О  РАВНОМЕРНОЙ  СХОДИМОСТИ  ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ  И  ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ  РЯДОВ

Зикеева  Марина  Кареновна

студент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов

E -mail:  zikeeva.marina@yandex.ru

Таперечкина  Вера  Алексеевна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов

 

UNIFORM  CONVERGENCE  OF  FUNCTIONAL  SEQUENCES  AND  FUNCTIONAL  SERIES

Marina  Zikeeva

student  of  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov

Vera  Taperechkina

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor  of  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov

 

АННОТАЦИЯ

В  работе  рассматриваются  функциональные  свойства  равномерно  сходящихся  функциональных  последовательностей  и  функциональных  рядов.  Подробно  разобраны  различные  примеры  и  контрпримеры,  демонстрирующие  эти  свойства.

ABSTRACT

The  functional  properties  of  uniformly  convergent  functional  sequences  and  functional  series  are  considered  in  this  study.  Various  examples  and  counterexamples  demonstrating  these  properties  have  been  discussed  in  detail.

 

Ключевые  слова:  равномерная  сходимость;  функциональные  последовательности;  функциональные  ряды.

Keywords:  uniform  convergent;  functional  sequences;  functional  series.

 

1.  Поточечная  сходимость  функциональной  последовательности 

Функциональной  последовательностью  называется  занумерованное  множество  функций  {f_n(x)},  имеющих  одну  и  ту  же  область  определения  D∈R.  При  этом  множество  D  называется  областью  определения  функциональной  последовательности  {f_n(x)}.

Пусть∀х₀∈EÌD  последовательность  {f_n(x₀)}  имеет  конечный  предел,  f(x₀),  т.  е.  ∀  ε  Ǝ  номер  N=  N(ε,x₀):∀n>N=>|f_n(x₀)f(x₀)|<  ε.

Определенная  таким  образом  сходимость  называется  поточечной,  и  пишут  f_n(x₀)=  f(x₀). 

Так  как  ∀x∈E  (E-множество  сходимости  последовательности)  определено  число  f(x),  то  f_n(x)  представляет  собой  функцию,  которая  называется  предельной  функцией  последовательности  {f_n(x)}.

Нас  будут  интересовать  функциональные  свойства  предельной  функции  f(x)  =  f_n(x)  в  зависимости  от  свойств  f_n(x)  и  от  «качества»  сходимости  последовательности  {f_n(x)}.  Например,  следует  ли  из  непрерывности  в  f_n(x)  непрерывность  предельной  функции.

Приведем  несколько  примеров. 

Пример  1   [3]/

Пусть  f_n(x)  =  xⁿ,  n  —  натуральное,  D=  [0,1].  Найти  предельную  функцию.

Решение.

f_n(0)  =  0,f_n(0)  =  0,  f_n(1)  =1,  f_n(1)  =  1,

При  0<x<1,f_n(x)  =  xⁿ.  Покажем  по  определению,  что  f_n(x)  =  0.

Пусть  дано  ∀ε  >0.  Неравенство  |  xⁿ–  0|  <e  выполняется  при  |x|ⁿ<ε,

(причемn>  .  Обозначим  N  =  [+1.

Таким  образом,  ∀  ε  найдется  номер  N,  такой,  что  ∀n>N  выполняется  неравенство  |xⁿ0  |<  ε,  а  значит,  что  f_n(x)  =  0

Итого  предельная  функция  f(x)  =E  =[0,1]  —  множество  сходимости. 

Функции  f_n(x)  =  xⁿ  непрерывны  на  E,  однако,  предельная  функция  имеет  в  точке  x  =  1  разрыв  первого  рода  со  скачком.

Пример  2   [1].

f_n(x)  =  ;  D  =  [0,1].  Найти  предельную  функцию.

Решение.

f_n(0)  =  1;  f_n(0)  =  1.  Для  ∀x∈  (0,1]  имеем  f(x)  =  .

Итого,  предельная  функция  f(x)  =  ;  E  =[0,1]  —  множество  поточечной  сходимости.

Функции  f_n(x)  =    непрерывны  на  [0,1],  а  предельная  функция  f(x)  имеет  в  точке  x  =  0  разрыв  первого  рода  со  скачком.

Пример  3.

f_n(x)  =  ;  D  =  [0,1].  Найти  предельную  функцию.

Решение.

Если  x  =  0,  то  f_n(0)=  ,  f_n(0)=  .

Для  x∈(0,1]  предельную  функцию  найдем,  используя  правило  Лопиталя.

f(x)  =    =  ∀x  ≠0).

