РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ  С  ДРОБНЫМИ  КЭФФИЦИЕНТАМИ  В  НАТУРАЛЬНЫХ  ЧИСЛАХ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук,  «Социально-педагогический  институт»,  РФ,  г.  Дербент

E -mail: 

 

THE  SOLUTION  OF  EQUATIONS  WITH  FRACTIONAL  COEFFICIENTS  IN  NATURAL  NUMBERS

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogical  Sciences,  “Social  Pedagogical  Institute”  ,  Russia,  Derbent

 

АННОТАЦИЯ

Статья  посвящена  решению  неопределенных  уравнений  вида

    в  натуральных  числах.  Приводится  общий  способ,  а  также  решения  при  фиксированных  .

ABSTRACT

The  article  is  devoted  to  the  solution  of  indefinite  equations  of  the

    type  in  natural  numbers.  General  ways  as  well  as  solutions  for  fixed  d,  c  and  z  are  presented. 

 

Ключевые  слова;  уравнения  в  целых  числах;  системы  уравнений.

Keywords :  equations  in  whole  numbers;  set  of  equations. 

 

Среди  задач  особую  значимость  имеют  уравнения,  решаемые  в  целых  числах.  Это  один  из  наиболее  интересных  разделов  теории  чисел.  Решение  в  целых  числах  алгебраических  уравнений  с  целыми  коэффициентами  более  чем  с  одним  неизвестным  представляет  собой  одну  из  труднейших  проблем.

Решением  уравнений  в  целых  числах  занимались:  греческий  математик  Пифагор  (VI  век  до  н.  э.),  александрийский  математик  Диофант  (II—III  век  н.  э.),  П.  Ферма  (XVII  век),  Л.  Эйлер  (XVIII  век),  Ж.Л.  Лагранж  (XVIII  век)  и  другие.  Диофант  много  занимался  различного  рода  уравнениями,  но  более  всего  известен  созданием  остроумных  способов  решения  неопределенных  уравнений.  Он  не  дает  общих  приемов  решения.  Каждая  задача,  каждое  уравнение  решается  особым  приемом,  чаще  всего  остроумным  и  своеобразным.  До  конца  проблема  решения  уравнений  в  целых  числах  изучена  для  уравнений  не  выше  второй  степени  с  двумя  неизвестными.  Для  уравнений  выше  второй  степени  с  двумя  или  более  неизвестными  весьма  трудна  не  только  задача  нахождения  всех  решений  в  целых  числах,  но  и  более  простая  задача  установления  существования  конечного  или  бесконечного  множества  таких  решений  [1,  c.  3]. 

Часто  при  решении  уравнений  в  целых  числах  помогает  знание  некоторых  свойств  натуральных  чисел,  особенно  треугольных  и  пирамидальных.  Напомним,  что  треугольные  числа  имеют  вид  , 

пирамидальные  -  ; 

Покажем  это  на  примере  решений  некоторых  уравнений  в  натуральных  числах.

·     Решение  уравнений  вида    в  натуральных  числах. 

Для  решения  воспользуемся  равенством  .  Отсюда  .  Введя  новые  обозначения  ,  ,  получаем  =.  Далее

    или  .  Обозначив 

  [2,  c.43],  получаем  вышеуказанное  уравнение.  В  общем  виде  это  уравнение  имеет  бесконечное  множество  решений.  Так  как    и    –  натуральные  числа,  то    больше  .  Пусть   

Тогда 

  Так  как  ,  то  .  Число    берем  произвольно.  Пусть  .  Тогда  .

Проверка: 

Если 

Проверка: 

Рассмотрим  уравнение  при  фиксированных  .

·     Решим  уравнение  . 

Имеем:  .  Решим  систему  .  Отсюда    или    Представим  21  в  виде  произведения  двух  множителей,  учитывая,  что  .  Имеем  системы    или  .  Из  первой  системы  имеем:   

Из  второй:    Пусть  ,  тогда    или 

.

Проверка:  1). 

  2).  .

·     Решим  уравнение  . 

