О  ЕДИНСТВЕННОСТИ  РЕШЕНИЯ  СИСТЕМЫ  ДВУМЕРНЫХ  ИНТЕГРАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  ВОЛЬТЕРРА  ТРЕТЬЕГО  РОДА

Максутов  Айдарбек  Рысбаевич

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  РГСУ,  филиал  в  г.  Ош,  Кыргызская  Республика,  г.  Ош

E-mail: 

Кыбыраев  Абдыкалый  Оморович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  РГСУ,  филиал  в  г.  Ош,  Кыргызская  Республика,  г.  Ош

Джаныбеков  Таалайбек  Джеенбекович

канд.  техн.  наук,  РГСУ,  филиал  в  г.  Ош,  Кыргызская  Республика,  г.  Ош

ON  THE  UNIQUENESS  OF  THE  SOLUTION  OF  TWO-DIMENSIONAL  VOLTERRA  INTEGRAL  EQUATIONS  OF  THE  THIRD  KIND

Maksutov  Aidarbek

cand.  sci.  sciences,  Associate  Professor  of  RSSU  branch  in  Osh  ,  Kyrgyzstan,  Osh

Kybyraev  Abdykaly

cand.  sci.  sciences,  Associate  Professor  of  RSSU  branch  in  Osh,  Kyrgyzstan,  Osh

Janybekov  Taalaibek

Ph.D.,  RSSU  branch  in  Osh,  Kyrgyzstan,  Osh

АННОТАЦИЯ

Исследована  единственность  решения  системы  линейных  интегральных  уравнений  третьего  рода  с  двумя  независимыми  переменными  в  неограниченных  областях  на  основе  метода  неотрицательных  квадратичных  форм.

ABSTRACT

Investigated  the  uniqueness  of  the  solution  of  linear  integral  equations  of  the  third  kind  with  two  independent  variables  in  unbounded  domains  on  the  basis  of  non-negative  quadratic  forms.

Ключевые  слова:   линейные  интегральные  уравнения,  третьего  рода,  с  двумя  независимыми  переменными,  единственность.

Keywords:   linear  integral  equations  of  the  third  kind,  with  two  independent  variables,  uniqueness.

Рассмотрим  следующую  систему  уравнений

  (1) 

где:    —  известные  матричные  функции  размеров  n´n,

  —  сопряженная  матрица  к  матрице    —  заданная, 

  —  неизвестная  n-мерная  вектор-функция,  .

Основополагающие  результаты  для  интегральных  уравнений  Фредгольма  первого  рода  получены  в  [3;  4],  где  для  решения  линейных  интегральных  уравнений  Фредгольма  первого  рода  построены  регуляризирующие  операторы  по  М.М.  Лаврентьеву. 

В  работах  [1—2],  [5]  исследованы  интегральные  уравнения  Вольтерра.  В  данной  работе,  используя  метод,  примененный  в  работе  [2],  выведены  условия,  при  которых  достигается  единственность  решения  системы  (1)  в  классе  .

Под  скалярным  произведением  векторов    будем  подразумевать  соотношение  ,  .

Обе  части  системы  (1)  скалярно  умножим  на    справа,  затем  слева,  сложив  полученные  уравнения  почленно  и  разделив  обе  части  на  два,  получим

  (2)

где:    —  сопряженная  к  матрице  , 

,  и    —  самосопряженные  матрицы. 

Предполагаем  выполнение  следующих  условий:

1.  матрицы    ,    —  непрерывны  при  всех  значениях  ,    соответственно,  матрицы    ,  ,    —  непрерывны  при  всех  значениях    соответственно,  элементы  матрицы    и    —  непрерывные  функции  по  совокупности  аргументов  в  области  ,  матрицы  ,  ,    —  неотрицательны  при  всех  значениях    соответственно,  матрицы  ,      —  неположительны  при  всех  значениях    соответственно;

2.  для  любого    и  для  любых  векторов    справедливо 

3.  для  любого    и  для  любого    справедливо

где  0  <  K  —  известное  число. 