Итого,  предельная  функция  f(x)  =  0,  ∀x∈[0,1].  E=[0,1]  —  множество  поточечной  сходимости.

Функции  f_n(x)  =    непрерывны  на  [0,1]  и  предельная  функция  f(x)  =0  непрерывна  на  [0,1].

Пример  4.

f_n(x)  =  ;  D=  [0,1].  Найти  предельную  функцию.

Решение.

f(x)  =  f_n(x)=    =  0  ;  ∀x∈[0,1].

Итого,  предельная  функция  f(x)=0.  E=[0,1]  —  множество  поточечной  сходимости.

Функции  f_n(x)  =    непрерывны  на  [0,1]  и  предельная  функция  f(x)  =0  непрерывна  на  [0,1].

Пример  5.

f_n(x)  =  2;  D  =  [0,1].  Найти  предельную  функцию.

Решение.

Для  x∈[0,1]  предельную  функцию  найдем,  используя  правило  Лопиталя.

f(x)  = 

Итого,  предельная  функция  f(x)=0  на  [0,1].E=[0,1]  –  множество  поточечной  сходимости.

Функции  f_n(x)  =    непрерывны  на  [0,1]  и  предельная  функция  f(x)=0  непрерывна  на  [0,1].

 

2.  Равномерная  сходимость  функциональной  последовательности 

Последовательность  {f_n(x)}  называется  равномерно  сходящейся  на  множестве  E,  если

∀  ε  >  0  Ǝ  номер  N  =  N(ε)  :∀n>N  =>  |f_n(x)f(x)|<ε  .

Отличие  этого  определения  от  прежнего  определения  состоит  в  том,  что  для  любого  ε  >  0  требуется  существование  номера  N,  зависящего  только  от  ε,  но  не  зависящего  от  x,  то  есть  общего  для  всего  множества  Е.

Графически,  равномерная  сходимость  последовательности  {f_n(x)}  к  предельной  функции  f(x)  состоит  в  приближении  графиков  f_n(x)  с  ростом  номера  n  к  графику  f(x)на  всем  множестве  E.  Это  заведомо  справедливо,  если  потребовать,  чтобы|f_n(x)f(x)|=  0,  то  есть,  начиная  с  некоторого  номера  N  |f_n(x)f(x)|  <ε,  а  тогда,  разумеется,  ∀x  справедливо,  что  |f_n(x)f(x)|  <ε.

Исследование  на  равномерную  сходимость  напоминает  решение  задачи  с  параметром,  если  в  качестве  параметра  принять  x. 

Рассмотрим  детально  приведенные  выше  примеры  с  точки  зрения  определения  равномерной  сходимости,  используя  полученные  результаты.

К  примеру  1.

f_n(x)  =  xⁿ;  E  =  [0,1]  ;  Ранее  было  полученоf(x)  = 

∀|f_n(x)f(x)|  <ε;  при  ∀n  >N(ε,  x)  =  []  +  1.

Отметим,  что  N  =  N(ε,  x),  зависит  от  x.  Причем,  чем  ближе  х  к  1,  тем  больше  N(ε,  x)  и,  тем  самым,  не  существует  такого  N  =  N(ε),  которое  пригодно  для  ∀x∈[0,1].

Рисунок  2.1  иллюстрирует  характер  приближения  графиков  f_n(x)  к  графику  предельной  функции  f(x).  Предельная  функция  изменяется  в  x=1  скачком  и  f(1)  =  1,  а  максимумы  всех  функций  f_n(x)  остаются  неподвижными,  f_n(1)  =  1.

На  Рисунке  2.1  изображена  поточечная  сходимость  при  x₀  =0,9  и  ε  =  0,1, 

N  =  [+1  =  [+1=  30,  |f₃₀(x₀)f(x₀)|  =  |0,9³⁰  0|  =  0,0424<0,1.

Итак,  функциональная  последовательность  непрерывных  функций  {xⁿ}  сходится  к  разрывной  функции  f(x)  поточечно,  но  неравномерно.  Отметим,  что,  если  E  =  [0,r],  где  r<1,  то  сходимость  равномерная,  N(ε)  =  []  +  1.

 

Рисунок  2.1.  Пример  неравномерной  сходимости  последовательности  {xⁿ }

 

К  примеру  2.

f_n(x)  =  ;  E=  [0,1].  Ранее  было  получено  f(x)  = 

|f_n(x)f(x)|  =  ,  <ε,  >,  n>N  =  N(ε,  x)  =  [.

Поточечная  сходимость  на  E  есть.  Однако,  при  x  0  получаем  .

Следовательно,  не  существует  единого  N(ε),  пригодного  для  всего  отрезка  [0,1].

