МЕТОДЫ  ПОНИЖЕНИЯ  ПОРЯДКА  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  УРАВНЕНИЯ

Гридина  Александра  Анатольевна

студент  2  курса  физико-математического  факультета  Стерлитамакского  филиала  Башкирского  государственного  университета,  РФ,  г.  Стерлитамак

E -mail:  MatricA93@mail.ru

Сабитова  Юлия  Камилевна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  математического  анализа  Стерлитамакского  филиала  Башкирского  государственного  университета,  РФ,  г.  Стерлитамак

E-mail: 

METHODS  OF  REDUCING  THE  ORDER  OF  THE  DIFFERENTAIL  EQUATION

Gridina  Alexander

2nd  year  student   of  Physics  and  Mathematics  Faculty  Sterlitamak’s  branch  of  Bashkir  State  University,  Russia,  Sterlitamak

Sabitova  Julia

candidate  of  physical  and  mathematical  Science,  assistant  professor  of  the  mathematical  analysis  of  Sterlitamak  branch  of  the  Bashkir  State  University,  Russia,  Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В  данной  работе  изучены  методы  понижения  порядка  дифференциальных  уравнений.  Приведены  примеры  решения  задачи  Коши  для  дифференциального  уравнения  второго  порядка  путем  сведения  к  решению  двух  задач  Коши  для  дифференциального  уравнения  первого  порядка.  Также  решена  краевая  задача  диффузии-теплопроводности.

ABSTRACT

In  this  paper,  we  study  methods  for  reducing  the  order  differential  equations.  Examples  of  solutions  of  the  Cauchy  problem  for  second  order  differential  equation  by  reducing  it  to  the  solution  of  two  Cauchy  problems  for  first  order  differential  equation.  Also  solved  the  boundary  value  problem-diffusion  thermal  conductivity. 

Ключевые   слова:  дифференциальное  уравнение;  задача  Коши;  метод;  порядок.

Keywords:   differential  equation;  Cauchy  problem;  method;  order.

C  помощью  замены  переменных  удается  свести  изучение  дифференциального  уравнения  к  изучению  дифференциального  уравнения  более  низкого  порядка.  На  примере  дифференциального  уравнения  второго  порядка  в  условиях  теоремы  Коши  изучены  два  основных  метода  понижения  порядка  дифференциального  уравнения.  Задача  Коши  для  дифференциального  уравнения  второго  порядка  будет  сведена  к  решению  двух  задач  Коши  для  дифференциального  уравнения  первого  порядка.

Рассмотрим  сначала  дифференциальное  уравнение  второго  порядка  в  предположении,  что  его  правая  часть  не  зависит  от  :

с  начальными  условиями

Введем  новую  неизвестную  функцию    Тогда    Для  функции    имеем  задачу  Коши  первого  порядка

Пусть    —  решение  этой  задачи.  Возвращаясь  к  переменной  ,  получаем  для  нее  задачу  Коши  также  первого  порядка  ,  ,  решение  которой  выписывается  явно: 

Теперь  рассмотрим  дифференциальное  уравнение  с  правой  частью,  не  зависящей  от  :

и  с  теми  же  начальными  условиями  (2).  Возможны  два  случая.

1)  Пусть  начальное  значение  производной    и  выполняется  равенство  .  Здесь  решение  задачи  Коши  выписывается  явно:  это  постоянная  функция  .

2)  Пусть  теперь  .  По  теореме  о  сохранении  знака  непрерывной  функцией  найдется  окрестность    точки  ,  в  котором  производная  решения  задачи  Коши    имеет  тот  же  знак,  что  и  число  .  Но  тогда  в  этой  окрестности  решение    является  строго  монотонной  функцией.  Значит  существует  единственная  обратная  функция    на  интервале  ),  если  .

Это  обстоятельство  позволяет  считать  здесь    новой  независимой  переменной,  а    новой  неизвестной  функцией.  По  правилу  вычисления  производной  обратной  функции  имеем  . 

Приступим  к  понижению  порядка  дифференциального  уравнения.  Введем  новую  неизвестную  функцию  .  Но  тогда  по  правилу  дифференцирования  сложной  функции  .  Следовательно,    Таким  образом,  нахождение    сводится  к  следующей  задаче  Коши  для  дифференциального  уравнения  первого  порядка  :  .  Поскольку  здесь  выполнены  условия  теоремы  Коши  для  дифференциального  уравнения  первого  порядка  (в  окрестности  точки  ),  то  полученная  задача  Коши  имеет  единственное  локальное  решение  .

Возвращаясь  к  ,  получаем  задачу  Коши  для  дифференциального  уравнения  с  разделяющимися  переменными:  .  Заметим,  что  . 

Остался  неисследованным  случай,  когда  ,  но  .  Применяя  метод  понижение  порядка  чисто  формально,  для  определения    получим  ту  же  задачу  Коши,  но  с  правой  частью,  не  являющейся  непрерывной  функцией  в  точке  .  Здесь  теорема  Коши  неприменима.  Это  может  привести  или  к  отсутствию  решения  задачи  Коши  или  к  его  не  единственности.  Приведем  несколько  примеров.

Пример  1.  Решить  задачу  Коши  .

Решение.   Полагая    и  переходя  к    имеем  задачу  Коши  для  дифференциального  уравнения  с  разделяющимися  переменными  .  Решение  данной  задачи  определяется  по  формуле    Для  нахождения    имеем  задачу  Коши  ,  .  Следовательно,  .  Решение  определено  на  полуоси  ().  Точка    не  является  какой-либо  особенностью  для  дифференциального  уравнения.  В  ней  решение    хотя  и  определено,  но  не  дифференцируемо,  так  как  его  производная  стремится  к  бесконечности  при  .  Здесь  имеет  место  явление  взрыва  для   

Методы  понижения  порядка  полезны  и  для  исследования  краевых  задач. 

Пример  2.  Решить  краевую  задачу 

Решение.   Полагаем    тогда  ).  Для    получаем  дифференциальное  уравнение    Но  тогда  ,  где  постоянная  интегрирования    пока  неизвестна.  Будем  искать  положительное  решение  .  Разделяя  переменные,  получаем    Учитывая  первое  граничное  условие  для    имеем

Постоянную    вычислим  из  второго  граничного  условия  ,  т.  е.  из  равенства    где  Функция    строго  убывает  на  ,  так  как 

Поскольку    расходится,  то    при    и    при  .  Следовательно,  существует  единственное  число  ,  такое,  что    Решение  исходной  краевой  задачи  определяется  из  уравнения  ,  где    и  дается  формулой  .

Пример  3.  Решить  краевую  задачу  на  полуоси,  связанную  с  одной  из  задач  диффузии-теплопроводности: 

Решение.   Методом  понижения  порядка  не  трудно  убедиться,  что  общее  решение  дифференциального  уравнения  дается  формулой 

Используя  граничные  условия  получаем  систему  для  определения    :

Но    Следовательно, 

Таким  образом

Функция    называется  интегралом  ошибок. 

Окончательно  имеем 

Список  литературы:

1.Треногин  В.А.  Обыкновенные  дифференциальные  уравнения.  М.:  ФИЗМАТ  ЛИТ,  2009.  —  312  с.