Теорема.   Пусть  выполняются  условия  1)—3).  Тогда  решение  системы  (1)  единственно  в  пространстве  ,  где    тогда  и  только  тогда,  когда  ,  .

Доказательство.  Пусть    —  решение  системы  (1)  из  .  Тогда  (2)  интегрируя  по  области  ,  получим

Введем  обозначение  следующее  обозначение

при  помощи  которого  последнюю  систему  перепишем  в  виде 

  (3)

Известно,  что  если    —  самосопряженная  дифференцируемая  матричная  функция  при    и    —  n-мерная  дифференцируемая  вектор  —  функция  при  ,  то

  .           (4)

Учитывая,  что  ,  используя  формулы  интегрирования  по  частям  и  (4),  второе  слагаемое  (3)  преобразуем  к  виду

.  (5)

Аналогично,  для  третьего  слагаемого  (3)  имеем

  (6)

Для  преобразования  четвертого  слагаемого  (3)  используем  соотношение

  (7)

где    —  самосопряженная  матричная  функция  размеров  n´n,  а    —  n-  мерная  вектор-функция,  ÎG. 

Учитывая  формулу  ,  далее  используя  (7)  и  интегрируя  четвертое  слагаемое  левой  части  (4),  преобразуем  к  виду

  (8)

.

Нетрудно  убедиться,  что  если  N=N(s,y)  —самосопряженная  гладкая  матричная  функция  размера  n´n,  а  v(s,y)  —  n-мерная  гладкая  вектор-функция,  то  справедливо  соотношение 

  (9)

Учитывая  формулу  ,  используя  соотношение  (9),  формулы  Дирихле  и  интегрирования  по  частям,  соотношение  (8)  преобразуем  к  следующему  виду

  (10)

Интегрируя  соотношение  (4)  по  области  ,  учитывая  соотношения  (6),  (7),  (10)  и  используя  формулы  Дирихле,  имеем  следующие

  (11)

В  силу  условий  1)—3)  из  (11)  следует,  что  для  всякого  решения    системы  (1)  из    имеет  место  следующее

Пусть    при  .  Тогда  из  последнего  получим 

(t,x)ОG,  где  0<  –  известное  число.  Отсюда,  имеем  u(t,x)є0,  (t,x)ОG.

Это  означает,  что  однородная  система,  соответствующая  системе  (1),  имеет  только  тривиальное  решение.  Теорема  доказана.

Список  литературы:

1.Асанов  А.  Единственность  решения  операторных  уравнений  //  Изв.  АН  Кирг.  ССР.  —  1988.  —  №  11.  —  С.  58—61.

2.Асанов  А.,  Максутов  А.Р.  Об  одном  классе  систем  интегральных  уравнений  Вольтера  III  рода  с  двумя  независимыми  переменными  //  «Наука  и  новые  технологии».  Бишкек:  Илим,  —  2000.  —  №  1.  —  С.  44—50.

3.Лаврентьев  М.М.  Об  интегральных  уравнениях  первого  рода.  //  ДАН  СССР.  —  1959.  —  Т.  127,  —  №  1.  —  с.  31—33.

4.Лаврентьев  М.М.,  Романов  В.Г.,  Шишатский  С.П.  Некорректные  задачи  математической  физики  и  анализа.  М.:  Наука,  1980.

5.Максутов  А.Р.  Об  одном  классе  линейных  интегральных  уравнений  Вольтера  III  рода  с  двумя  независимыми  переменными//  Труды  5-й  Межд.конф.  молодых  ученых  и  студентов.  Актуальные  проблемы  современной  науки.  Естественные  науки.  Части  1,2:  Математика.  Матем.моделирование.  Самара.  —  203  с.  —  2004.  —  С.  83—87.