УСТОЙЧИВОСТ Ь  РЕШЕНИЙ  РАЗНОСТНО-ДИНАМИЧЕСКИХ  СИСТЕМ  (РДС)  ПО  ЧАСТИ  ПЕРЕМЕННЫХ

Жунусова  Айгуль  Турысбековна

магистр,  Назарбаев  Интеллектуальная  школа,  Республика  Казахстан,  г.  Талдыкорган

E-mail: 

STABILITY  OF  DIFFERENCE  DYNAMICAL  SYSTEM  (DDS)  FOR  RELATIVELY  PARTICLE  VARIABLE

Zhunus sova  Aigul

master,  Nazarbayev  Intellectual  School,  Republic  of  Kazakhstan,  Taldykorgan

АННОТАЦИЯ

  В  этой  работе  метод  исследования  устойчивости  движения  относительно  части  переменных  для  линейных  систем  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  распространяется  на  системы  разностных  уравнений.  Получены  критерии  устойчивости  и  асимптотической  устойчивости  по  части  переменных. 

ABSTRACT

  In  this  article  the  method  it  is  considered  is  stability  of  difference  dynamical  system  for  relatively  particle  variable  for  linear  systems  of  ordinary  differential  equations  apply  to  the  system  of  difference  equations.  In  has  been  received  criterion  of  stability  and  asymptotic  stability  of  particle  variable.

Ключевые  слова:  разностно-динамические  системы  по  части  переменных;  устойчивость;  асимптотическая  устойчивость.

Keywords:  difference  dynamical  system  for  relatively  particle  variable;  stability;  asymptotic  stability.

Сама  постановка  задачи  об  устойчивости  движения  относительно  части  переменных  принадлежит  А.М.  Ляпунову  [1]. 

При  исследовании  одного  из  критических  случаев  Ляпунов  отметил,  что  «можно  рассматривать  более  общую  задачу:  об  устойчивости  того  же  движения,  но  по  отношению  не  ко  всем,  а  только  к  некоторым  из  величин».  Однако  сам  Ляпунов  данной  задачей  не  занимался.  На  это  замечание  А.М.  Ляпунова  обратил  внимание  И.Г.  Малкин  [2],  указавший  (без  доказательств)  в  примечаниях  к  теоремам  Ляпунова  некоторые  условия  их  переноса  на  случай  устойчивости  по  части  переменных.

С  1901  года  устойчивостью  по  отношению  к  части  переменных  для  дифференциальных  уравнений  начал  заниматься  В.В.  Румянцев  [3],  в  1957  году  он  напечатал  статью  по  аналогу  теорем  второго  метода  Ляпунова  для  устойчивости  по  части  переменных.  Он  со  своими  учениками  разработал  методы  исследования  задачи  по  части  переменных.

В  работе  Озиранера  А.С.,  Румянцева  В.В.  дан  достаточно  полный  обзор  состояния  проблемы,  сложившегося  к  началу  70-х  годов.  За  прошедшее  после  этого  время  количество  работ,  посвященных  задаче  устойчивости  по  части  переменных,  увеличилось  в  несколько  раз;  значительно  расширился  круг  вопросов,  решаемых  в  рамках  данной  проблемы.

Поставленной  В.В.  Румянцевым,  А.С.  Озиранер  [3]  задаче  устойчивости  по  части  переменных  (а  не  по  всем  переменным,  определяющим  состояние  системы)  к  настоящему  времени  посвящено  большое  число  работ.

Разностно  динамические  системы  широко  используются  в  математике,  так  как  они,  с  одной  стороны  могут  являться  естественной  математической  моделью  для  описания  дискретных  процессов  (например,  в  комбинаторике),  а  с  другой  стороны,  они  являются  дискретным  приближением  непрерывных  систем. 

В  этой  работе  метод  исследования  устойчивости  движения  относительно  части  переменных  для  линейных  систем  обыкновенных  дифференциальных  уравнений,  предложенный  в  работе  [4],  распростроняется  на  линейные  разностные  уравнения  с  постоянными  коэффициентами  вида

  ,  ,  (1)

где:    —  мерный  вектор, 

  —  постоянная  -матрица.

Представим  вектор    так:

.

Тогда  РДС  (1)  можно  записать  следующим  образом:

  ,  (2)

в  которой    и  -постоянные  соответственно  -матрицы.

Исследуем  устойчивость  решения    РДС  (1)  относительно  переменных  .  В  дальнейшем  такую  устойчивость  условимся  называть  коротко  —  устойчивостью.  Пусть  —  некоторые  нетривиальные  решения  РДС  (1)  такие,  что  ,  где    —  начальные  данные.

Определение .  Решение    РДС  (1)  называется  —  устойчивым,  если  для  любого  достаточно  малого    и  любого    найдется    такое,  что    при  ,  как  только  .