Итак,  сходимость  неравномерная.  Аналогично  Примеру  1,  если  E  =  [r,1],  где  r>0,  то  сходимость  равномерная,  N(ε)  =  [.

Приведем  иллюстрацию  к  Примеру  2.

Графики  функций  f_n(x)  =  на  множестве  действительных  чисел  представляют  собой  семейство  гипербол  с  разрывом  при  1  +  nx  =  0,  то  есть 

x  =  -  . 

 

Рисунок  2.2.  Пример  неравномерной  сходимости  последовательности  {}

 

На  Рисунке  2.2  представлены  графики  правой  ветви  четырех  функций:  f₁(x),  f₂(x),  f₃(x),  f₁₉(x)  и  предельной  функции  f(x).  Если,  например,  ε  =  0,1  , 

x₀  =  0,5,  то  срезом  является  монотонно  убывающая  последовательность  {f_n(0,5)}={  }и  N(ε)  =  [  =  19, 

|f₁₉(0,5)f(0,5)|  =  ||  =    =  0,095  <  0,1.

Все  графики  f_n(x)  при  n≥  19  в  точке  x₀  =  0,5,  расположены  к  графику  предельной  функции  ближе,  чем  ε  =  0,1.

Но,  если,  например,  ε  =  0,1  ,  x₀  =  0,1,  то  получим  N(ε)  =  91,  |f₉₁(0,1)f(0,1)|  =  ||  =    =  0,099  <  0,1  и  чем  ближе  x₀  к  нулю,  тем  большее  N  следует  взять  в  определении  поточечной  сходимости  и  невозможно  указать  N(ε)  единого  для  всех  x  отрезка  [0,1].

Итак,  имеем  неравномерную  сходимость  непрерывных  функций  f_n(x)  к  разрывной  функции  f(x).

К  примеру  3.

f_n(x)  =  ;  E  =  [0,1].  Ранее  было  полученоf(x)  =  0.

Покажем,  что  сходимость  {f_n(x)}  к  f(x)  не  является  равномерной. 

Графики  функций  f_n(x)=    представляют  собой  семейство,  получаемое  сжатием  к  началу  координат  графика  нечетной  функции  y  =  ,  где  t  =  nx.

Рассмотрим  поведения  экстремумов  и  точек  перегиба.

yʹ  =  (f_n(x))  ʹ  =    =  ;  yʹ  =  0  приx  =  ±  ,  x  =  ,

y(  =    =  1,yʹʹ  =  (f_n(x)  )  ʹʹ  =  ,

yʹʹ  =  0  приx=  0,  x  =  ±  ,  f()  =    = 

Таким  образом,  на  отрезке  [0,1]  имеем  для  всех  функций  семейства  одинаковой  высоты  максимум  y_max()=    и  одинаковой  высоты  перегиб  y  =  ,  но  достигаются  эти  значения  в  разных  точках  для  разных  кривых:  x_max  =  ,  x_{перегиба}.

На  Рисунке  2.3  представлены  графики  f₁(x),…,f₆(x).  На  любом  срезе  x  =  x₀  получаем  числовую  последовательность  {f_n(x₀)}.  Например,  при  x₀  =  0,25

{f_n(0,25)}  =  .

Последовательность  {f_n()}  до  n  =  4  возрастает,  а  далее  убывает  и  сходится  к  нулю.

Для  любого  ε>  0  и  любого  фиксированного  x₀  неравенство 

|f_n(x₀)f(x₀)|  =  |0|  <  ε  c  учетом  того,  что    <    =  ,  заведомо  выполнено,  если    <  ε,  то  есть  при  n  >  ,  N  =  N(  =  [.  В  частности,  при  =0,25,    получим  N(0,1;0,25)=[=81,  |f₈₁(0,25)f(0,25)|  =  0,0985  <  0,1 

Однако,  какого  бы  ни  было  N(ε,x₀),  всегда  существует  точка  x_max  =  ,где  n>N(ε,x₀)  и  в  этой  точке  |f_n()f()|  =  1>ε  (для  любого  ε<1).

Например,  пусть  ε  =  0,1,  x₀  =  0,25,  N  =  81.Берем  теперь  x₀  =  0,01.  При 

n  =  100>81  имеем  |f₁₀₀()f()|  =  |1  0|  =  1  >ε.

Таким  образом,  невозможнодля  всех  x,  принадлежащих  отрезку  [0,1],  при  n>N(ε)  обеспечить  выполнение  неравенства  |f_n(x)f(x)|<ε.  Последовательность  сходится  неравномерно.

 

Рисунок  2.3.  Пример  неравномерной  сходимости  последовательности  {}

 

f_n(х)  =  ,  E  =[0,1].Ранее  было  получено  f(х)  =  0.

