ИНВОЛЮТИВНОЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  ТРЕХСОСТАВНОГО  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  ПРОЕКТИВНОГО  ПРОСТРАНСТВА

Попов  Юрий  Иванович

канд.  ф-м.  наук,  профессор  Балтийского  федерального  университета  имени  И.  Канта,  РФ,  г.  Калининград,

E -mail:  AndreyBudylkin@rambler.ru

 

INVOLUTIVE  CONVERSION  THREEFOLD  PROJECTIVE  SPACE  DISTRIBUTION

Popov  Yuri

candidate  of  Science,  professor  of  Baltic  federal  university  of  I.Kant,  Russia,  Kaliningrad

 

АННОТАЦИЯ

В  данной  работе  доказано,  что  проективное  преобразование  :структурных  форм    проективного  пространства  является  иволютивным,  то  есть    =  .  Следуя  работе  [7]  показано,  что  инволютивное  преобразование    переводит  трехсоставное  распределение    [4]  в  двойственный  ему  образ  ,  заданный  относительно  тангенциального  репера  .  Рассмотрены  аналитические  признаки  двойственности    и  —  подрасслоений,  ассоциированных  с  данным  H-распределением,  относительно  преобразования    и  дана  их  геометрическая  интерпретация.  Индексы  принимают  значения: 

 

    

 

ABSTRACT

In  this  paper  it  is  proved  that  a  projective  transformation  :  structural  forms  of  projective  space  is  ivolyutive  —    =  .  The  involutive  transformation    transforms  threefold  distribution    in  its  dual  image    specified  with  respect  to  the  tangential  frame  .  Having  considered  the  analytical  features  of  dualty    and    —  subbundles  associated  with  the  H-distribution,  the  transformation    and  given  their  geometric  interpretation.  The  indices  take  the  values:

 

    

 

Ключевые  слова:   распределения;  инволютивное  преобразование;  двойственный  образ.

Keywords:  distribution;  involutive  transformation;  dual  image.

 

§   1.  Задание  трехсоставного  распределения

1.  Тройку  распределений,  образованную  соответственно  распределениями  r-плоскостей  L  (L-распределение),  m-плоскостей  М  (М-распределение),  гиперплоскостей  Н  (Н-распределение,  r<m<n-1)  проективного  пространства  Р_n  с  отношением  инцидентности  Х ÎLÌMÌH  их  соответствующих  элементов  в  каждом  центре  X  назовем  трехсоставным  распределением  проективного  пространства  Р_n  или  H-распределением  [4],  при  этом  L-распределение  назовем  базисным  распределением,  а  М-распределение  и  Н-распределение  —  оснащающими  распределениями.

Обозначим  через  Ф_n-r-1(Ф-плоскость)  и(E-плоскость)  характеристики  гиперплоскости,  полученные  при  смещениях  центра  Х  вдоль  интегральных  кривых  соответственно  L-распределения,  М-распределения.  Плоскость  Ф(Х)  пересекает  плоскость  М(Х)по  s-мерной  плоскости  L_s(X):

 

Ф(Х)ÇМ(Х)  =  L_s(Х),  s  =  m-r.

 

Кроме  того,  введем  в  рассмотрение  плоскость  Y(X)  =  [L(X);  E(X)].

Адаптируем  подвижной  репер  проективного  пространства  P_n  с  H-распределением  следующим  образом:

 

 

Выбранный  таким  образом  репер  R  является  репером  1-го  порядка  R¹.  Относительно  репера  R¹  главные  формы  H-распределения  имеют  следующий  вид:

 

  (a)

             (1)

 

где

 

               (2)

 

Геометрические  объекты    и    являются  соответственно  фундаментальными  объектами  1-го  и  2-го  порядка  H-распре-деления.  Компоненты  фундаментального  объекта  Г₂  удовлетворяют  дифференциальным  уравнениям

 

                       (а)

                          (b)

                       (3)

                        (c)

 

Кроме  того,  компоненты  фундаментального  объекта  Г₂  связаны  соотношениями:

 

                            (4)

 

Таким  образом,  относительно  репера  R₁трехсоставноеH-распределение  задается  уравнениями  (1),  (3)  и  соотношениями  (2),  (4).

§  2.  Инволютивность  преобразования  :

Рассмотрим  систему  из  (n+1)²форм  Пфаффа  : 

 

                           (a)

             (b)

                       (I)

                               (c)

 

Формы    удовлетворяют  структурным  уравнениям  проективного  пространства  и  задают  инфинитезимальные  перемещения  тангенциального  репера:

 

                                          (5)

 

где

 

                    (6)

 

Докажем,  что  преобразование  :  форм  проективного  пространства  по  закону  (I)  является  инволютивным,  т.  е.    =  . 

