РЕШЕНИЕ  НЕКОТОРЫХ  ДВУЧЛЕННЫХ  И  ТРЕХЧЛЕННЫХ  УРАВНЕНИЙ  ВЫСШИХ  СТЕПЕНЕЙ  В  НАТУРАЛЬНЫХ  ЧИСЛАХ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук,  «Социально-педагогический  институт»  РФ,  г.  Дербент

E -mail: 

 

THE  SOLUTION  OF  SOME  BINOMIAL  AND  TRINOMINAL  EQUATIONS  OF  THE  HIGHEST  DEGREES  IN  NATURAL  NUMBERS

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogical  Sciences,  “Social  Pedagogical  Institute”,  Russia,  Derbent

 

АННОТАЦИЯ

В  статье  рассматривается  один  из  способов  решения  уравнений  видов

  и    в  натуральных  числах.

Автор  не  утверждает,  что  данные  уравнения  не  могут  иметь  других  корней.

ABSTRACT

In  the  article  one  of  the  ways  of  solving  the  equations  of    and    types  in  natural  numbers  is  described.  The  author  does  not  claim  that  these  equations  cannot  have  other  roots. 

 

Ключевые  слова:  сочетания;  система  уравнений;  бесконечное  множество  решений.

Keywords:  combinations;  set  of  equations;  infinite  aggregate  of  solutions.

 

Рассмотрим  выражение    где    —  последовательные  члены  некоторой  арифметической  прогрессии.  Используя  определение  числа  сочетаний,  после  некоторых  преобразований  приходим  к  выражению 

  Введя  новые  обозначения 

  получаем  уравнение  .  Например,  из  тождества    получаем    или    Из  тождества    приходим  к 

  или   

В  общем  виде  получаем  уравнение    [1.  с.  36,  с.  37,  с.  38].

o         Решим  уравнение  .

Представим  число  48  в  виде  разности    то  есть  решим  уравнение 

  Отсюда 

Имеем  системы  1)    2)    3)   

4)    5)  .

Из  первой  системы  получаем    (не  натуральное  число).

Из  второй  системы  имеем:    тогда 

 

Из  третьей  системы  имеем:    (не  натуральное  число).

Из  четвертой:    тогда   

Из  пятой: 

,  где  –  произвольное  натуральное  число.  Пусть    тогда 

 

Проверка: 

Если  ,

Проверка: 

Если  ,

Проверка: 

o         Решим  уравнение  .

Имеем:    Получаем  следующие  системы 

1)    2)    3)    4)   

5)  6) 

Так  как    натуральные  числа,  то  решения  будут  иметь  уравнения  2,  4,  5.

Из  (2)  системы  получаем:  ,  тогда 

Из  (4)  системы  получаем:  , 

Из  (5)  системы  получаем:  , 

Пусть    тогда  из  (2)  имеем 

Проверка: 

Из  (4)  имеем 

Проверка: 

Из  (5)  имеем 

Проверка: 

o         Решим  уравнение 

Пусть   

Если 

Проверка: 

Если 

Проверка: 

Если 

Проверка: 

Уравнение  имеет  бесконечное  множество  решений 

 

·                        Решение  уравнений  вида 

Рассмотрим    где    –  последовательные  члены  некоторой  арифметической  прогрессии.  Используя  определение  числа  сочетаний,  после  нескольких  преобразований  приходим  к  равенству

  После  введения  новых  обозначений 

  получаем  уравнение  вида  .  Уравнение  в  общем  виде  имеет  бесконечное  множество  решений.  Например,  пусть 

тогда    берем  произвольно, 

 

Если 

Проверка:    или  .

Если 

Проверка:    или  .

Решим  несколько  уравнений  при  фиксированном 

·                        Решим  уравнение 

Имеем  ,  отсюда    Тогда  ,  берем  произвольно,    Пусть 

 

Проверка: 

o         Решим  уравнение  при  фиксированных    Например, 

Решение.  Имеем:    Если    Так  как  ,    (не  точный  квадрат). 

Если    Тогда    Значит 

  Пусть 

Проверка: 

Теперь  рассмотрим  в  общем  виде  уравнение    где 

По  аналогии  с  решениями  предыдущих  уравнений  должны  иметь 

.  Докажем,  что  эти  числа  удовлетворяют  нашему  уравнению.  Подставим  в  уравнение    свои  значения.  Имеем:

,  .

Для  уравнения 

  Тогда  имеем 

  или 

Из  равенства  обеих  частей  следует  справедливость  нашего  утверждения.  Найдем  решения  уравнения  Пусть  тогда 

,  где    –  произвольное  натуральное  число.  Пусть 

Проверка: 

Пусть 

Проверка: 

Теперь  найдем  решения  уравнения    Пусть  тогда 

.  Уравнение  имеет  вид 

при 

Проверка: 

Пусть 

Проверка: 

Найдем  решения  уравнения  Пусть  тогда 

. 

Если 

Проверка: 

Если 

Проверка: 

 

Решим  уравнение  при  фиксированном  значении 

·                        Решим  уравнение  .

Имеем:    Приходим  к  системам  уравнений  1)    2)    .

Решим  первую  систему.  Имеем:  .  Подставим  это  во  второе  уравнение,  получаем 

  Решаем  это  как  квадратное  уравнение    Это  уравнение  натуральных  корней  не  имеет.  Из  второй  системы  получаем  Отсюда 

 

или  .  Решаем  это  уравнение  Если

тогда 

Если 

Проверка: 

Если  .

Проверка: 

·                        Решим  уравнение  .

