УРАВНЕНИЯ  С  ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук,  «Социально-педагогический  институт»  РФ,  г.  Дербент

E-mail: 

 

EQUATIONS  WITH  PROPORTIONAL  COEFFICIENTS

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogical  Sciences,  “Social  Pedagogical  Institute”,  Russia,  Derbent

 

АННОТАЦИЯ

Статья  посвящена  решению  уравнений  с  прямопропорциональными  коэффициентами  на  множестве  натуральных  чисел.  Рассматриваются  четыре  вида  уравнений  и  разработан  алгоритм  их  решения.

ABSTRACT

The  article  is  devoted  to  the  solution  of  the  equations  with  directly  proportional  coefficients  on  the  set  of  natural  numbers.  Four  types  of  equations  are  considered  and  their  solution  algorithm  is  developed. 

 

Ключевые  слова:  прямопропорциональные  коэффициенты,  алгоритм  решения.

Keywords:  directly  proportional  coefficients;  solution  algorithm. 

 

Если  из  чисел    составим  уравнения  , 

,  ,    и  вынесем  степени    за  скобки,  то  получим  ,  ,  , 

  [1,  с.  128].  То  есть  получаем  равенства:

 

  или 

  (1)

  или 

  (2)

  или 

  (3)

или

    (4)

 

Обозначив 

  получаем:

 

  Введя  новые  обозначения 

получаем  уравнения 

 

 

Мы  рассмотрим  уравнения  в  натуральных  числах,  таких,  что 

Решим  в  общем  виде  уравнение  .

Имеем:  так  как    Вычисляем   

,  .  берем  произвольно. 

Пусть    Тогда 

.  Далее  вычисляем 

  Так  как  ,  то    принимает  значения  .

Пусть  ,  тогда 

  Найдем 

  Так  как 

Проверка: 

Ясно,  что  уравнение  имеет  бесконечное  множество  решений.

Решим  уравнение  .

Решение.  Имеем:  Вычисляем   

,  .  Возьмем  те  же  значения  ,  что  и  для  первого  уравнения.  Тогда 

Проверка: 

Решим  уравнение  .

Вычислим  при 

,  . 

Проверка: 

Решим  уравнение  .

При  тех  же  значениях 

Проверка: 

Теперь  решим  несколько  уравнений  при  фиксированных  значениях  коэффициентов 

Решим  уравнение 

Решение. 

Видно,  что    является  общим  делителем    Представим  числа  112  и  336  в  виде  произведения  двух  множителей.  Получаем  следующие  пары.

Для  112  имеем: 

Для  336  имеем: 

 

Отсюда  видно,  что    может  принимать  значения  1,  2,  4,  7,  8,  16,  112,  56.

Если    (не  целое).

Если    (не  целое).

Если    (не  целое).

Если  .

Если    (не  целое).

Если    (не  целое).

Если 

для  решения  подходят  пары  и 

Учитывая,  что  , 

Для  нашего  уравнения  имеем  системы.

1)    2) 

Система  (1)  решений  не  имеет.  Решим  вторую  систему

.  Из  первого  уравнения  системы  получаем.    принимает  значения  1  и  2. 

Тогда  значит    Отсюда  получаем,  что 

 

 

Проверка: 

Ответ:   

Решим  уравнение 

Решение.  Имеем: 

Представим  числа  3  и  6  в  виде  произведения  двух  множителей.  Имеем  следующие  пары. 

Для  3  имеем: 

Для  6  имеем:    может  принимать  значение  3,  тогда 

 

Пара  чисел    подходят  для  решения. 

Имеем  систему    Для  нашего  уравнения  имеем  следующую  систему  . 

Решив  эту  систему,  получаем    Тогда  .

Проверка: 

·     Решим  уравнение 

Имеем  уравнение  вида  (4).

Представим  числа  30  и  60  в  виде  произведения  двух  множителей. 

Для  3  получаем  пары: 

Для  20  получаем  пары:    может  принимать  следующие  значения  1,  2,  5  и  10.

Если    (не  целое).

Если 

  (не  целое).

