ОРИГИНАЛЬНОЕ  РЕШЕНИЕ  ОДНОГО  УРАВНЕНИЯ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук  Дербентский  филиал  «Московский  государственный  гуманитарный  университет  им.  М.А.  Шолохова»,  РФ,  г.  Дербент

E-mail: 

THE  ORIGINAL  SOLUTION  OF  ONE  EQUATION

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogic  Sciences,  Derbent  branch  of  Sholokhov  Moscow  State  University  for  the  Humanities,  Russia,  Derbent

АННОТАЦИЯ

Статья  посвящена  решению  уравнения  вида    в  целых  числах,  где    –  любое  рациональное  число.

Цель  работы:  указать  правило  по  которому  можно  найти  целые  числа    для  любых    и  ,  для  которых  выполняется  равенство  .

В  статье  рассматриваются  два  способа  решения  данного  уравнения.

ABSTRACT

The  article  is  devoted  to  the  equation  solution  of  the    type  in  whole  numbers  where    is  a  rational  number. 

The  aim  of  the  work  is  to  point  out  the  rule  whereby  it  is  possible  to  find  whole  numbers    for  any    and    for  which  the  equation    is  realized.  Two  ways  of  the  solution  of  the  equation  are  considered. 

Ключевые  слова:  уравнение;  целые  числа;  бесконечное  множество  решений.

Keywords:   equation;  whole  numbers;  infinitely  many  solutions. 

В  теории  чисел  рассматриваются  так  называемые  диофантовы  уравнения,  то  есть  уравнения  с  несколькими  переменными,  для  которых  ищутся  целые  числа  или  же  рациональные  решения.  Диофантовы  уравнения  —  алгебраические  уравнения  или  системы  алгебраических  уравнений  с  целыми  коэффициентами,  у  которых  отыскиваются  целые  или  рациональные  корни.  Эти  уравнения  названы  по  имени  Диофанта  (вероятно  III  в.  н.  э.  —  древнегреческий  математик  из  Александрии),  изучавшего  такие  уравнения.  Число  неизвестных  в  диофантовых  уравнениях  превосходит  число  уравнений,  и  поэтому  их  иногда  называют  неопределенными.  Задача  отыскания  всех  решений,  даже  простого  на  вид  диофантового  уравнения,  как  правило,  сложная.  Известно,  что  нет  единообразного  способа  (общего  алгоритма)  для  выяснения  даже  того,  имеет  ли  диофантово  уравнение  решение  в  целых  числах  или  нет.  Поиски  решений  конкретных  диофантовых  уравнений  продолжаются  и  в  наши  дни.  Поэтому,  нахождение  способов  решений  любого  неопределенного  уравнения,  является  актуальной  задачей.

Задачи  по  теории  чисел  и  решение  неопределенных  уравнений  всегда  носит  занимательный  характер.  Не  зная  определенного  правила  или  приема,  трудно  найти  решение  таких  задач.

Мы  рассмотрим  решение  уравнения  вида    в  целых  числах,  где    —  любое  рациональное  число.

Рассмотрим  равенство    [1,  c.  15].  Из  этого  равенства  имеем:  =0. 

Или  , 

Отсюда    или   

Обозначив  ,  получаем  уравнение

,  где  ,  или  же  имеем  уравнение  .  Оно  является  частным  видом  уравнения    при  .

Из  системы    т.е.  .  Вычитая  уравнения  системы,  получаем    т.е.  .  Так  как 

.

Решим  несколько  уравнений  этого  вида.

1.  Решим  уравнение  .

Решение.  Имеем:    тогда    Проверка;  .

2.  Решим  уравнение  .

Решение.  тогда   

Проверка: 

3.  Решим  уравнение  .

Решение.  Имеем:    тогда 

Проверка: 

Ясно,  что  если  ,  то 

Возникает  вопрос:  как  найти  решения  уравнений,  где  ?

Воспользуемся  обобщенным  тождеством  . 

Оно  имеет  вид:    .  Оно  справедливо  для  любого    где  . 

Пусть    Тогда  имеем:    или

Пусть    Тогда  имеем:    или    Из  равенства  имеем:  . 

Далее:. 

Отсюда  следует  равенство  .  Введя  обозначения 

  получаем  или  . 

Тогда  из  системы  .  Вычитая  уравнения  системы,  получаем  .  Теперь  ясен  алгоритм  решения  данных  уравнений,  но  он  действует,  если  . 

