ОШИБКА  ПОРОДИЛА  ЗАДАЧУ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук  Дербентский  филиал  «Московский  государственный  гуманитарный  университет  им.  М.А.  Шолохова»,  РФ,  г.  Дербент

E-mail: 

THE  ERROR  GAVE  RISE  TO  THE  PROBLEM

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogic  Sciences,  Derbent  branch  of  Sholokhov  Moscow  State  University  for  the  Humanities,  Russia,  Derbent

АННОТАЦИЯ

Статья  посвящена  решению  системы  вида 

  в  натуральных  числах.

Предложен  общий  способ  нахождения  натуральных  чисел,  обладающих  этим  интересным  свойством.

ABSTRACT

The  article  is  devoted  to  the  solution  of  simultaneous  equations  of  the 

  type  in  counting  numbers. 

The  general  way  of  finding  counting  numbers  possessing  that  interesting  property  is  offered. 

Ключевые  слова:  закономерность;  система  уравнений.

Keywords:   consistent  pattern;  simultaneous  equations. 

Решение  практических  задач  часто  приводит  к  неопределенным  уравнениям  или  их  систем.  Например,  при  преобразовании  квадрата  в  квадрат  площадью  ,  приходилось  решать  неопределенное  уравнение  второй  степени  решение  которого  дается  в  виде    При  расчетах  алтарей  решались  системы  неопределенных  уравнений  первой  степени,  например,  такое: 

.

В  свое  время  решением  интересных  систем  уравнений  с  несколькими  переменными,  занимались  два  петербургских  академика:  Гольдбах  и  гениальный  Эйлер.  Напоминаем,  что  неопределенными  называются  уравнения  с  двумя  или  несколькими  переменными.  Алгебраические  уравнения  или  системы  уравнений  с  целыми  коэффициентами,  у  которых  отыскиваются  целые  или  рациональные  решения,  называются  алгебраическими.  Значительно  больший  интерес  представляет  решение  в  целых  числах  уравнений  или  систем  уравнений  со  многими  неизвестными.  Задача  отыскания  всех  решений,  даже  простого  на  вид  диофантова  уравнения,  сложная.  Нет  общего  алгоритма  для  выяснения  даже  того,  имеет  ли  диофантово  уравнение  решение  в  целых  числах,  или  нет.  Нахождение  целочисленных  решений  систем  диофантовых  уравнений,  задача  еще  более  сложная.  Поэтому,  выявление  алгоритмов  решения  диофантовых  уравнений  и  систем  уравнений,  является  актуальной  проблемой.  В  данной  статье  мы  рассмотрим  решение  системы  уравнений  с  тремя  переменными.

В  свободное  время  я  люблю  заниматься  раскрытием  интересных  свойств  чисел,  поиском  закономерностей,  комбинируя  соотношениями  и  числами.

Однажды  во  время  такой  работы  я  стал  рассматривать  свои  старые  записи,  где  был  записан  один  из  вариантов  решения  задачи:  найти  три  натуральных  числа,  таких,  что  сумма  их  квадратов  была  бы  квадратом  другого  натурального  числа,  то  есть  решения  уравнения    в  натуральных  числах.

Там  были  записаны  тождества:

  и  т.  д.    [1,  c.  179].

Рассматривая  эти  тождества  я  обнаружил,  что  числа  в  левой  части  равны  сумме  крайних  чисел  в  правой,  то  есть

9=1+8

6=4+2

22=4+18

17=9+8  и  т.  д.

Только  в  равенстве  .  Но  заметил  также,  что  в    сумма  чисел 

25+40+16=81,  то  есть  является  квадратом,  чего  не  наблюдалось  в  других.  Для  равенства    выполняется  интересное  свойство:

Меня  это  заинтересовало.  То  есть  я  решил  поискать  другие  аналогичные  тройки  натуральных  чисел.  Но  сначала  решил  выяснить,  в  чем  исключение  от  общего  правила,  то  есть  почему  для  равенства    не  выполняется  свойство,  присущее  остальным,  и  почему  для  первых  не  выполняется  свойство,  присущее  равенству?  В  поисках  этого,  я  обнаружил,  что  в  равенстве    допущена  ошибка.  Вместо    должно  быть  .  Значит  свойство  (1)  не  выполнялось.  Меня  это  немного  разочаровало.  Все  же  решил  поискать  тройку  натуральных  чисел,  таких,  что  сумма  самих  чисел  и  сумма  их  квадратов  также  были  квадратами,  то  есть  найти  решение  системы  уравнений  .

Ключом  к  решению  явилось  запись  этих  тождеств  в  общем  виде.  Они  имеют  вид:

,  и  –  соседние  числа,    —  точный  квадрат. 

Для    имеем  систему   

Рассмотрим  второе  уравнение  системы.  Имеем    или 

. 

Решим  это  уравнение  как  квадратное  относительно  :

.  Так  как    –натуральное,  то    должно  быть  точным  квадратом. 

1.  Пусть    или  .  Тогда  .

Представим  100  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:  50.  Найдем    и  ,  используя  тождество  .

.  Тогда  то  есть  .  Имеем  .  Подставив  14  и  5  в  систему  (2)  получаем 

=

.

2.    Пусть  .  Имеем  .

Решим  это  уравнение.  . 

Пусть    или  .

Представим  64  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:  52; 

Рассмотрим  оба  случая  и  найдем    и  .

1.  .  Отсюда   

Имеем  .  Получаем  систему

2.  ,  тогда    (не  натуральное).

Таким  образом,  решая  уравнение    при  произвольных  натуральных  значениях  ,  мы  можем  находить  бесконечное  множество  таких  чисел.

Рассмотрим  систему  (2)  при  других  . 

Пусть  .  Тогда  из    получаем  первое  уравнение  системы:  . 

Имеем  систему   

Из  второго  уравнения  системы  имеем:  .

1.  Пусть  .  Имеем  .

. 

Пусть    или  .

Представим  9  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:  9;  (для  решения  не  подходит).

1.  ,    Имеем  . 

Получаем  систему   

2.  Пусть  .  Тогда  имеем  .

,  .

Представим  25  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:  25;  (для  решения  не  подходит,  так  как  ).

,   

Получаем  систему  .

Ясно,  что  в  зависимости  от  значения  ,  можем  находить  бесконечное  множество  решений  данной  системы.

Приведем  несколько  решений  при  .

Имеем  систему   

Возьмем    Тогда  система  принимает  вид  . 

Решая  второе  уравнение  системы,  получаем:  ,    или  .

Представим  36  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности. 

Это:  18.  Тогда  ,   

Получаем  систему    или 

.

Из  приведенных  примеров  видно,  что  второе  уравнение  системы  имеет  вид

.  Отсюда  ,  и 

где    —  точный  квадрат.

Приведем  алгоритм  нахождения  тройки  чисел  обладающим  вышеуказанным  свойством. 

1.  Берем  два  любых  точных  квадрата    и  .

2.  Находим  их  произведение.

3.  Находим    и    (см.  примеры).

4.  Находим  ;  . 

Тогда 

Заключение:  разработан  общий  алгоритм  для  решений  систем  уравнений  вида 

Список  литературы:

1.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы:  Дербент.  Типография  —  №  3,  —  2013.  —  261  с.