Рассмотрим  функцию  y  =  Так  как,  yʹ  =  ,  yʹ  =  0  при  х  =  ,  x=  ,y(  =    =  ,  то  функция  имеет  экстремум  при  х  =    на  [0,1]  и  этот  экстремум  равен  y(.

Далее  yʹʹ  =  ,  yʹʹ  =  0,  x  =  ±  ,  x  =  ,  y(.

Таким  образом,  графики  функций  f_n(х)  =    имеют  на  отрезке  [0,1]  максимумы,  расположенные  на  прямой  y  =  x  и  перегибы,  расположенные  на  прямой  y  =    .  Так  как  f_n(х)  =    =    ,  то  графики  функций  f_n(х)  получаются  из  соответствующих  графиков  примера  3  сжатием  в  n  раз  вдоль  оси  ординат.  При    максимумы  все  ниже  и  график  выравнивается,  сглаживаясь  к  оси  0х.  Это  изменяет  качество  сходимости  последовательности  {f_n(x)}  и  появляется  возможность  одновременного  приближения  графиков  функций  с  ростом  n  к  графику  предельной  функции  f(x)  =  0  на  всем  отрезке  [0,1].

На  Рисунке  2.4  показана  динамика  изменения  графиков  (сравнить  с  Рисунком  2.3).  Возможность  выбора  единого  N(ε)  следует  из  оценки:  |f_n(x)f(x)|<|f_maxf(x)|  =  <ε,  n>.

Таким  образом,  ∀  существует  N(ε)  =  [+1,  следовательно,  сходимость  равномерная.

 

Рисунок  2.4.  Пример  равномерной  сходимости  последовательности  {}

 

Пример  6.

Пусть  f_n(x)  =    +  ,  где  D(x)  –  функция  Дирихле.

D(x)  =  ;

Исследовать  на  равномерную  сходимость  на  E  =  [0,1].

Решение.

f_n(x)  = 

Каждая  из  функций  f_n(x)  разрывна  во  всех  точках  E  =  [0,1]. 

f(x)  =  f_n(x)  =  ,  ∀.

Так  как,  |f_n(x)f(x)|  =,  |f_n(x)-f(x)|  =  <ε,  n²>,  N(ε)  =  [+1,  следовательно,  ∀ε>0  существует  N(ε),  пригодное  ∀  и  удовлетворяющее  определению  равномерной  сходимости.

Таким  образом,  сходимость  последовательности  разрывных  функций  {f_n(x)}  к  непрерывной  функции  f(x)  =    является  равномерной.

Пример  7  [3].

f_n(x)  =    ,  E  =  [0,1]

 

Исследовать  на  равномерную  сходимость.

Решение.

Функции  f_n(x)  всюду  разрывные.  f(x)  =  f_n(x)  =  , 

|f_n(x)f(x)|  = 

Неравенство  |f_n(x)f(x)|  <ε  выполняется  при  <ε,  n>.

Таким  образом,  ∀ε>0  существует  N(ε)  =  [+1,  удовлетворяющее  определению  равномерной  сходимости.

Итого,  сходимость  последовательности  всюду  разрывных  функций  {f_n(x)}  к  непрерывной  функции  f(x)  =  0  является  равномерной.

Пример  8.

f_n(x)  = 

Исследовать  на  равномерную  сходимость  на  отрезке  [0,1].

Решение.

Функции  f_n(x)  неограниченны  на  [0,1],  при  x  =0  имеют  разрыв  второго  рода.  Для  ∀x  имеем  f(x)  =  f_n(x)  =  .  Для  x  =  0  имеем

f_n(0)  =  0  иf_n(0)  =0.

Таким  образом,  f(x)  =    .  Функция  f(x)  разрывна  при  x  =0.

 

|f_n(x)f(x)|= 

 

Для  выполнения  неравенства  |f_n(x)f(x)|<ε  необходимо,  чтобы  <ε.  То  есть  n>  .

Положим  N(ε)  =  [+1.  Таким  образом,  существует  N(ε),  пригодное  ∀и  удовлетворяющее  определению  равномерной  сходимости.

Итого,  наша  последовательность  разрывных  функций  сходится  равномерно  к  разрывной  функции.