Прежде  всего,  из  формул  (1.а)

 

 

в  силу  соотношений  (I.a)  находим

 

;                (7)

                     (8)

                                (9)

 

Из  формул    и  формул  (7)  получаем 

 

                              (10)

 

Дифференциальные  уравнения  (3.а),  при  K=q  относительно  тангенциального  репера  запишутся  в  виде

 

             (11)

 

Из  уравнений  (11),  с  использованием  формул  (I),  (7),  (3.а)  находим

 

                             (12)

 

Аналогично,  из  дифференциальных  уравнений  (3.b),  прии  (3.с)  при,  записанных  относительно  тангенциального  репера  (6),  с  учетом  формул  (1),  (3.b),  (3.с)  соответственно  получаем  следующие  соотношения: 

 

                     (13)

−  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −

                           (14)

 

Последние  группы  необходимых  соотношений  между  объектами,  отнесенными  к  различным  реперам    и  ,  находим  из  соотношений 

 

 

с  использованием  формул  (7)—(14):

 

                  (15)

            (16)

−  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −

                (17)

 

Наконец,  разрешая  формулы  (I),  с  помощью  соотношений  (7)—(17),  относительно  ,  получаем  формулы,  определяющие  преобразование  :

 

                                          (II)

 

Теперь  из  (I)  и  (II)  следует,  что    =  .  Дифференциальные  уравнения  регулярного  -распределения,  двойственного  данному  H-распределению,  имеет  вид,  аналогичный  уравнениям  (1)  (без  соответствующих  замыканий):

 

                       (18)

 

Таким  образом  справедлива

Теорема  1.  Регулярное  H-распределение  проективного  пространства  Р_n  во  второй  дифференциальной  окружности  его  образующего  элемента  индуцирует:

1.  проективное  пространство  ,  двойственное  исходному  проективному  пространству  Р_n  относительно  инволютивного  преобразования    форм    по  закону  (I),

2.    регулярное  распределение  ,  двойственное  исходному,  причем  его  дифференциальные  уравнения  в  тангенциальном  репере  (5)-(6)  имеют  вид  (18),  аналогичный  уровнениям  (I)  H-распределения  проективного  пространства  P_n.

Теорему  1  впервые  доказал  А.В.  Столяров  [6],  [7]  для  гиперполосных  распределений  и  для  регулярных  гиперполос,  а  также  построил  с  помощью  преобразования    двойственные  образы.

Отметим,  что  инволютивность  преобразования    (I)  для  частного  класса  трехсоставных  распределений доказана  в  работе  [5],  для  скомпонованных  S-распределений  в  работах  [1],  [2],  для  H-распределений  в  работе  [3].  Двойственная  теория  имеет  место  и  на  оснащенном  H-распределении  в  P_n.

Пусть  основные  структурные  подрасслоения  (L-подрасслоение,  L-подрасслоение  и  Е-подрасслоение  [4])  нормализованы  в  смысле  Нордена  соответственно  полями  квазитензоров   удовлетворяющими  уравнениям

 

                         (19)

 

Легко  убедиться,  в  силу  соотношений  (3),  (I),  (19),  что  функции

 

                  (20)

 

удовлетворяют  соответственно  уравнениям 

 

                         (21)

 

где

 

 

Следовательно,  всякая  нормализация  H–распределения  индуцирует  двойственную  ей  нормализацию.  При  этом  оснащающие  объекты  связаны  соотношениями  (20),  удовлетворяющими  уравнениям  (21). 

Таким  образом  справедлива 

Теорема  2 .  Нормализация  в  смысле  Нордена  одного  из  регулярных  трехсоставных  распределений  и    равносильна  нормализации  другого,  при  этом  компоненты  полей  оснащенных  объектов  связаны  соотношениями  (20). 

В  первых  трех  дифференциальных  окрестностях  в  работе  [4]  построены  (без  применения  теории  двойственности)  различные  внутренние  инвариантные  нормализации  H-распределения  проективного  пространства  P_n.  Таким  образом,  в  силу  теоремы  2  утверждаем:  зная  закон  охвата  объекта  нормали  первого  (втрого)  рода    любого  ассоциированного  распределения  с  данным  H-распределением,  можно  построить  внутренним  образом  определенную  соответствующую  нормаль  второго  (первого)  рода    данного  ассоциированного  распределения  по  следующей  схеме  [6],[7].  Построим  охват  квазитензора    двойственного  образааналогичный  охватупосле  чего,  используя  двойственные  соотношения  (например  (7)—(17),  (20))  находим  соответствующую  нормаль.  В  этом  случае  говорят  [6],  [7],  что  поля  нормалей  идвойственны  друг  другу  по  отношению  к  инволютивному  преобразованию    (I).

