ВИХРЕВОЕ  РЕШЕНИЕ  ДВУМЕРНОГО  УРАВНЕНИЯ  СИНУС-ГОРДОН

Хусаинова  Галина  Владимировна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  aldisa@mail.ru

Хусаинов  Дамир  Зиннурович.

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  

THE  VORTEX  SOLUTION  OF  TWO-DIMENSION  SINE-GORDON  EQUATION

Khusainova  Galina

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

Khusainov  Damir

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Рассмотрено  вихревое  решение  (вырожденное  солитонное  решение)  для  двумерного  уравнения  синус-Гордон.  Показано,  что  для  ферромагнетика  с  анизотропией  в  «легкой  плоскости»  XY  данное  решение  описывает  статическое  распределение  намагниченности  с  меньшей  энергией,  чем  в  невырожденном  случае.

ABSTRACT

The  vortex  solution  (degenerate  soliton  solution)  of  two-dimensional  sine-Gordon  equation  was  considered.  It  has  been  shown  that  the  solution  obtained  describes  for  the  ferromagnetic  with  XY  “easy  plane”  anisotropy  static  magnetization  distribution  with  lower  energy  then  in  nondegenerate  case.

Ключевые  слова:  вихрь;  солитон;  ферромагнетик.

Keywords :  vortex;  soliton;  ferromagnetic.

Энергия  ферромагнетика  E  с  любым  неоднородным  распределением  намагниченности  записывается  как  функционал  вектора  :

    (1)

индексы  i,k  принимают  значения:  i,k=1,2,3,  w  —  плотность  электромагнитной  энергии,  явная  запись  которой  зависит  от  рассматриваемой  модели  ферромагнетика  [2,  с.  9].

Рассмотрим  модель  ферромагнетика  с  большой  анизотропией  по  оси  Z:    и    (    —  постоянные  анизотропии).  Тогда  в  основном  состоянии  вектор  намагниченности    лежит  в  “легкой  плоскости”  XY:  .  В  этом  случае  плотность  свободной  энергии  имеет  вид:

    (i=1,2),  (2)

  —  константа  обменного  взаимодействия.

С  учетом  (2)  уравнение  Эйлера-Лагранжа  приводит  к  нелинейному  двумерному  статическому  уравнению  синус-Гордон:

  ,    (3)

где:    —  характерная  магнитная  длина,  связанная  с  обменным  взаимодействием  и  постоянной  анизотропии:  .

Запишем  уравнение  (3)  в  безразмерных  единицах  (за  единицу  длины  выбрана  длина  )  и  сделаем  замену  ,  тогда  получим  двумерное  эллиптическое  уравнение  синус-Гордон:

    (4) 

Простейшее  вихревое  (вырожденное  солитонное)  решение  уравнения  (4)  имеет  вид  [4,  с.  3;  5,  с.  36]:

  ,  (5)

    (6)

    (7)

где:  , 

  —  произвольные  постоянные.  Для  удобства  вычислений  введена  параметризация:  ,  где    —  это  угол,  который  образует  вектор    с  выбранной  полярной  осью  в  плоскости  XY.

Решение  (5)  является  вырожденным  по  параметру  ,  так  как  двум  магнитным  солитонам  (-градусным  доменным  границам)  соответствуют  два  равных  по  модулю  и  параллельных  вектора    [4,  с.  3].  Такое  взаимодействие  доменных  границ  приводит  к  образованию  нового  магнитного  возбуждения  —  магнитного  вихря  в  плоскости  магнетика.  Решения,  описывающие  топологические  дефекты  или  вихри  характеризуются  следующим  условием: 

    ,  (8)

где:    —  произвольный  контур  в  XY  плоскости,  окружающий  некоторую  точку  (x  ₀,y₀)  —  центр  вихря,  и  с  обходом,  заданным  против  часовой  стрелки, 

n  —  любое  целое  число  (топологический  заряд  вихря)  [1,  c.  144].  Решения  для  n>0  называют  вихрями,  а  с  n<0  —  антивихрями.  Статическое  распределение  намагниченности,  соответствующее  вихревой  конфигурации  (9)  приведено  на  Рис.  1.  Оно  показывает  поле  направлений  вектора    в  плоскости  XY.  Видно,  что  поле  имеет  типичную  антивихревую  структуру. 