 

Разобранные  примеры  дают  возможность  проанализировать,  как  влияет  качество  сходимости  (равномерная  или  нет)  на  результат  предельного  перехода:

·     пример  1  и  2  —  последовательность  непрерывных  функций  поточечно  сходится  к  разрывной  функции;

·     пример  3  —  последовательность  непрерывных  функций  поточечно  сходится  к  непрерывной  функции;

·     пример  4  —  последовательность  непрерывных  функций  равномерно  сходится  к  непрерывной  функции;

·     пример  6  —  последовательность  разрывных  функций  равномерно  сходится  к  непрерывной  функции;

·     пример  7  —  последовательность  разрывных  функций  сходится  равномерно  к  непрерывной  функции;

·     пример  8  —  последовательность  разрывных  функций  равномерно  сходится  к  разрывной  функции;

·     пример  5  —  последовательность  непрерывных  функций  неравномерно  сходится  к  непрерывной  функции  (доказано  далее  в  примере  9).

Справедлива  следующая  теорема  о  непрерывности  предела  последовательности  [1].

Теорема  1 :

Если  все  члены  последовательности  непрерывны  в  точке  х₀  Е  и  последовательность  сходится  равномерно  на  Е,  то  предельная  функция  непрерывна  в  точке  х₀.

Из  этой  теоремы  следует,  что  невозможно  построить  пример  последовательности  непрерывных  функций,  сходящихся  равномерно  к  разрывной  функции.

При  исследовании  последовательности  на  равномерную  сходимость  удобно  пользоваться  вышеупомянутой  перефразировкой  определения  равномерной  сходимости.  Последовательность  {f_n(x)}  равномерно  сходится  к  f(x)  тогда  и  только  тогда,  когда  |f_n(x)f(x)|=  0.  Например,  пусть  f_n(х)  =  ,  E  =[0,1].  Ранее  в  примере  4  было  получено  f(х)  =  0  и  f_n(х)  =  ,  значит  |f_n(x)f(x)|=  =  =0.  Сходимость  равномерная.

Пример  9.

f_n(x)  ,  E  =  [0,1].  Исследовать  на  равномерную  сходимость.

Решение.

Ранее  в  примере  5  было  получено,  что  f(x)  =  0  на  отрезке  [0,1],  поточечная  сходимость  есть.

Найдем  максимум  функции  y  =  f_n(x).

yʹ  ==  ,  yʹ  =0,  x  =  ±  ,  x  =  [0,1],

y(  =    =.Итого,  f_n(x)  ≤  ,  f(x)  =  0.

|f_n(x)f(x)|  =(  =  ≠0.  Равномерной  сходимости  нет.

В  примере  9  последовательность  {f_n(x)}  непрерывных  функций  сходится  неравномерно  к  непрерывной  функции.

Рассмотрим  далее,  как  связаны  понятия  равномерной  сходимости  с  операциями  дифференцирования  и  интегрирования.  Справедливы  следующие  теоремы  [1].

Теорема  2:  если  все  члены  последовательности  {f_n(x)}  интегрируемы  на  [a,  b]  и  последовательность  {f_n(x)}  сходится  равномерно  на  [a,  b],  то  функция  f(x)=f_n(x)  интегрируема  на  [a,b]  для  любого  x₀  ∈[a,b]  и  на[a,  b]  .

Теорема  3:   если  функции  f_n(x)  дифференцируемы  на  [a,b],  последовательность  {f_nʹ(x)}  сходится  равномерно  на  [a,  b]  и  последовательность  {f_n(x)}  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  x₀  ∈[a,  b],  то  последовательность  {f_n(x)}  сходится  равномерно  на  [a,  b]  к  дифференцируемой  функции  и

(f_n(x))  ʹ  =  f_nʹ(x)  для  ∀x  ∈  [a,  b].

Отметим,  что  теоремы  1,  2,  3  о  непрерывности,  интегрируемости  и  дифференцируемости  предела  последовательности  дают  только  достаточные  условия  того,  что  предельная  функция  обладает  соответствующими  свойствами.

Пример  10.

f_n(x)  =  ,  E  =  [0,1].  Проверить  возможность  предельного  перехода  под  знаком  интеграла.

Решение.

Ранее  в  примере  3  найдено  f(x)  =  0  и  сходимость  неравномерная.  Вычислим  предел  интеграла  от  .

  ===

)  =  =    =  =0

Далее

 

=  =  =  0

 

Таким  образом,  несмотря  на  то,  что  сходимость  не  является  равномерной,  имеем    =  ,  а  значит  предельный  переход  под  знаком  интеграла  возможен.

Пример  11  [3].

.  E  =  [0,1].  Проверить  возможность  предельного  перехода  под  знаком  интеграла.

Решение.

 

=    =  =

=  (-+1),

=  (-+1)  =  1

 

Далее  найдем  предельную  функцию.

f(x)  =    =    =    =    =  0  ∀x∈  (0,1].  Так  как    =  0,  то  f(x)  =  0  ∀x∈  [0,1].  Вычислим  интеграл  от  предельной  функции.

dx  =  dx  =  0.