Если  .

Пара  ,  подходят  для  решения.

Имеем  систему 

Видно,  что  система  не  имеет  решения  в  натуральных  числах,  значит  и  наше  уравнение  не  имеет  решения,  вернее  вопрос  о  корнях  уравнения  остается  открытым.

·     Решим  уравнение   

Это  уравнение  вида  (2).

Имеем: 

Представим  числа  9  и  3  в  виде  произведения  двух  множителей. 

Для  9  получаем: 

Для  3  имеем:    может  принимать  значения  1  и  3.

Если 

Если    Имеем  системы    и  .

Решим  первую  систему.  Из  второго  уравнения  системы 

.  Подставив  это  в  первое  уравнение,  получаем  уравнение 

.

Это  уравнение  натуральных  корней  не  имеет.

Решим  вторую  систему.  Из  второго  уравнения  системы 

  Подставив  это  в  первое  уравнение,  получаем

.  Пусть  .  Тогда  получаем  квадратное  уравнение 

  Так  как    натуральное  число,  то  1  не  удовлетворяет  второму  уравнению  системы.

Если    Отсюда 

Проверка: 

·     Решим  уравнение   

Решение.  Это  уравнение  вида  (3).

Представим  24  и  4224  в  виде  произведения  двух  множителей. 

Для  24  имеем  пары: 

Для  4224  имеем: 

 

  может  иметь  значения  1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  24.

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

Получаем  10  систем:

1)    2)    3) 

  5)    6) 

7)    8)    9) 

10)  .

Замечаем,  что  системы  3,  5,  6,  7,  8,  9,  10  в  натуральных  числах  решений  не  могут  иметь.

Решим  первую  систему:    Решим  второе  уравнение  системы  в  натуральных  числах,  используя  тождество    Представим  48  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это: 

Найдем 

1. 

2. 

Первая  система  решений  не  имеет.

Решим  вторую  систему:  .

Представим  12  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности.  Это  пара:    Найдем 

  Тогда 

Проверка: 

 

Решим  систему  (4)..

Представим  3  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:    Найдем 

  но 

Ответ: 

·     Решим  уравнение 

Решение.  Уравнение  имеет  вид  (4).

Представим  96  и  32  в  виде  произведения  двух  множителей. 

Для  96  получаем  пары: 

Для  32  имеем: 

  принимает  значения  1,  2,  4,  8,  16,  32.

Если  .

Если  .

Если  .

Если  .

Если  .

Если  .

Получаем  шесть  систем.

1)    2)    3) 

  5)    6)  .

Очевидно,  что  системы  1,  2,  3,  4,  5  не  могут  иметь  решений  в  натуральных  числах.

Решим  систему  (6)  .

Из  второго  уравнения  системы,  получаем  принимает  значения  1,  2.  Если    (не  точный  куб).  Если 

 

Пара  чисел    подходит  для  решения.  Так  как 

 

Проверка: 

Из  решения  вышеуказанных  уравнений  вытекает  алгоритм  их  решений.

1.  Определяем,  какому  из  четырех  видов  относится  данное  уравнение.

2.  Проверяем  выполнимость  условий 

 

Если  эти  условия  не  выполняются,  то  применить  данный  метод  мы  не  сможем.  Вернее,  наши  системы  уравнений  решений  не  будут  иметь.

3.  Из  соотношений 

,  находим  для  каждого  уравнения  соответственно.

4.  Составляем  соответствующие  системы  уравнений:

—  для  первого  уравнения

—  для  второго  уравнения

—  для  третьего  уравнения 

—  для  четвертого  уравнения 

5.  Решая  эти  системы,  находим 

6.  Зная    находим 

Имеют  ли  уравнения  решения  или  нет  в  случае,  когда  соответствующие  системы  не  имеют  натуральных  корней?  Этот  вопрос  пока  остается  открытым.

Используя  данный  метод,  можно  решать  такие  уравнения  как 

  или    и  т.  д.

 

Список  литературы:

1.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы.  Типография  №  3.  Дербент  2013.  —  261  стр.