное замыкание этих ∀∃ – следствий есть йонсоновская теория.

Тем не менее в общем случае класс йонсоновских теорий остается достаточно широким, и мы рассмотри его естественные ограничения. Это будет сделано используя свойство выпуклости и свойство экзистенциальной полноты.

Определение 1. Теория Т называется выпуклой,если для любой ее модели и для любого семейства  ее подструктур, которые являются моделями теории , пересечение  есть модель теории . При этом предполагается ,что это пресечение не пусто. Если это пересечение никогда не пусто, то теория называется сильно выпуклой.

Определение 2. Модель теории называется алгебраически простой, если она изоморфно вкладывается в любую модель рассматриваемой теории.

Определение 3. Модель А теории  называется  – экзистенцианально замкнутой, если для любой модели В и любой экзистенциальной формулы  с константами из А выполняется А╞  при условии, что А подмодель В и В╞ .

Заметим, что если -класс -экзистенциально замкнутых моделей индуктивной теории , то он всегда непуст [7, с.57-61].

Определение 4. Индуктивная теория Т называется экзистенциально-простой, если

1.  Она имеет алгебраически простую модель(AP), класс ее AP моделей обозначим через

2.  Класс  моделей пересекается с классом AP моделей нетривиально, т.е. .

На данный момент достаточно хорошо изученными являются совершенные йонсоновские теории. Для них был доказан критерий совершенности [2, с. 7–65], что позволило получить многие теоретико-модельные факты относительно йонсоновской теории и ее центра. Имеются полные описания как центра таких теорий так и классов их моделей.

Основной задачей данной статьи является следующая задача:

В рамках данных нововведенных определений, рассмотреть и описать фрагменты сильно минимальных йонсоновских множеств для класса выпуклых экзистенциально простых йонсоновских теорий. Это в свою очередь повлечет за собой целый ряд новых постановок задач, например уточнение свойств первого порядка для компаньонов фрагментов (используется для доказательства теоремы 5),,уточнение теоремы Лахлана-Болдуина о несчетной категоричности в рамках данной нововведенной тематики ( используется для доказательства теоремы 6.

Напомним, что йонсоновская теория Т имеет семантическую модель  достаточно большой мощности. Если эта модель является насыщенной, то данная йонсоновская теория называется совершенной. Семантические модели совершенной йонсоновской теории однозначно определяются своей мощностью. Далее, следуя [6, с. 7–89] так как мы буде иметь дело с совершенными йосоновскимим теориями, то нам удобно работать внутри некоторой большой семантической экзистенциально замкнутой модели, содержащей все остальные экзистенциально замкнутые модели рассматриваемой совершенной йонсоновской теории. Назовем эту модель универсальной экзистенциальной областью (УЭО).

Ее можно также охарактеризовать следующими условиями.

1.  Каждая модель данной теории изоморфна вложима в .

2.  Каждый изоморфизм между двумя подмоделями продолжается до автоморфизма модели .

В рассматриваемых результатах, мы будем рассматривать не все подмножества, а только йонсоновские подмножества.

Для любых  – определимых подмножеств семантической модели мы имеем, что верно следующий результат.

Лемма 1. [6, с. 31–36].

 – определимое подмножество семантической модели определимо над множеством параметров А из семантической модели, если и только если оно инваиантно относительно всех автоморфизмов модели , оставляющих на месте каждый элемент из А.

Отсюда следует, что определимое замыкание dcl(A) йонсоновского множества А, т. е. множество всех элементов, определимых над А, совпадает с множеством элементов, инвариантных относительно всех автоморфизмов над А.

Из леммы 1. вытекает, что элемент b алгебраичен над А, если и только если он имеет лишь конечное число сопряженных над А.

Определим ранг Морли для экзистенциально определимых подмножеств семантической модели.

Мы хотим приписать каждому  – определимому подмножеству порядковое число (или, возможно, -1 или ) – его ранг Морли, обозначаемый через MR. Сначала определим отношение посредством рекурсии по ординалу

Пусть Т совершенная йонсоновская теория, C-ее УЭО.

Определение 5.[6, с.31–36].

, если и только если непусто;

, если и только если при всех  ( – предельный ординал);

, если и только если в существует бесконечное семейство  попарно непересекающихся  – определимых подмножеств, таких что  при всех .

Тогда ранг Морли класса  равен

Причем будем считать, что -1 и , если 48/ для всех  (в последнем случае будем говорить, что  не имеет ранга).

Заметим,что  -определимый класс имеет ранг – 1, если он пуст; ранг 0, если он конечен; ранг 1, если он бесконечен, но не содержит бесконечного семейства непересекающихся бесконечных  -определимых классов.

Лемма 2. [6, с. 31–36].

