MАТРИЧНОЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ  С  ПРИЛОЖЕНИЯМИ  В  ТЕОРИИ  ПОГРЕШНОСТЕЙ

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеграл-Хаб.»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

MATRIX  DIFFERENTIAL  CALCULUS  WITH  APPLICATION  IN  THEORY  OF  ERRORS

Yuriy  Peshkichev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  performer,  LLC  “Integral-Khab.”,  Russia,  Berdsk

АННОТАЦИЯ

Изучаются  дифференцируемые  матричные  поля  в  многомерном  пространстве.  Матричное  дифференциальное  исчисление  в  этой  статье  основано  на  матричном  анализе  с  использованием  понятий  логарифмического  градиента  и  числа  обусловленности  линейного  оператора.

ABSTRACT

Studied  differentiable  matrix  fields  in  mehrdimensional  space.  Matrix  differential  calculus  in  this  article  is  based  on  matrix  analysis  using  the  concepts  logarithmical  gradient  and  number  conditionality  linear  operator.

Ключевые  слова:  матричное  поле;  логарифмический  градиент;  число  обусловленности  линейного  оператора.

Keywords:  matrix  field;  logarithmical  gradient;  number  conditionality  linear  operator.

1.  Использование  результатов  линейной  алгебры  советского  периода.

В  советской  математической  энциклопедии  в  пяти  томах  нет  статьи,  посвящённой  МДИ.  Переводная  книга  с  таким  названием  [3]  появилась  уже  в  российский  период  отечественной  математики.  Но  отдельные  элементы  МДИ  можно  обнаружить  даже  в  учебной  литературе  советского  периода.  Так,  в  учебном  пособии  Д.В.  Беклемишева  изложена  теория  степенных  рядов  относительно  матрицы  А  [1,  c.  77],  рассмотрено  дифференциальное  исчисление  матричных  функций  скалярного  аргумента  [1,  c.  96]  с  приложением  к  обыкновенным  дифференциальным  уравнениям.  В  учебнике  В.А.  Треногина  рассмотрены  ряды  в  пространстве  линейных  операторов  [5,  c.  120].  В  пособии  [1]  на  языке  конечных  разностей  уже  получены  неравенства,  предельный  переход  в  которых  после  введения  разделённых  разностей  приводит  к  результатам  МДИ.  В  учебнике  [5]  по  функциональному  анализу  подобные  неравенства  приводятся  на  языке  погрешностей  [5,  c.  230].  Но  для  предельного  перехода  предпочтительнее  использовать  ниже  перечисленные  неравенства  из  [1].  Пусть  дана  система  линейных  уравнений  Ах  =  b,  где  А  —  квадратная  матрица  порядка  n  с  определителем  detA  ≠  0.  Рассмотрим  возмущённую  систему  (A  +  ∆A)(x  +  ∆x)  =  b  +  ∆b.  Пусть  condA  =  IIAII·IIA^-1II  —  число  обусловленности  линейного  оператора  матрицы  А  по  некоторой  норме,  δA  =  ∆A/IIAII  —  относительное  возмущение  матрицы  А.  Тогда  [1,  c.  123]  при  условии  IIA^-1II·II∆AII  <  1  будет  |δx|  ≤  (condA/(1  –condAIIδAII)(IIδAII  +  |δb|).  

Это  предложение  относится  к  верхней  оценке  возмущения  решения  системы  линейных  уравнений.

Теперь  рассмотрим  задачу  о  нахождении  собственных  векторов  и  их  собственных  значений.  Пусть  λ  —  некоторое  собственное  значение  линейного  преобразования  матрицы  А  простой  структуры,  s  —  скалярное  произведение  соответствующих  собственного  вектора  и  вектора  биортогонального  базиса.  Тогда  [1,  c.  131]  выполняется  неравенство  |∆λ|  ≤  II∆AII/|s|. 

Вопрос  об  обусловленности  определителя  квадратной  матрицы  рассмотрен  в  монографии  С.К.  Годунова  [2,  c.  147]:

|δdetA|  ≤  n  condAIIδAII/(1  –  n  condAIIδAII).

Проведём  теперь  предельный  переход  в  рассмотренных  неравенствах  с  целью  выхода  на  МДИ.  Рассмотрим  дифференцируемое  в  смысле  монографии  [3,  c.  134]  матричное  поле  А(ξ)  в  евклидовом  пространстве  n  переменных  (ξ₁,  ξ₂,…,ξ_n).  Введём  понятие  градиента  gradА(ξ)  матричного  поля  А(ξ)  как  блочную  матрицу,  образованную  упорядоченными  градиентами  всех  её  строк  [3,  c.  125].  Логарифмический  градиент  определяем  по  следующей  формуле:  l  lngradA(ξ)  =  gradA(ξ)/IIA(ξ)II.   

