ОБ  ОДНОМ  АНАЛОГЕ  ФОРМУЛЫ  ПЛАНШЕРЕЛЯ  ДЛЯ  ВЕЙВЛЕТ-АФФИННОГО  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Сыздыкова  Айжан  Толегеновна

старший  преподаватель  кафедры  математики  и  информатики

Павлодарского  государственного  университета  им.  С.  Торайгырова,  Республика  Казахстан,  г.  Павлодар

E-mail: 

ON  AN  ANALOGUE  OF  THE  PLANCHEREL’S  FORMULA  FOR  A  WAVELET-AFFINE  TRANSFORMATION

Aizhan  Syzdykova

senior  teacher  of  Mathematics  and  Informatics  Department  S.  Toraighyrov   Pavlodar  State  University,  Republic  of  Kazakhstan,  Pavlodar

АННОТАЦИЯ

Целью  данной  статьи  является  ознакомление  читателей  возможностями  теории  локально  компактных  групп  в  ее  теоретическом  и  практическом  применении.  В  современном  математическом  мире  методы,  используемые  в  гармоническом  анализе,  становятся  все  более  актуальными.  На  основе  теории  квадратично  интегрируемых  представлений  локально-компактных  групп,  были  получены  результаты,  имеющие  связь  с  теорией  непрерывного  вейвлет-преобразования.  В  работе  представлена  теорема  Планшереля  для  вейвлет-аффинного  преобразования,  которую  можно  рассматривать  как  многомерное  непрерывное  вейвлет-преобразование. 

ABSTRACT

The  aim  of  this  article  is  to  show  readers  the  opportunities  of  the  theory  of  locally  compact  groups  in  their  theoretical  and  practical  applications.  In  the  modern  mathematical  world  the  methods  used  in  harmonic  analysis  are  became  more  and  more  actual.  By  the  theory  of  square  integrable  representation  of  locally  compact  groups,  the  results  having  communication  with  continuous  wavelet  transform  were  received.  In  this  work  Plancherel's  theorem  for  the  wavelet-affine  transformation  which  is  considered  as  multidimensional  continuous  wavelet-transform  is  submitted.

Ключевые  слова:  аффинное  преобразование;  непрерывное  вейвлет-преобразование. 

Keywords:  affine  transform;  continuous  wavelet  transform

1.  АФФИННОЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Как  известно  в  вейвлет-преобразовании  в  качестве  входа  используются  функции  ,  а  на  выходе  получаются  функции  ,  где  множество    является  множеством  параметров  сжатия  (растяжения),  множеством  параметров  сдвига.  В  такой  ситуации  для  установления  формулы  Планшереля,  возникает  необходимость  определения  скалярного  произведения  для  функций  .  Определение  скалярного  произведения  напрямую  зависит  от  определения  меры  на  множестве  . 

Рассмотрим  аффинное  преобразование  ,  соответствующее  правилу 

,

где  ,  обратимая  матрица,  т.  е.  .  В  виде  матрицы  перехода  в  однородных  координатах  запишется 

такое  представление  аффинного  преобразования  используется  в  компьютерной  графике.  Представление  матричного  перехода  можно  записать  в  виде  уравнения:

,  (1)

где  .  Левая  часть  уравнения  (1)  представляет  собой  преобразованный  вектор,  правую  же  часть  уравнения  в  теории  групп  еще  называют  действием  группы    на  группе  ,  или  действием  группы  на  элементах  данного  пространства.  Элементы  группы    также  записывают  в  виде 

,  (2)

которые  являются  преобразованиями  с  групповой  операцией  умножения  (в  данном  контексте  понимается  как  композиция  преобразований):

.  (3)

Т.  о.,  можно  рассматривать  преобразования    как  элементы  аффинной  группы    с  операцией  (3),  где  «»  понимается  в  смысле  полупрямого  произведения  групп  [3].  В  группе    единичным  элементом  является  ,  обратным  для  элемента    является  элемент  .

Т.  к.  пространство    является  абелевой  группой  относительно  сложения  векторов,  то  инвариантной  мерой  на  группе    является  Лебегова  мера,  т.  е.  для  любой  интегрируемой  функции  интеграл 

понимается  как  интегрирование  в  смысле  Лебега  и  инвариантность  понимается  как 

  (4)

Тогда  [2]  для    

  (5)

В  случае  интегрирования  в  группе    инвариантной  мерой  (точнее  левоинвариантной  мерой)  является  мера  Хаара,  тогда  для    

,  (6)

где  ,  для  которой  [1]  инвариантность  понимается  как

.  (7)

Теперь  можно  определить  инвариантную  меру  в  группе  .  Для    интегрирование  в  группе  понимается  как  [5] 

  .  (8)

Тогда  скалярное  произведение  запишется  следующим  образом,  для    

.  (9)

2.  НЕПРЕРЫВНОЕ  ВЕЙВЛЕТ  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  В  МНОГОМЕРНОМ  СЛУЧАЕ

Многие  авторы  в  своих  работах  для  описания  непрерывного  вейвлет  преобразования  в  многомерном  случае  используют  теорию  квадратично  интегрируемых  представлений  локально  компактных  групп  [4].

Пусть  ,  и  пусть    представление  группы,  действующей  в  гильбертовом  пространстве  ,  определенное  по  правилу

,

.  Нормирующий  множитель  выбран  так,  чтобы  с  учетом  (4)  и  (5)

т.  е.,

.

Т.  о.,  представление    группы    представляет  собой  сжатие  (растяжение)  и  сдвиги  функций  .  Такое  представление  является  квадратично  интегрируемым  представлением  группы    [5].

Преобразование  Фурье  функций    имеет  вид

где  транспонированная  матрица.

Пусть    фиксирована  и  пусть  ,  вычислим  скалярное  произведение

где  .  Обозначим  .  Рассмотрим  скалярное  произведение  ,  согласно  (9)

Как  мы  видим  из  последней  строки  вычисления,  если  выражение,  стоящее  в  скобках  удовлетворяет  равенству:

,  (10)

то  получаем  аналог  формулы  Планшереля

Выражение    называется  вейвлет-аффинным  преобразованием  функции  .  Условие  (10)  называется  условием  допустимости  или  еще  вейвлет-условием. 

Теорема.  Пусть    удовлетворяет  условию

,

тогда  для  любых    выполняется

Список  литературы:

1.Вейль  А.  Интегрирование  в  топологических  группах  и  его  применения.  М.,  1950.  —  222  с.

2.Никольский  С.М.  Курс  математического  анализа,  Т.  II,  3-е  изд.  М.:  Наука,  1983.  —  448  с.

3.Baker  A.  Matrix  Groups.  An  Introduction  to  Lie  Group  Theory,  I,  London:  Springer,  2002.  —  332  с.

4.Ghandehari  M.,  Syzdykova  A.,  Taylor  K.  A  four  dimensional  continuous  wavelet  transform.  Commutative  and  Noncommutative  Harmonic  Analysis  and  Applications,  Contemporary  Mathematics,  vol.  №  603,  Amer.  Math.  Soc.,  Providence,  RI,  2013,  —  pp.  123—136.

5.Hewitt  E.,  Ross  K.A.  Abstract  harmonic  analysis,  I,  Berlin:  Springer,  1963.