Приведем  несколько  примеров.

4.  Решим  уравнение  .

Решение.    тогда    Проверка;  .

5.  Решим  уравнение  .

Решение.    тогда    Проверка;  .

6.  Решим  уравнение  .

  тогда    Проверка;  .

7.  Решим  уравнение  .

  но  тогда 

Поступим  следующим  образом.  Так  как  значение  дроби  при  умножении  числителя  и  знаменателя  на  одно  и  то  же  число  не  изменяется,  то  умножим  числитель  и  знаменатель  нашей  дроби  на  любое  четное  число.  Например,  на  2.

Получаем  уравнение  .

Теперь  имеем:    тогда   

Проверка;  .

Если  умножим  на  4,  то  получим  ,  тогда   

  Проверка;  .

Так  как  ,  то  заменив    на  любое  из  них  мы  получаем  решение  данного  уравнения.  Ясно,  что  числа    будут  решениями  данных  уравнений.  Из  решения  данного  уравнения  видно,  что  любое  уравнение  вида    имеет  бесконечное  множество  решений.  Мы  рассмотрели  случаи,  где  .

Теперь  рассмотрим  случаи,  где  .

8.  Решим  уравнение  .

  Тогда 

  Проверка;  .

Найдем  еще  несколько  решений  данного  уравнения.  Так  как 

Имеем:   

Проверка;   

или  ,  или 

Проверка:    или 

.

9.  Решим  уравнение  .

Решение:  так  как    не  целое,  умножим  числитель  и  знаменатель  на  2  (или  на  другое  четное  число). 

Получаем  уравнение  ,   

Проверка;  .

Уравнение  имеет  бесконечное  множество  решений.

Теперь  рассмотрим  уравнения,  где    или    меньше  0.

Решим  уравнение  .

Решение.  Представим  уравнение  в  следующем  виде: 

а)    и  б)  .

Решим  а).  Имеем:    тогда  .

Проверка:  =81.

Из  уравнения  б),  получаем: 

.

Проверка:  =81.

Решим  уравнение  .

  тогда  .

Проверка:  =4.

Если  представим  5  как  ,  то  имеем  уравнение  . 

Тогда 

Проверка:  =16.

Рассмотрим  еще  один  способ  решения  уравнения  .

Запишем  уравнение  в  следующем  виде:  .  Придадим    значение,  кратное  ,  такое,  что    имело  делители  ,  одинаковой  четности,  и  чтобы  . 

Тогда  используя  тождество  ,  можем  находить  решения  данного  уравнения. 

Покажем  это  на  примере  решения  уравнения  .

Запишем  уравнение  в  следующем  виде:    и  придадим    значение  12.  Имеем    или  .

Представим  120  в  виде  произведения  двух  множителей  одинаковой  четности.  Это: 

Найдем  решения  для  случая  . 

.

Проверка:  .  Или  .

Остальные  случаи  рассмотрите  самостоятельно.

Так  как    подбирается  произвольно,  то  наше  уравнение  будет  иметь  бесконечное  множество  решений.

Таким  же  образом  решаются  уравнения  ,  если  .

Правило  нахождения  решений  уравнений  вида  ,  позволяет  решать  уравнение  вида  в  целых  числах,  где    –  некоторое  целое  число.  В  этих  уравнениях    выступают  в  роли  переменных.

Решим  такое  уравнение:  . 

Из  уравнения    имеем  .  Поэтому  число  36  представим  в  виде  .  Видно,  что    принимает  значения  1,  4,  9,  36. 

Тогда    принимает  значения  36,  9,  4,  1.  Если  ;    или 

. 

Проверка:  .

Если    тогда  .

Проверка:    И  так  далее.

Здесь  мы  не  рассмотрели  случаи,  когда  .  Понятно,  что  данные  уравнения  имеют  столько  решений,  сколько  делителей  вида    имеет  число  .

Заключение:  в  ходе  исследовательской  работы  найдены  два  способа  решения  уравнения  вида    или    в  целых  числах,  что  позволил  выдвинуть  алгоритм  решения  уравнения  ,  где    —  некоторое  целое  число,    выступают  в  роли  переменных.

Список  литературы:

1.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы:  учебное  пособие:  Дербент.  Типография  —  №  3,  —  2013.  —  261  с.