Аналогично  определяются  другие  виды  —  устойчивости  решения    РДС  (1)  (или,  что  тоже,  решения    РДС  (2)).  РДС  (2)  может  быть  сведено  к  вопросу  об  асимптотической  устойчивости  по  всем  переменным  нулевого  решения  некоторой  специально  выбранной  линейной  автономной  РДС,  размерность  котрой  может  быть  меньше  размерности  исходной  РДС  (2).  Для  этого  введем  новые  переменные

  .  (3)

Считаем,  что  первые    переменных    линейно  независимы.

При  таком  введении  новых  переменных  возможны  два  случая.

Первый  случай-РДС  (2)  приводится  к  виду

  ,  (4)

здесь    —  мерный  вектор,    —  постоянные  соответственно  —  матрицы,  в  качестве    из  переменных  (3)  взяты  только  линейно  независимые.

Второй  случай  —  РДС  (2)  не  приводится  к    виду,  т.е.  имеет  вид

  ,  (5)

,

где:    —  мерный  вектор, 

  —  постоянная  -  мерная  матрица.

В  этом  случае  еще  раз  введем  новые  переменные  ,  и  будем  считать,  что  первые    —  переменные    линейно  независимы.  Тогда  исходная  РДС  (2)  может  быть  сведена  к  виду  (4)  или  (5).  Продолжая  эти  рассуждения,  аналогично  работе  [4]  можно  показать  ,  что  РДС  (2)  всегда  можно  привести  к  -виду,  причем  порядок  полученной  РДС  -вида  не  будет  превосходить  порядок  исходной  РДС  (2),  и  собственные  числа  РДС  -вида  будут  лежать  среди  собственных  чисел  РДС  (2).

Ясно,  что  сведение  исходной  РДС  (2)  к  РДС  -вида  имеет  смысл  только  тогда,  когда  размерность  РДС  -вида  меньше  размерности  исходной  РДС  (2).  С  помощью  аналогичных  [4]  рассуждений  приходим  к  выводу,  что  для  того,  чтобы  размерность  РДС  -вида  была  меньше  размерности  исходной  РДС  (2),  необходимо  и  достаточно,  чтобы  выполнялось  неравенство

,

где:    —  число  введения  новых  переменных, 

  —  матрица  вида 

  —  транспонированные  матрицы  .

В  основу  критерия  асимптотической  у-устойчивости  решения    РДС  (2)  положим  приведение  этой  РДС  к  -виду.  Тогда  поведение  переменных    относительно,  которых  исследуется  устойчивость  решения    РДС  (2),  полностью  определяется  РДС  -вида  для  РДС  (2).

В  силу  приведенных  выше  рассуждений  справедлива  следующая  теорема.

Терема  1 .  Для  асимптотической  у-устойчивости  решения    РДС  (2)  необходимо  и  достаточно,  чтобы  все  собственные  числа  РДС  -  вида  были  по  модулю  меньше  единицы.  Как  следствие  этой  теоремы  получаем  следующее  утверждение.

Теорема  2 .  Предположим,  что  РДС  (2)  имеет    собственных  чисел,  модули  которых  меньше  единицы  (остальные  собственные  числа  могут  быть  по  модулю  больше  или  равны  единице),  тогда  для  асимптотической  у-  устойчивости  решения    РДС  (2)  необходимо  и  достаточно,  чтобы  РДС  имела  вид

  ,  (6)

и  все  корни  уравнения  были  по  модулю  меньше  единицы.

Доказательство .  Необходимость.  Допустим  противное:  что  РДС  (2)  не  имеет  вида  (6).  Тогда  размерность  РДС  -вида  для  РДС  (2)  больше  .  Поскольку  собственные  числа  РДС    принадлежат  множеству  собственных  чисел  РДС  (2)  необходимо  имеет  вид  (6). 

Достаточность  теоремы  очевидна.  Предположим  что  (6)  выполнено.  Тогда  РДС  (2)  может  принять  вид  (4)  или  (5).  С  помошью  введения  новых  переменных  РДС  (2)  всегда  можно  привести  к  -виду.  Тогда  поведение  переменных    относительно,  которых  исследуется  устойчивость  решения    РДС  (2),  полностью  определяется  РДС  -вида  для  РДС  (2).

Список  литературы:

1.Ляпунов  А.М.  Исследование  одного  из  особенных  случаев  задачи  об  устойчивости  движения.  //  Собр.соч.  т.  2.  М.;  Л.:  Изд-во  АН  ССР,  1956.  —  с.  272—331.

2.Малкин  И.Г.  Об  устойчивости  движения  в  смысле  Ляпунова  //Мат.  сб.  —  1949.  —  Т.  3(61)  ,  —  №  1.  —  С.  63—100.

3.Румянцев  В.В.,  Озиранер  А.С.  Устойчивость  и  стабилизация  движения  по  отношению  к  части  переменных.  Москва  «Наука»,  главная  редакция  физико-математической  литературы.  1987.

4.Румянцев  В.В.  Об  устойчивости  движения  по  отношению  к  части  переменных.//  Вестник  МГУ.  Сер.  мат.,  механик.,  физ.,  астрон.,  хим.  —  1957  —  №  4,  —  с.  9—16.