Таким  образом,  ≠,  то  есть  предельный  переход  под  знаком  интеграла  невозможен.

Пример  12  [2].

  =  n²x.  E  =  [0,1].Проверить  возможность  предельного  перехода  под  знаком  интеграла.

Решение.

Найдем  предельную  функцию.

Для  любого  x∈  (0,1]  имеем 

f(x)  =    =  =    =    =    =0

Для  x=0  имеем  ,    =  0.  Таким  образом,  f(x)  =  0∀x∈  [0,1].

dx  =  0.

Далее  интегрируем  по  частям.

=  =  n²[(-  +  ]  =  n²[  -  -  ]  = 

x  =  U	dU  =  dx
	V  =

 

 

  +  1 

  =  (  +  1)  =  1. 

Таким  образом,  ≠,  а,  следовательно,  предельный  переход  под  знаком  интеграла  невозможен.

Отметим,  что  из  полученного  результата  по  теореме  2  дополнительно  следует,  что  сходимость  {f_n(x)}  =  {n²xне  является  равномерной.

Примеры  10-12  демонстрируют,  что  условие  равномерной  сходимости  интегрируемых  функций  на  [a,b]  существенно,  но  не  является  необходимым  для  возможности  предельного  перехода  под  знаком  интеграла.

Пример  13.

,  E  =[0,1].  Проверить  будет  ли  справедливо  равенство  =

Решение.

Ранее  в  примере  4  показано,  что  последовательность  непрерывных  функций  {f_n(x)}  равномерно  сходится  к  непрерывной  функции  f(x)=  0.  Находим  производную  от  предельной  функции  на  [0,1].    =  (f(x))  =  0

Далее  найдем  последовательность  из  производных.

 

  =  =    =  .

 

Пусть  x,  тогда  =    =    =    =  0.

Если  х  =  0,  то    =    =  2  ,  2  =  2.

Итак,    =    .  Таким  образом,  ≠.

Из  полученного  результата  по  теореме  3  следует,  что  последовательность  {  не  сходится  равномерно  на  [0,1],  так  как  в  противном  случае,  все  условия  теоремы  3  выполнялись  бы  и  нарушение  последнего  равенства  было  бы  невозможно. 

Из  определения  равномерной  сходимости  следует,  что,  если  последовательности  {  и    сходятся  равномерно  на  E,  то  последовательность  {α  сходится  равномерно  на  E.  В  частности,  если    —  числовая  сходящаяся  последовательность,  то  {  —  равномерно  сходится  на  E.  Если  {  сходится  неравномерно,  то

{  сходится  неравномерно.

Отметим  также,  что  заменой  переменной  t  =  a+(ba)x  отрезок  [0,1]  можно  преобразовать  в  отрезок  [a,b].

Например,  для  последовательности  {,  где    и  E  =[0,1]  получим  на  отрезке  [3,5]  после  замены  t=3  +2x  новую  функциональную  последовательность  непрерывных  функций  {,  где  ,  равномерно  сходящуюся  на  [3,5]  к  предельной  функции  f(x)  =  0.

Последовательность  {  =  {  +  }  сходится  равномерно  на  [3,5]  к  функции  (.

3.  Равномерная  сходимость  функциональных  рядов

Напомним,  что  ряд  вида    где    —  функции,  определенные  на  общей  области  D,  называются  функциональным  рядом.

Совокупность  всех  точек  сходимости  функционального  ряда    называется  множеством  сходимости.

На  множестве  E  сходимости  ряда  определена  функция  S(x)  =  ,S(x)  —  сумма  ряда.

S(x)  =  ,  где{S_n(x)}  —  последовательность  частичных  сумм.

Ряд  называется  равномерно  сходящимся  на  множествеЕ,  если  последовательность  {S_n(x)}  его  частичных  сумм  равномерно  сходится  на  Е,  то  есть 

S_n(x)    S(x)|  <.

Если  обозначить  r_n(x)  –n-ый  остаток  ряда, 

r_n(x)  =  S(x)  S_n(x)  =  ,

то  из  определения  следует,  что  <,  ,  а,  следовательно,  равномерная  сходимость  ряда  на  E  эквивалентна  равномерной  сходимости  к  нулю  последовательности  остатков  ,  то  есть  =0.

Пример  14.

  на  E  =  (,    ).  Исследовать  на  равномерную  сходимость.

Решение.