§  3.  Аналитические  признаки  двойственности  и  H(L)  и  H(M)  -  подрасслоений,ассоциированных  с  H  -распределением

Из  формул  (I.b)  получаем  соотношения:

 

     (III)

−  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  −

                (IV)

 

Известно  [7],  что  инволютивное  преобразование  ,  заданное  системой  из    форм  Пфаффа  :

 

 

                    (I*)

 

преобразует  гиперполосное  распределение  H(L)  (H(L)-распределение)  в  двойственное  ему  гиперполосное  распределение  Если  преобразование  (I)  индуцирует  преобразование  (I*),  то  выполняются  условия

 

 

из  которых  согласно  формулам  (I)  получим

 

          (V)

                  (VI)

 

Нетрудно  убедиться,  что  из  соотношений  (III)  и  (V)  следуют  условия

 

                      (VII)

 

а  из  соотношений  (IV)  и  (VI)  соответственно  условия

 

                   (VIII)

 

Условия  (VII),  (VIII)  являются  не  только  необходимым,  но  и  достаточными,  чтобы  преобразование  (I)  порождало  преобразование  (I*).  Действительно,  если  выполняются  соотношения  (VII)  и  (VIII)  для  H-распределения,  то  из  (VII)  и  (III)  следуют  (V),  а  из  (VIII)  и  (IV)  следуют  (VI).

Таким  образом,  доказана

Теорема  3.Для  того,  чтобы  инволютивное  преобразование  (I)  индуцировало  инволютивное  преобразование  (I*)  необходимо  и  достаточно,  чтобы  выполнялись  условия  (VII),  (VIII).

Геометрическая  интерпретация  теоремы  3  такова:  инволютивное  преобразование    при  условиях  (VII),  (VIII),  не  только  преобразует  трехсоставное  распределение  H  в  двойственный  ему  образ  ,  но  и  ассоциированное  с  ним  H(L)-  распределение  преобразует  в  двойственный  ему  образ  .

3.  Преобразуем  формулы  (I.c)  соответственно  следующим  образом:

 

                 (IX)

            (X)

 

Аналогично,  следуя  работе  [7],  утверждаем,  что  инволютивное  преобразование  ,  заданное  системой  из    форм  Пфаффа

 

                                     (I*)

 

преобразует  гиперполосное  распределение  H(М)  (H(М)-распределение)  в

двойственное  ему  гиперполосное  распределение  .  Пусть  преобразование  (I)  индуцирует  преобразование  J(I*),  тогда  выполняются  равенства

 

 

которые  (в  силу(I))  преобразуем,  соответственно,  в  следующие  соотношения:

 

              (XI)

               (XII)

 

Теперь  из  соотношений  (IX)  и  (XI)  непосредственно  получаем  условия

 

             (XIII)

 

а  из  соотношений  (X)  и  (XII)  —  условия

 

                            (XIV)

 

Соотношения  (XIII),  (XIV)  являются  не  только  необходимыми,  но  и  достаточными  условиями,  чтобы  преобразование  (I)  порождало  инволютивное  преобразование  J(II*).  Действительно,  если  выполняются  соотношения  (XIII),  (XIV)  для  H-распределения,  то  из  (XIII)  и  (IX)  следуют  соотношения  (XI),  а  из  (XIV)  и  (X)  следуют  соотношения  (XII).  Это  означает,  что  преобразование  (I)  порождает  преобразование  J(II*).

Итак,  справедлива

Теорема  4.  Для  того,  чтобы  инволютивное  преобразование  (I)  порождало  инволютивное  преобразование  J(II*)  необходимо  и  достаточно,  чтобы  выполнялись  условия  (XIII)  и  (XIV).

Теорему  4  можно  геометрически  интерпретировать  следующим  образом:  инволютивное  преобразование    при  выполнении  условий  (XIII),  (XIV)  не  только  переводит  трехсоставное  распределение  H  в  двойственный  ему  образ  ,  но  и  ассоциированное  с  ним  H(М)-распределение  преобразует  в  двойственный  образ  .

 

Список  литературы:

1.Волкова  С.Ю.  О  двойственных  проективных  связностях  H(L,L)-  распределения.  //  Дифференциальная  геометрия  многообразий  фигур.  Калининград,  Калинингр.ун-т,  —  1993.  —  Вып.  24.  —  с.  28—37.

2.Волкова  С.Ю.  Двойственные  аффинные  и  проективные  связности  S-распределения.  /БВМИ.  2001.  —  70  с.  —  Деп  в  ВИНИТИ  РАН.  —  15.08.01.  —  №  1871−В2001.

3.Елисеева  А.В.  H(П)-распределения  проективного  пространства  //  ВИ­НИТИ  РАН.  —  01.02.2002.  —  49  с.  —  №  206-В2002Деп.

4.Попов  Ю.И.  Основы  теории  трехсоставных  распределений  проективного  пространства.  Монография.  Санкт-Петербург.  Из-во  С-Петербургского  ун-та,  1992.  —  172  с.

5. Попов  Ю.И.  Трехсоставные  регулярные  распределения  проективного  пространства.  Калининградский  гос.ун-т.  Калининград.  1982.  —  126  с.  —  Деп  в  ВИНИТИ,  №  6192-82Деп.

6.Столяров  А.В.  Двойственные  нормальные  связности  на  регулярной  неголономной  гиперполосе  //  Изв.  НАНИ  ЧР  (физ.-мат.  Науки).  Чебоксары,  —  1996.  —  №  6  —  С.  9—14.

7.Столяров  А.В.  Двойственная  теория  оснащенных  многообразий:  Монография.  2-е  изд.  \  Чуваш.пед.ин-т.  Чебоксары,  1994.  —  290  с.