Справедливо соотношение

Определение 6. [6, с. 31–36].

Степень Морли  йонсоновского подмножестваиз семантической модели, имеющего ранг Морли , это максимальная длина d его разложения  на непересекающиеся экзистенциально определимые подмножества ранга .

В случае ранга 0 степень экзистенциально определимого подмножества -это просто число его элементов. Если экзистенциально определимое подмножество не имеет ранга, то не определена и его степень Морли.

Рассмотрим йонсоновски минимальные множества. Далее под структурой понимается модель сигнатуры или языка  рассматриваемой йонсоновской теории.

Пусть  – структура, и пусть  бесконечное -определяемое подмножество. Мы говорим, что  является минимальным в , если для любого -определяемого  либо конечно, либо  конечно. Еслиявляется формулой, которая определяет , то мы также можем сказать, что  минимальна.

Мы говорим, что  и  йонсоновски сильно минимальны, если минимальна в любом экзистенциально замкнутом расширении  из .

Будем говорить, что теория  йонсоновски сильно минимальна, если ,

 является йонсоновски сильно минимальной.

Рассмотрим пример алгебраического замыкания в нескольких йонсоновски сильно минимальных теориях.

Если  алгебраически замкнутое поле и , то  является алгебраическим замкнутым подполем порожденным .

Следующие свойства алгебраического замыкания верны для любого алгебраически йонсоновского множества .

              I.         

           II.          Если , то .

        III.          Если , тогдадля некоторого конечного .

Более тонкое свойство верно, если  йонсоновски сильно минимально.

Лемма о Замене. [6, с. 31–36].

Предположим, что подмножество семантической модели и оно йонсоновски сильно минимально,  и. Если , тогда .

Замечание.

Йонсоновски сильно минимальное множество–это экзистенциально определимое подмножество семантической модели рассматриваемой теории ранга 1 и степени 1 в смысле Морли.

Определение 7. [6, с. 31–36].

1.  Йонсоновская теория Т йонсоновски тотально транцендентна, если каждый экзистенциально определимое подмножество ее семантической модели имеет ранг Морли.

2.  Теория Т является -стабильной, если число экзистенциальных типов счетно для каждого счетного А подмножества семантической модели.

Теорема 1. [6, с. 31–36].

Йонсоноская теория Т йонсоновски тотально транцендентна, если и только если она йонсоновски -стабильна.

Лемма 3. [6, с. 31–36].

Пусть а и b произвольные элементы семантической модели. Если элемент b алгебраичен над А и а, где А экзистенциально определимое подмножество семантической модели , то.

Следствие 1. [6, с. 31–36].

Пусть М – некоторая -насыщенная экзистенциально замкнутая подмодель семантической модели, а -некоторая формула ранга  и степени Морли d. Тогда можно разложить  на -формулы ранга  и степени 1.

Во всяком йонсоновски сильно минимальном множестве, мы можем определить понятие независимости, обобщающее линейную независимость в векторных пространствах и алгебраические независимости в алгебраически замкнутых полях.

Зафиксируем  и  йонсоновски сильно минимальное множество в -экзистециально замкнутая помодель семантической модели йонсоноской теории

Определение 8. [6, с. 31–36]. Будем говорить, что  независимо, если  для всех . Если , мы говорим, что независимо над, если  для всех .

Мы покажем, что бесконечные независимые множества являются множества неразличимых элементов.

Лемма 4. [6, с. 31–36].

Пусть  ,является йонсоновски сильно минимальной формулой с параметрами из , где либо , либогде , и . Если независимы над  иявляются независимыми над , то полные экзистенциальные типы  равны между собой.

Следствие 2. [6, с. 31–36].

Если , и , как указано выше,  представляет собой бесконечное подмножество  независимое над  и  является бесконечным подмножеством  независимого над , тогда и  являются бесконечными множествами неразличимых того же типа над .

Поэтому мощность является единственным способом отличить независимые подмножества .

Определение 9. [6, с. 31–36].

Будем говорить, что является базисом для  если  независимо и .

Очевидно, что любое максимально независимое подмножество  является базисом для . Так же, как в векторных пространств и в алгебраически замкнутых полях, любые два базиса имеют одинаковую мощность.

Пусть  обозначает число счетных экзистенциально замкнутых моделей йонсоновской теории .

Используя технику доказательств для полных теорий и изменяя соответствующие понятия на технику йонсоновских множеств, мы можем доказать йонсоновские аналоги соответствующих результатов о спектре счетных моделей [6].

Следствие 3. [6, с. 31–36].

Если  сильно минимальная йонсоновская теория полная для экзистенциальных предложений, то  является-категорическим для  и .

Следствие 4. [6, с. 31–36].