Обозначим  q  =  0  <q<<1,  следовательно  сходится  как  бесконечно  убывающая  геометрическая  прогрессия  и  его  сумма  равна  S=  ,

S_n=  ,  r_{n  =}  <  (так  как  <,  1  , 

<,<).  Таким  образом,  .  Так  как  ≥  0  на  E,  то  =0  и  ряд  сходится  равномерно.

Пример  15.

Исследовать  ряд  на  равномерную  сходимостьна  отрезке  [0,1]. 

  Решение.

Ряд  знакочередующийся  и  удовлетворяет  всем  условиям  признака  Лейбница.  Из  признака  Лейбница  имеем  оценку  остаточного  члена 

.  Отсюда,    имеем 

||  <  ||  =  <,  .  Ряд  сходится  равномерно.

Для  функциональных  рядов  справедлив  необходимый  признак  равномерной  сходимости  [1].

Теорема  4  (необходимое  условие  равномерной  сходимости):

Если  ряд    сходится  равномерно  на  множестве  E,  то  последовательность    сходится  к  нулю. 

Теорема  4  является  необходимым  условием  равномерной  сходимости,  ноне  является  достаточным.  Однако,  нарушение  равномерной  сходимости  последовательности    к  нулю  влечет  за  собой  отсутствие  равномерной  сходимости  функционального  ряда.

Если  {}  неравномерно  сходится  к  нулю,  то  ряд  может  или  сходиться  неравномерно  или  расходиться.  Если  ≠  0,  то  ряд  расходится.

Пример  16.

,  E  =  [0,1].  Проверить  выполнимость  необходимого  условия  равномерной  сходимости.

Решение.

Обозначим    =  {.  Исследуем  эту  последовательность  на  равномерную  сходимость.  Найдем  предельную  функцию  U(x):

,    U(x)  =  0. 

Так  как  =  =    то  последовательность    равномерно  сходится  к  нулю.

Покажем,  что  ряд    расходится.  Так  как    <  n,    >    и  гармонический  ряд    расходится,  то  ряд    расходится  (по  теореме  сравнения).  Для  любого  x₀  ряды    и    удовлетворяют  предельной  теореме  сравнения,  следовательно  ряд    расходится,  несмотря  на  то,  что  последовательность    равномерно  сходится  к  нулю.

При  исследовании  функционального  ряда  удобно  использовать  достаточный  признак  Вейерштрасса.

Теорема  5  (признак  Вейерштрасса)  [1]:

Если  для  функционального  ряда    существует  сходящийся  положительный  числовой  ряд  такой,  что  ||  ≤то    сходится  абсолютно  и  равномерно  на  E.

Ряд    называется  мажорантным.  Оптимальным  мажорантным  рядом  при  использовании  признака  Вейерштрасса  является  ряд    На  практике  достаточно  бывает  и  более  грубой  оценки.

Пример  17.

,  E  =  [0;2].  Исследовать  на  равномерную  сходимость.

Решение.

|  =  ||  <

Рассмотрим  ряд  .  Так  как  ряд  Дирихле    сходится  (p  =  >  1),  то  ряд    сходится.  По  признаку  Вейерштрасса  ряд    сходится  равномерно  и  абсолютно.

Пример  18  [1].

,  E  =  [0;1].  Исследовать  ряд  на  равномерную  сходимость.

Решение.

  =2  = 

=0  при  x=0  и  x  =  .  Так  как    =  0  и  (  =  ,  то<.

Рассмотрим  мажорантный  ряд:

̶  сходится;  p=2  >  1  (ряд  Дирихле).

По  признаку  Вейерштрасса  ряд    сходится  равномерно.

Пример  19.

,  E  =  [.  Доказать  равномерную  сходимость  на  E

Чтобы  сделать  оценку  общего  члена  рассмотрим  функцию    на  [

Первое  слагаемое  самое  большое  значение  имеет  в  точке  x  =2  и  равно  ,  второе  слагаемое  самое  большое  в  точке  x=    и  равно  5*  Значит  сумма  на  всем  отрезке  [  не  более,  чем  сумма  самых  больших  возможностей.

<  Следовательно, 

  =  (. 

Ряд    сходится  по  признаку  Даламбера  так  как    =  =  0  <  1.  Следовательно,    сходится  равномерно  по  признаку  Вейерштрасса.

Следующий  пример  показывает,  что  признак  Вейерштрасса  является  достаточным  для  равномерной  и  абсолютной  сходимости,  но  не  является  необходимым.

Пример  20.

,  E=  [0,1].  Исследовать  на  равномерную  и  абсолютную  сходимость.

Решение.

