О  ДИФФЕРЕНЦИАЛЕ  ВТОРОГО  ПОРЯДКА

Ловков  Иван  Юрьевич

студент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов

E -mail:  alkasardancer@rambler.ru

Таперечкина  Вера  Алексеевна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов

ABOUT  SECOND-ORDER  DIFFERENTIAL

Lovkov  Ivan

student  of  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov

Vera  Taperechkina

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor  of  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov

АННОТАЦИЯ

В  работе  рассмотрены  способы  нахождения  производных  и  дифференциалов  первого  и  второго  порядков  для  сложных  функций  двух  переменных.

ABSTRACT

Calculation  methods  of  derivative  and  first  and  second  differentials  for  composite  functions  of  two  variables.

Ключевые  слова:  частные  производные;  дифференциал.

Keywords :  partial  derivatives;  differential.

1.  Введение.

Сформулируем  некоторые  факты  из  теории  функций  многих  переменных,  которые  понадобятся  нам  далее.

Определение:  функция  z=f(u,  v)  называется  дифференцируемой  в  точке  (u,  v),  если  ее  приращение  Δz  представимо  в  виде:

Линейная  часть  приращения  называется  полным  дифференциалом  и  обозначается  dz.

Теорема  (достаточное  условие  дифференцируемости)  см[1].

Если  в  некоторой  окрестности  т.(u,  v)  существуют  непрерывные  частные  производные    и  ,  то  функция  f(u,  v)  дифференцируема  в  этой  точке  и 

  (du=Δu,  dv=Δv).  (1)

Определение:  Вторым  дифференциалом  функции  z=f(u,  v)  в  данной  точке  (u,  v)  называется  первый  дифференциал  от  первого  дифференциала  функции  f(u,  v),  т.е. 

Из  определения  второго  дифференциала  z=f(u,  v),  где  u  и  v  –  независимые  переменные,  следует

Таким  образом,  справедлива  формула:

  (2)

При  выводе  формулы  использована  теорема  Шварца  о  равенстве  смешанных  производных  .  Это  равенство  справедливо  при  условии,  что    определены  в  окрестности  т.(u,  v)  и    непрерывны  в  т.(u,  v).  cм[1].

Формула  для  нахождения  2-го  дифференциала  может  быть  записана  символически  в  следующем  виде:    –  формальное  возведение  скобки  в  квадрат  с  последующим  формальным  умножением  справа  на  f(x  y)  дает  полученную  ранее  формулу  [1].  Аналогично  справедлива  формула  для  3-го  дифференциала:

  и  вообще:

,  где  формальное  возведение  в  n-ую  степень  производится  по  формуле  бинома  Ньютона:

; 

Отметим,  что  первый  дифференциал  функции  двух  переменных  обладает  свойством  инвариантности  формы.  То  есть,  если  u  и  v  —  независимые  переменные,  то  для  функции  z=f(u,  v),  согласно  (1)

Пусть  теперь  u=u(x  y),  v=v(x  y),  тогда  z=f(u(x  y),  v(x  y)),  x  и  y  —  независимые  переменные,  тогда

Используя  известные  формулы  для  производной  сложной  функции:

Тогда  из  (3)  и  (4)  получим:

.

Таким  образом,

  (5)

где    —  первый  дифференциал  функции  u,    —  первый  дифференциал  функции  v.

Сравнивая  (1)  и  (5),  видим,  что  формальная  запись  формулы  для  dz  сохраняется,  но  если  в  (1)  du=Δu,  dv=Δv  —  приращения  независимых  переменных,  то  в  (5)  du  и  dv  —  дифференциалы  функций  u  и  v.

2.  Второй  дифференциал  сложной  функции  двух  переменных.

Прежде  всего,  покажем,  что  второй  дифференциал  не  обладает  свойством  инвариантности  формы.

Пусть  z=z(u,  v)  в  случае  независимых  переменных  u  и  v  второй  дифференциал  находим  по  формуле  (2)

Пусть  теперь  u=u(x  y),  v=v(x  y),  z=z(u(x  y),  v(x  y)),  где  независимые  переменные  x  и  y.  Тогда

.

Итак,  мы  получили  окончательно:

Формулы  (2)  и  (6)  не  совпадают  по  форме,  следовательно,  второй  дифференциал  не  обладает  свойством  инвариантности.

Ранее  были  выведены  формулы  частных  производных  1-го  порядка  для  сложной  функции  z=f(u,  v),  где  u=u(x  y),  v=v(x  y),  где  x  и  y  —  независимые  переменные  см  [1].

Выведем  формулы  для  вычисления  частных  производных  и  дифференциала  второго  порядка  для  функции  z=f(u,  v),  u=u(x  y),  v=v(x  y),  где  x  и  y  —  независимые  переменные.

Для  функций  u(x  y),  v(x  y)  независимых  переменных  x,  y  имеем  формулы:

Подставим  формулы  (8)  в  (6). 

Таким  образом,  получили  формулу  для  дифференциала  второго  порядка  сложной  функции  двух  переменных.

Сравнивая  коэффициенты  при  для  частных  производных  второго  порядка  сложной  функции  двух  переменных  в  (2)  и  (9),  получаем  формулы:

.

Пример  1  см  [2]

Пусть  z=f(u,  v),  u=xy,  v=.  Найти  второй  дифференциал. 

Решение:  вычисляем  частные  производные:

,  ,  ,  ,

,  , 

Подставив  полученные  результаты  в  (9),  получаем  ответ:

3.  Важные  частные  случаи.

1.  Рассмотрим  случай,  когда  z=f(u,  v),  u=u(t),  v=v(t).

Для  первого  дифференциала  имеем:

;

Если  в  формуле  (9)  положить  x≡t  и  учесть,  что  все  производные  по  y  отсутствуют,  то  получим:

Отметим,  что  в  квадратных  скобках  формулы  (13)  стоит  формула  производной  второго  порядка  для  случая,  если  z=f(u,  v),  где  u=u(t),  v=v(t).

2.  Рассмотрим  случай,  когда  z=f(u),  где  u=u(x  y).

Для  первого  дифференциала  имеем:

Далее  по  формуле  (6):

Сравнивая  коэффициенты  при  ,  получаем  формулы  для  вторых  частных  производных:

Пример  2  см  [3].

Пусть  .  Найти  .

Решение:  Обозначим  u=.  Находим  частные  производные:

Находим  второй  дифференциал:

3.  Рассмотрим  случай,  когда  z=f(x  y),  y=y(x).

Для  первого  дифференциала  имеем:

Далее  из  1.получаем: 

Список  литературы:

1.Архипов  Г.И.  Садовничий  В.А.  Чубариков  В.Н.  Лекции  по  математическому  анализу.  М.:  Дрофа,  2004

2.Виноградова  И.Л.  Олехник  С.Н.  Садовничий  В.А.  Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу  М.В.Ш.,  2002

3.Демидович  Б.П.  Сборник  задач  и  упражнений  по  математическому  анализу.  М.:  Наука,1990.