Аналогично  вводится  понятие  логарифмического  градиента  скалярного  и  векторного  полей.  Тогда  предельный  переход  при  ∆ξ→0  в  соответствующих  разделённых  разностях  приводит  к  следующим  утверждениям:

IIlngrad  xII  ≤  condA(IIlngradAII  +  IIlngrad  bII),

|lngrad  λ|  ≤  IIlngradAII/|s|,

|lngrad  detA|  ≤  n  condAIIlngradAII.

2.  Матричный  аналог  логарифмической  производной.

В  этом  пункте  излагаются  результаты  автора  [4]  по  исследованию  свойств  логарифмического  градиента.  Все  они  являются  естественным  аналогом  следующих  свойств  логарифмической  производной  (ln  y)'  =  y'/y:  1)  значение  логарифмической  производной  сохраняется  при  переходе  к  обратной  функции,  2)  логарифмическая  производная  произведения  двух  функций  равна  сумме  их  логарифмических  производных,  3)  предельная  относительная  погрешность  функции  при  неточном  указании  значения  её  аргумента  равна  абсолютной  величине  произведения  логарифмической  производной  и  приращения  аргумента.

Свойство  1.  Для  невырожденной  матрицы  А  выполняется  тождество

IIlngradAII/IIlngradA^-1II  =  condA.

Свойство  2.  Для  невырожденных  матриц  одного  порядка  выполняется  неравенство

IIlngrad(AB)II  ≤  (IIlngradAII  +  IIlngradBII)condA  condB/cond(AB).

Свойство  3.  Величина  IIlngradA(ξ)II·I∆ξI  служит  предельной  относительной  погрешностью  возмущения  ∆А  матричного  поля  А(ξ),  вызванного  изменением  ∆ξ  аргумента.

Доказательство  этих  свойств  проводится  по  образцу  рассуждений  [1,  c.  122]  и  [2,  c.  144].

3.  Градиентные  неравенства.

Как  известно  [1,c.133],  при  отсутствии  кратных  собственных  значений  у  матрицы  А  будет  1/IsI  ≤  condA.  И  тогда  оценка  модуля  логарифмического  градиента  собственного  значения  принимает  вид 

Ilngrad  λI  ≤  condAIIlngradAII.

Здесь  мы  докажем  ещё  одно  подобное  неравенство  для  скалярной  функции  матрицы  А.

Свойство  4.  Для  скалярного  поля  обусловленности  condA(ξ)  выполняется  неравенство 

|  |  lngrad(condA)|  ≤  (1+1/condA)IIlngradAII.

Доказательство.  Так  как  по  свойству  обычного  градиента  скалярного  поля

grad(condA)  =  (gradIIAII)IIAII  +  (gradIIA^-1II)IIA^-1II,

то  при  делении  на  condA  =  IIAII·IIA^-1II  получаем  самостоятельное  свойство

lngrad(condA)  =  lngradIIAII  +  lngradIIA^-1II.

Теперь  остаётся  использовать  свойство  I(lngradIIAII)I  ≤  IIlngradAII  и  свойство  1.

Если  ещё  вспомнить  неравенство  для  логарифмического  градиента  определителя,  то  мы  получим  уже  три  реализации  градиентного  неравенства  общего  вида

|lngradf(A)|  ≤  g(condA)IIlngradAII,

где:  f  и  g  —  скалярные  функции  своих  аргументов.

Список  литературы:

1. Беклемишев  Д.В.  Дополнительные  главы  линейной  алгебры.  М.:  Наука,  1983.  —  336  с.
2. Годунов  С.К.  Современные  аспекты  линейной  алгебры.  Новосибирск:  Научная  книга,  1997.  —  389  с.
3. Магнус  Я.Р.,  Нейдеккер  Х.  Матричное  дифференциальное  исчисление  с  приложениями  к  статистике  и  эконометрике.  Пер.  с  англ.  /  Под  ред.  С.А.  Айвазяна.  М.:  Физматлит,  2002.  —  496  с.
4. Пешкичев  Ю.А.  Матричный  аналог  логарифмической  производной  //  Образование  и  наука:  Проблемы  и  перспективы  развития.  Всероссийская  научно-практическая  конференция  с  международным  участием.  Махачкала,  2014.  —  С.  208—211.
5. Треногин  В.А.  Функциональный  анализ:  Учебник.  3-е  изд.,  испр.  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2002.  —  488  с.