Имеем: 

Но  здесь  лучше  решать  уравнение 

Имеем  системы:  1)    2)    3) 

4)    5)    6)    7) 

8)    9)    10) 

Так  как    натуральные,  то  для  решения  подходят  системы  2,  4,  5,  7,  8,  9.

Из  второй  системы  получаем    (не  точный  квадрат).

Из  четвертой:    (не  точный  квадрат).

Из  пятой:    (не  точный  квадрат).

Из  седьмой:    (не  точный  квадрат).

Из  восьмой:    (не  точный  квадрат).

Из  девятой: 

Для  решения  подходят    Тогда 

Пусть 

Проверка: 

Если 

Проверка: 

o         Решим  уравнение  .

Имеем: 

Получаем  системы: 

1) 

2)   

3)  .

Чтобы  уравнение    имело  корни,  надо  чтобы  хотя  бы  одна  из  этих  систем  имела  натуральные  корни.  Для  примера  решим  вторую  систему.

Из  первого  уравнения  имеем    Подставим  это  во  второе  уравнение  системы.  После  преобразований  получаем  уравнение

  или 

Получим  уравнение  четвертой  степени  относительно    Для  решения  применим  схему  Горнера  и  найдем  натуральные  корни  данного  уравнения.

 

Данное  уравнение  имеет  единственный  натуральный  корень 

  Пусть  .  Тогда 

Проверка: 

o         Решим  уравнение 

Имеем:    Оно  равносильно  совокупности  системы:  1)    где    и    делители  числа  72.

Не  будем  решать  систему,  пойдем  другим  путем.    может  принимать  значения  1,  8,  27,  64,  тогда  Из  них  только  8  и  64  являются  точными  кубами.  Получаем 

Если 

Если 

Пусть 

Проверка: 

o  Решим  уравнение 

Имеем:    принимает  значения  1,  16,  81,  256,  тогда    принимает  значения  271,  256,  191,  16.  Итак,  если 

(271,  196  не  точные  степени).  Тогда 

  При 

Проверка: 

Решим  несколько  уравнений  при  фиксированных 

Решим  уравнение 

Имеем:    Если    Тогда 

 

Проверка: 

Ответ:   

Если    (не  точный  квадрат).  Для  решения  не  подходит.

Решим  уравнение 

Имеем:    Представим  16  в  виде  произведения  двух  множителей.  Это: 

1.  Тогда    (не  точный  квадрат).

2.    (не  точный  квадрат).

3.    (не  точный  квадрат).

4.    (не  точный  квадрат).

5.  .

Если  ,  то 

Проверка: 

Решим  уравнение 

  Представим  8  в  виде  произведения  двух  множителей. 

Это: 

1.    (не  точная  четвертая  степень).

2.    (не  точная  четвертая  степень).

3.  .

4.    (не  точная  четвертая  степень).

Для  решения  подходит    Тогда 

 

Проверка: 

Ответ: 

o  Решим  уравнение 

  Представим  6  в  виде  произведения  двух  множителей.  Это: 

1.    (не  точный  квадрат).

2.  (отрицательное  число).

3.  .

4.  .

Для  решения  подходят    Тогда 

  или 

Проверка: 

Ответ:  или 

o  Решим  уравнение 

Имеем:    Представим  6  в  виде  произведения  двух  множителей.  Это: 

1. 

2.    (отрицательное  число).

3.    (не  точная  степень).

4.    (не  точная  степень).

Для  решения  подходит    Тогда 

Проверка: 

Ответ: 

Из  решений  вышеуказанных  уравнений  вытекает  алгоритм  решения  уравнений  вида    и  .

Алгоритм  решения    в  общем  виде  следующий.

1.  Вычисляем  число  ,  где    и    натуральные  числа,  причем  .

2.  Вычисляем  где    –  произвольное  натуральное  число.

Алгоритм  решения  при  фиксированной  .

1.  Решаем  уравнение    в  натуральных  числах.

2.  Вычисляем 

Алгоритм  решения  при  фиксированной  .

1.  Находим  ,  для  этого  из  фиксированной    извлекаем  корень    степени.

2.  Представляем  полученный  корень  в  виде  произведения  двух  чисел,  принимаем  один  из  них  за  ,  другой  за 

3.  Вычисляем 

Алгоритм  решения    следующий.

1.  Находим  .  ,  где    любые  натуральные  числа.

2.  Вычисляем 

Алгоритм  решения  уравнения    при  фиксированной  .

1.  Решаем  уравнение  .

2.  Вычисляем 

Алгоритм  решения  уравнения  при  фиксированной  .

1.  Из  извлекаем  корень    степени.

2.  Представляем  корень  в  виде  произведения 

3.  Выбираем 

4.  Вычисляем 

Выводы: 

1.  Уравнения    и    в  общем  виде  имеют  бесконечное  множество  решений.

2.  При  фиксированной    уравнения  имеют  бесконечное  множество  решений,  если  уравнения    и    имеют  натуральные  корни.  В  противном  случае  мы  не  сможем  найти  корни  этим  способом.

3.  При  фиксированной    уравнения  имеют  конечное  число  решений,  если    В  противном  случае  мы  не  сможем  найти  натуральные  корни  уравнения.

Примечание.

1.  Для  решения  уравнения    нужно,  чтобы 

где 

2.  Если  равно    степени  некоторого  числа,  то  уравнения  не  будут  иметь  решения,  так  как  это  будет  противоречить  «Великой  теореме»  Ферма.

 

Список  литературы:

1.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы.  Типография  №  3,  Дербент  2013.  —  261  стр.