Оценим  энергию  ферромагнетика  с  таким  распределением  намагниченности.  Пусть  ,  тогда  из  (5)  получаем:

    .  (9)

В  этом  случае  магнитная  энергия  ферромагнетика:

    (10)

(выражения  (10)  записано  в  безразмерных  единицах).  Подставляя  (9)  в  (10)  и  преобразуя  полученное  выражение,  имеем: 

    ,  (11) 

где:    —  энергия  основного  состояния  ферромагнетика. 

Рисунок  1.  Векторное  поле  для    А  —  антивихрь

Выберем  область  интегрирования,  как  показано  на  Рис.2.  Проинтегрируем  по  области  I.

  .

Рисунок  2.  Область  интегрирования  при  вычислении  энергии  E -E₀  по  формуле  (9)

После  интегрирования  по  x,  имеем:

  ,  .

Поскольку  точно  проинтегрировать  по  y  выражения  не  удается,  оценим  поведение  подинтегральных  функций  в  интегралах  I₁  и  I₂  при  больших  R.

В  этом  случае,  получаем:

  =    (12)

Проинтегрируем  по  области  II:

После  интегрирования  по  х  :

При  больших  R:

    .  (13)

Таким  образом,  с  учетом  формул  (12)  и  (13),  находим:

    .  (14)

Результат  оценки  показывает,  что  при  больших  R  энергия  линейно  зависит  от  размера  образца.  Сравним  наш  результат  с  энергией  ферромагнетика,  соответствующего  вихревому  решению  Худака,  Такено  и  Ходенкова  [6,  с.  247;  7,  с.  994;  3,  с.  647].

    .  (15)

Аналогичными  вычислениями  можно  показать,  что  в  невырожденном  случае  энергия  ферромагнетика:

    .  (16)

Отметим,  что  рассмотренный  невырожденный  случай  с  распределением  намагниченности,  задаваемым  формулой  (15)  соответствует  случаю,  когда  доменные  границы  характеризуются  перпендикулярными  векторами    и  .

Из  вышеприведенных  результатов  (14)  и  (16)  следует,  что  в  вырожденном  случае,  когда  вектора    и  ,  характеризующие  доменные  границы,  параллельны,  энергия  ферромагнетика,  хотя  и  большая  (линейная  по  R),  но  меньше,  чем  в  невырожденном  случае.  Таким  образом,  вихревая  конфигурация  (9)  соответствует  меньшему  значению  энергии  по  сравнению  с  вихрем  (15).

Список  литературы:

1.Борисов  А.Б.,  Танкеев  А.П.,  Шагалов  А.Г.  Новые  типы  вихреподобных  состояний  в  магнетиках  //ФТТ,  —  1989  —  Т.  31  —  С.  140—147.

2.Косевич  А.М.,  Иванов  Б.А.,  Ковалев  А.С.  Нелинейные  волны  намагниченности.  Динамические  и  топологические  солитоны.  Киев:  Наук.  Думка,  1983  —  192  с.

3.Ходенков  Г.Е.  Некоторые  точные  многомерные  решения  уравнений  Ландау-Лифшица  в  одноосном  ферромагнетике  //  ФММ,  —  1982  —  Т.  54,  —  №  4  —  С.  644—649.

4.Хусаинова  Г.В.  (Безматерных  Г.В.),  Хусаинов  Д.З.  Вырожденное  солитонное  решение  двумерного  уравнения  синус-Гордон  //Фундаментальные  и  прикладные  исследования  в  современном  мире:  материалы  VII  Междунар.  научно-практической  конф.  СПб.,  —  2014  —  Т.  1  —  С.  32—38.

5.Bezmaternih  G.V.  (Khusainova  G.V.),  Borisov  A.B.  Rational  –  Exponential  Solutions  of  Nonlinear  Equations//  Lett.Math.Physics,  —  1989  —  V.  18  —  P.  1—8.

6.Hudak  O.  On  vortex  configurations  in  two  —  dimensional  Sine  —  Gordon  systems  with  applications  to  the  phase  transitions  of  the  Kosterlits  —  Thoules  type  and  to  Josephson  junctions  //  Phys.Lett.,  —  1982  —  V.  89A,  —  №  5  —  P.  245—248.

7.Takeno  S.  Multi  —  (Resonant  —  Soliton)  —  Solitons  and  Vortex  —  like  Solutions  to  Two  —  and  Three  —  Dimensional  Sine  —  Gordon  Equations  //  Progr.Theor.  Phys.  —  1982  —  V.  68,  —  №  3  —  P.  992—995.