Решение.  Имеем:  .  То  есть  имеем  систему    или    Имеем  системы  ,  ,    Решив  эти  системы,  получаем    Из  первой  системы:  Из  второй:    Из  третьей: 

  Вычислим    и    зная,  что 

1.  ,  то  есть  .

2. 

3. 

Проверка:  1).    2).  .  3). 

Ответ: 

Из  решений  данных  уравнений  вытекает  алгоритм  решения  уравнения  вида

    при  фиксированных  .

1.  Решаем  систему  ,  находим  .

2.  Находим  .  Так  как  равенство    выполняется  для  любого  натурального  ,  считаю,  что  если  система    не  будет  иметь  решения,  то  не  имеет  решения  и  само  уравнение.

·     Решение  уравнений  вида  .

Воспользуемся  равенством 

 

.

 

Отсюда  . 

Или  .  После  обозначений 

,  получаем  уравнение    [2,  с.  52].

Ясно,  что  уравнение  имеет  бесконечное  множество  решений.  Например,  пусть 

  –  произвольное  натуральное  число.  При 

Проверка:  .

·     Решение  уравнений  вида    при  фиксированных 

Например,  решим  уравнение  .  Имеем: 

Решим  систему    или  . 

Отсюда  . 

Приходим  к  системам  1.    2.    3.  .  Решая  эти  системы  получаем:  (не  натуральные), 

3.–  берем  произвольно.  Пусть  ,  тогда  .

Проверка:  1).  .

Ответ: 

·     Решение  уравнений  вида  .  Для  решения  воспользуемся  равенством 

,  или  .  Отсюда  . 

Введя  обозначения  ,  имеем  уравнение    [2,  с  49].  При  преобразованиях  использовано  тождество  .  Уравнение  в  общем  виде  имеет  бесконечное  множество  решений.  Для  примера,  пусть   

Тогда    то  есть  , 

.  При    имеем:

 

Проверка:  .  Если 

Проверка: 

o  Решим  уравнение  при  фиксированных   

Например.    Имеем  .  Приходим  к  системе    или 

Но  лучше  решить  .  Если 

Если  (неточный  квадрат).  (неточный  квадрат),  или  (неточный  квадрат).  Итак,  имеем:    Эти  числа  удовлетворяют  первому  уравнению  системы.  Тогда 

,  так  как 

Проверка:  . 

Видно,  что  решение  этих  уравнений  не  зависит  от  .

·     Решение  уравнений  вида  .  Воспользуемся  равенством 

,  или   

. 

Отсюда  .  После  введения  новых  обозначений 

,  имеем  уравнение   

Пусть    –  берем  произвольно,  тогда 

Если 

Проверка: 

o  Решим  уравнение  при  фиксированных   

Например.    Имеем  .  Решим  одно  из  этих  уравнений.  Например, 

Числа    (не  натурально  число).  Система  ,  решение  в  натуральных  числах  не  имеет,  то  есть  наше  уравнение  решений  не  имеет.

·     Решение  уравнений  вида  . 

По  аналогии  с  предыдущим  уравнениями  примем 

.  Пусть    Тогда  ,

.  Если    то    Если  Тогда  имеем 

o  Решим  уравнение  при  фиксированных   

Пример.    Имеем  систему  . 

Решим  второе  уравнение  системы.

1.    (неточный  куб).

2.  .  Тогда  .

Пусть  тогда 

Проверка: 

·     Решение  уравнений  вида  .  По  аналогии  с  предыдущими  уравнениями 

.  Пусть    Тогда  ,  .  Если 

Тогда  имеем:

Проверка: 

Если 

Проверка: 

o  Решим  уравнение  при  фиксированных   

    Имеем  систему  . 

Решим  первое  уравнение  системы.

1.  (неточный  куб).

2.  (неточный  куб).

3.  (не  натуральное  число).

4.  (отрицательное  число).

5.  (отрицательное  число).

Наша  система  решений  не  имеет,  значит  и  уравнение  не  имеет  решений.

·     Решение  уравнений  вида  .  Примем 

,    –  берем  произвольно. 