Данный  ряд  является  знакопеременным.  Исследуем  его  на  абсолютную  сходимость.  Так  как    =,  (при  nи  ряд  Дирихле    расходится  (p=<  1),  то  ряд    расходится  ,  а  следовательно,  ряд    не  сходится  абсолютно.  Исходный  ряд  является  знакочередующимся  и  удовлетворяет  всем  условиям  признака  Лейбница,  а  значит  данный  ряд  сходится  условно.  Оценка  остаточного  члена  по  признаку  Лейбница  дает  |r_n(x)|  <<,    |r_n(x)|  <  =  0.

Таким  образом,r_n(x)  =  0  и  исходный  ряд    сходится  равномерно,  хотя  и  не  сходится  абсолютно,  а  лишь  условно.

Покажем  дополнительно,  что  необходимый  признак  равномерной  сходимости  выполнен.

Найдем  предельную  функцию  последовательности  {U_n(x)}.  Так  как 

U(x)  =  =0,  U(x)  =  0  и    =  ,

|U_n(x)–U(x)|=||==0.  Таким  образом  последовательность    сходится  к  нулю  равномерно.

Этот  пример  также  показывает,  что  необходимый  признак  равномерной  сходимости  не  является  достаточным.

Отметим,  что  из  соотношения  (x)при  ,  вообще  говоря,  не  следует,  что  ряды  одновременно  равномерно  сходятся  или  одновременно  неравномерно  сходятся.  Приведем  пример,  демонстрирующий  это  замечание.

Пример  21  [1].

и  ,E  =  (.  Исследовать  ряды  на  равномерную  сходимость.

Решение.

Заметим,  что    при  n.  Исследуем  данные  ряды  на  сходимость.

1)    =  ,

Так  как  (|x|  –  n)²  >  0;  x²  +n²>,  <;  <то 

|    |  <.  Итого:  ||  <.

Так  как  мажорантный  ряд  сходится,  то  по  признаку  Вейерштрасса  ряд    сходится  равномерно.

2)    =.  Исследуем  на  абсолютную  сходимость.

  =  |x|    сходится  как  ряд  Дирихле  (p  =  3>1).  Таким  образом,  ряд    сходится  абсолютно.

Рассмотрим  последовательность  ={}.  Покажем,  что  последовательность  {  не  сходится  равномерно.  Найдем  предельную  функцию  V(x).

V(x)  =  =    =  0,  |V(x)  |  =    =  =  ,  E  =  (,  следовательно,  последовательность  {  не  сходится  равномерно  к  нулю  .

Ряд    не  сходится  на  E  равномерно,  так  как  не  выполнено  необходимое  условие  равномерной  сходимости  (см.  теорему  4).

Ряд    сходится  на  E  неравномерно. 

Таким  образом  получили  (x)  (,  ряд    сходится  равномерно,  а  ряд    сходится  неравномерно.

Из  разобранных  нами  примеров  следует,  что  абсолютно  сходящийся  ряд  может  быть  как  равномерно  сходящимся  (пример  17;  пример  21,  п.  1),  так  и  неравномерно  (пример  21,  п.  2).  Условно  сходящийся  ряд  также  может  быть  равномерно  сходящимся  (пример  20).

Примеры  рядов,  сходящихся  равномерно/неравномерно  с  соответствующими  функциональными  свойствами  суммы  ряда  (непрерывность,  интегрируемость,  дифференцируемость)  можно  построить,  например,  используя  рассмотренные  функциональные  последовательности    ,  если  положить  S_n(x)  =  f_n(x).  Тогда  U₁(x)  =  f₁(x),U_n(x)  =  f_n(x)  f_n-1(x)  (n=2;3…).  Получим  ряд    =f₁(x)  +).

Например,  если    =  {2xn²},  то  ряд    сходится  на  [0,1]  неравномерно  к  непрерывной  сумме  S=0  [3].

Отметим,  что  степенной  ряд  равномерно  сходится  на  всяком  отрезке,  целиком  лежащем  внутри  интервала  сходимости,  имеет  непрерывную  суммуS(x)  в  интервале  сходимости,  его  можно  почленно  дифференцировать  и  полученный  ряд  сходится  в  том  же  интервале  к  S  (x).  Степенной  ряд  можно  почленно  интегрировать  внутри  интервала  сходимости  и  полученный  ряд  сходится  к  интегралу  от  S(x)  [3].

 

Список  литературы:

1.Виноградова  И.А.,  Олехник  С.Н.,  Садовничий  В.А.  Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу,  Ч2,  М.:  Дрофа,  2001.

2.Гелбаум  Б.,  Олмстед  Дж.,  Контрпримеры  в  анализе,  М.:  Мир,  1967. 

3.Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  интегрального  исчисления,  т.  I,  М.,  1960.