Если  йонсоновская теория полная для экзистенциальных предложений является несчетно категоричной и в ней есть йонсоновски сильно минимальная-формула, то либо -категорична или .

Теорема 2. [6, с. 31–36].

Если йонсоновская теория полная для экзистенциальных предложений является несчетно категоричной, но не -категоричной, то .

Определение 10. [6, с. 31–36].

Йонсоновская стабильность (J-Стабильность). Пусть T – йонсоновская теория, -множество всехэкзистенциальныхполных-типов над X, в соответствии с T, для любого конечного. Мы будем говорить, что йонсоновская теория Т- J- стабильна, если для любой T-экзистенциально замкнутой модели, для любого подмножества X изА, .

Теорема 3. [6, с. 31–36].

Если  йонсоновски суперстабильна, но не -категорична, то .

Пусть X сильно сильно минимальное йонсоновкое множество и M экзистенциально замкнутая модель, где dcl(X) = M. Рассмотрим.

Лемма 5. [6, с. 31–36].будет йонсоновкой теорией.

Теорема 4. [6, с. 31–36].

Пусть, как описано выше. Если, то следующие условия эквивалентны:

(1) -  –стабильна;

(2) - где  является центром Т.

Пусть, как описано выше.

Теорема 5.

Пусть теория Т- совершенная экзистенциально простая сильно выпуклая йонсоновская экзистенциально полная теория.

Следующиеусловия эквивалентны:

(1) -- категорична;

(2) -- категорична.

Доказательство. Следует из доказательства теоремы 3 из [1], с учетом вышесказанного в рамках рассматриваемых понятий.

Определение 11.

Пусть  и . Тогда B называется алгебраически простой расширением в , если для любой модели таким образом, что если  изоморфно вкладывается в С, то B изоморфно вкладывается в C.

Пусть X сильно минимальное алгебраически йонсоновское множество, acl(X) =M и M экзистенциально замкнутая модель., как описано выше,

Теорема 6.

Пусть теория Т- совершенная экзистенциально простая сильно выпуклая йонсоновская экзистенциально полная теория.

Тогда следующиеусловия эквивалентны:

(1) -- категорична;

(2) любое счетное модельимеет простое алгебраическое расширение в

Доказательство. Следует из доказательства теоремы 9 из [1, с. 53–62], с учетом вышесказанного в рамках рассматриваемых понятий.

Все неопределенные в этой статье определения понятий, а также более полную информацию о йонсоновских теориях можно прочитать в [2, с. 1–250].

Список литературы:

1.    Ешкеев А.Р. Йонсоновские множества и их некоторые теоретико-модельные свойства. Вестник Карагандинского университета. – Серия математика. – 2014. – № 2 (74). – С. 53–62.

2.    Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. – Караганда: КарГУ,2009. – 250 с.

3.    Ешкеев А.Р. Счетная категоричность  - -теорий. Тезисы. 12-ая Межвузовская конференция по математике, механике и информатике Алматы, 2008 г. С. 67.

4.    Ешкеев А.Р., Мейрембаева Н.К. Свойства  -атомных моделей  -  - -теории. Вестник КазНУ. – Серия математика, механика, информатика, № 3, Специальный выпуск. – 2008. – С. 74–77.

5.    Ешкеев А.Р. О йонсоновской стабильности и некоторых её обобщениях. Фундаментальная и прикладная математика: Вып. 8, МГУ,ЦНИТ, 2008. – C. 117–128.

6.    Ешкеев А.Р. Сильно минимальные йонсоновские множества Вестник Карагандинского университета. – Серия Математика. – 2014. – № 4 (76).  С. 31–36.

7.    Справочная книга по математической логике: В 4-х частях / Под ред. Дж. Барвайса. – Ч. 1.Теория моделей: пер. с англ. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982, 126 с.

8.    Baldwin, John T.; Lachlan, Alistair H. (1971), On Strongly Minimal Sets, The Journal of Symbolic Logic (The Journal of Symbolic Logic, Vol. 36, № 1) 36 (1): 79–96.

9.    Yeshkeyev A.R. (On Jonsson sets and some of their properties) Logic Colloquium’14, Vienna, Austria, July 14–19, 2014 The Bulletin of Symbolic Logic. – 2015. – Volume 21. – № 1. – Р. 99–100.

10.    Yeshkeyev A.R. Jonsson sets and some of their model-theoretic properties. Abstracts Book. International Congress of Mathematicians August 13–21, 2014 Seoul, Korea. P. 8.

11.    Yeshkeyev A.R. On Jonsson sets and some their properties. Abstracts BookLogic. Colloquium, Logic, Algebra and Truth Degrees. Vienna Summer of Logic, July 9–24, 2014. P. 108.