Пусть    Тогда  ,  . 

Имеем:   

Тогда    Если 

Проверка: 

o  Решим  одно  уравнение  при  фиксированных   

Имеем  систему 

Решим  в  натуральных  числах  второе  уравнение  системы

1.  Если    (неточная  четвертая  степень).

2. 

3.    (неточная  четвертая  степень).

4.    (неточная  четвертая  степень).

5.    (неточная  четвертая  степень).

6.    (неточная  четвертая  степень).

7.    (неточная  четвертая  степень).

8.    (неточная  четвертая  степень).

Для  решения  подходят  .  Эти  числа  удовлетворяют  и  первому  уравнению  системы.

Итак,  ,  пусть  .  Тогда 

Проверка:  .

Если 

Проверка: 

·     Решение  уравнений  вида  .  Принимаем 

,    —  берем  произвольное  натуральное  число.  Например,  пусть    Тогда  , 

.  Примем  .

Проверка: 

o  Рассмотрим  уравнение  при  фиксированных 

Имеем  систему  .  Решим  уравнение  первой  системы.  Если    Так  как  .  Эти  числа  удовлетворяют  и  второму  уравнению.

Тогда    Пусть  ,  тогда 

Проверка: 

·     Решение  уравнений  вида  .  Принимаем 

  –  произвольное  натуральное  число.  Пусть    Тогда    Если  .

Проверка:    Если 

Проверка: 

o  Рассмотрим  одно  уравнение  при  фиксированных 

Например, 

Имеем  систему  .  Решим  второе  уравнение.  Если    (неточная  пятая  степень  числа). 

  для  решения  не  подходят.  Итак,  имеем:    тогда 

  Пусть  ,  тогда    Числа    и    удовлетворяют  и  первому  уравнению.

Проверка: 

·     Решение  уравнений  вида    Принимаем 

произвольное  натуральное  число.

Пусть  .  Тогда 

Если 

Проверка:  .

o  Решим  одно  уравнение  при  фиксированных 

Имеем  систему  .  Решим  второе  уравнение  системы  в  натуральных  числах.

Если  ,  то  есть 

Если    (отрицательное  число).

Если    (отрицательное  число).

Если    (отрицательное  число).

Для  решения  подходят  числа  .  Найдем    и  .

Если  .

Проверка: 

Если  .

Проверка:  и  т.  д....

В  общем  виде  наши  уравнения  имеют  вид    и  .

Уравнения  имеют  бесконечное  множество  решений,  если  , 

  для  первого  уравнения  и  ,    для  второго  уравнения.    где    –  произвольное  натуральное  число.

Докажем,  что  это  верно  для  любого  натурального  .

1.  Имеем:   

 

. 

  или 

Из  равенства  обоих  частей  вытекает  справедливость  нашего  утверждения. 

2.  Имеем:    Отсюда 

 

.

 

 

 

.

Из  равенства  левой  и  правой  частей  вытекает  справедливость  нашего  утверждения.  итак,  напишем  алгоритм  решения  наших  уравнений.

1.  Находим  числа    по  формулам:    для  первого  уравнения.    для  второго  уравнения.

2.  Находим  где    –  произвольное  натуральное  число.

Вывод: 

1.  Уравнения    и    в  натуральных  числах  в  общем  виде  имеют  бесконечное  множество  решений.

2.  При  фиксированных    уравнения  имеют  бесконечное  множество  решений,  если  системы    и    имеют  решения  в  натуральных  числах.

3.  При  фиксированных    уравнения  имеют  конечное  число  решений.

4.  Если  системы  не  имеют  решений,  то  уравнения  тоже  не  имеют  решений.

5.  Если    одновременно  будут    степенью  натурального  числа,  то  уравнение  не  будет  иметь  решения.  Так  как  это  будет  противоречить  «Великой  теореме»  Ферма.

 

Список  литературы:

1.Далингер  В.А.  Задачи  в  целых  числах  М.:  Илекса  2014,  —  112  с.

2.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы.  Типография  №  3.  Дербент  2014,  —  261  с.