ОСОБЕННОСТИ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ  СОБСТВЕННЫХ  ЗНАЧЕНИЙ  МАТРИЦЫ  ЯКОБИ  ОДНОЙ  -МЕРНОЙ  СИСТЕМЫ

Рузич  Роман  Васильевич

аспирант  Хмельницкого  национального  университета,  Украина,  г.  Хмельницкий

E-mail: 

FEATURES  OF  DETERMINING  THE  EIGENVALUES  OF  JACOBI  MATRIX  OF  SOME  -DIMENTIONAL  SYSYEM

Roman  Ruzich

post-graduate  student,  Khmelnitsky  National  University,  Ukraine,  Khmelnitsky

АННОТАЦИЯ

Проблема  собственных  значений  является  достаточно  сложной  и  не  полностью  решенной,  особенно  в  случае  параметрической  матрицы.  В  работе  рассматривается  многомерная  модель  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена.  Показан  алгоритм  определения  собственных  значений  матрицы  Якоби  в  некоторых  особых  точках.

ABSTRACT

The  eigenvalue  problem  is  complicated  and  not  fully  resolved,  especially  in  the  case  of  parametric  matrix.  We  consider  the  multidimensional  model  of  open  Eigen’s  hypercycle.  Algorithm  for  determining  the  eigenvalues  of  the  Jacobi  matrix  in  some  stationary  points  is  demonstrated.

Ключевые  слова :  собственное  значение;  матрица  Якоби;  модель  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена.

Keywords :  eigenvalue;  the  Jacobi  matrix;  the  model  of  open  Eigen’s  hypercycle.

Целый  ряд  процессов,  происходящих  в  окружающем  мире,  описываются  системами  нелинейных  дифференциальных  уравнений.  В  основном  решения  таких  систем  трудно  (а  за  частую  и  не  возможно)  найти  в  квадратурах.  Поэтому  для  их  исследования  используются  методы  качественного  анализа.  Как  известно,  исследования  локального  поведения  траекторий  основано  на  рассмотрении  матрицы  Якоби  и  оценки  ее  собственных  значений  в  стационарных  точках.

Если  для  двумерной  системы  это  является  тривиальной  задачей,  то  для  -мерного  случая  раскрытие  соответствующего  определителя  и  решение  уравнения  -ой  степени  является  достаточно  сложной  задачей  [3].  На  данный  момент  разработано  достаточно  много  методов  определения  собственных  значений  матрицы:  как  итерационных  [1,  6—9],  так  и  таких,  которые  заключаются  в  преобразовании  начального  определителя  [1,  4].  Однако  следует  отметить,  что  в  случае,  когда  коэффициенты  исходной  системы  дифференциальных  уравнений  задано  параметрически,  то  существующие  методы  решения  задач  на  собственные  значения  не  слишком  помогают.

В  работе  мы  рассмотрим  модель  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена  [2,  5],  которая  используется  для  описания  сукцессий  в  биогеоценозах:

,  ,  (1)

где  ,  ;  ,  ;  ,  ,  ,  .  Здесь    —  популяционная  переменная,  численность  (концентрация  или  биомасса)  -ой  ассоциации,  ;    —  коэффициент,  определяющий  численность  первой  ассоциации  в  состоянии  равновесия  при  отсутствии  второй;    —  коэффициент,  отражающий  зависимость  -ой  ассоциации  от  -ой,  ;    —  емкость  среды  (размер  экологической  ниши).

В  этой  статье  рассмотрим  особенности  исчисления  и  анализа  собственных  значений  матрицы  Якоби  в  стационарных  точках  модели  (1).

Обозначим  полиномы  в  правой  части  системы  (1)  как  ,  запишем  их  производные  по  переменной    как

,  ,  ,,  ,  (2)

,  ,  ,  (3)

,  ,  ,  (4)

,  ,  (5)

,  ,  .  (6)

Можем  записать  структуру  -ой  ()  строки  матрицы  Якоби  системы  (1):

где  ,    , 

Теорема  1.  Если  координата    особой  точки  равна  нулю,  то  одно  из  собственных  значений  матрицы  Якоби  в  этой  точке  вычисляется  как

  (7)

при  условии,  что    —  первая  координата  или  предшествующая    координата  не  нулевая,  и  как 

  (8)

в  противном  случае.

Доказательство.  Пусть  некоторая  координата    особой  точки  равна  нулю.  Тогда  строку    матрицы  Якоби  можем  записать  как

Определим  характеристическое  уравнение  матрицы  Якоби  в  этой  точке  как  ,  где    —  матрица  Якоби,    —  единичная  матрица,    —  собственные  значения.  Тогда  разложение  определителя  на  алгебраические  дополнения  по  строке    можно  записать  как 

,

где:    —  минор  по  диагональному  элементу,  который  находится  в  строке    определителя.  Таким  образом,  одно  собственное  значение  может  быть  рассчитано  как    или    в  случае  .  Теорема  доказана.

Рассматривая  систему  (1),  можно  заметить,  что  приравняв    к  нулю,  другие    координаты  особой  точки  вычисляются  как  для  -мерной  системы.  Далее  приравняем    к  нулю,  тогда  другие    координаты  вычисляются  как  для  -мерной  системы  и  т.  д.  Рассматривая  процесс  в  обратном  порядке,  можем  утверждать  следующее:  если  ко  всем  особым  точкам  -мерной  модели  добавить  -у  нулевую  координату,  то  в  образованных  точках  будет  равно  нулю  векторное  поле  и  -мерной  системы.  Подобные  точки  равновесия  будем  называть  точками  «потомками».

Запишем  последнюю  строку  матрицы  Якоби  в  подобной  точке  (с  последней  нулевой  координатой)

.

Клетка,  включающая  первые    строки  и    столбца,  соответственно  к  формулам  (2),  (4),  (6)  не  отличается  от  общего  случая,  причем  элементы  главной  диагонали  можно  записать  как

,  ,  .

Элементы  -ой  строки  клетки,  состоящей  из  первых    строк  и    столбцов  полученной  матрицы  Якоби,  определяются  как

,  ;

;

  ;

а  элементы  последнего  столбца  этой  клетки  как

,  .

Таким  образом    клетка  является  матрицей  Якоби  -мерной  модели  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена  в  точке,  образованной  отбрасыванием  последней  координаты  (которая  является  нулем)  особой  точки  -мерной  модели.  Полученный  результат  можем  сформулировать  в  форме  следующей  теоремы.

Теорема  2.    собственные  значение  матрицы  Якоби  в  точка  «потомках»  -мерной  модели  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена  определяются  как  собственные  значения  матрицы  Якоби  в  соответствующих  точках  -мерной  системы,  а  еще  одно  собственное  значение  равно 

.

Следствие  2.1.    собственные  значения  матрицы  Якоби  в  точке  последними    нулевыми  координатами  определяются  с  -мерной  модели,    за  формулой  (8),  а  одно  равно

.  (9)

Рассмотрим  особые  точки  модели  (1)  с  не  более  чем  двумя  ненулевыми  координатами,  при  условии  что,  по  крайней  мере,  после  одной  нулевой  координаты  существует  одна  ненулевая.  Были  определены  следующие  множества  особых  точек

,

,

,

.

Используя  теоремы  1,  2  и  следствие  2.1  легко  показать,  что  в  точках  из  множества    собственные  значения  матрицы  Якоби  вычисляются  как        ;  в  точках  с  множества    –        ();  в  точках  с  множества    –          ;  в  точках  с  множества    –        

Проанализировав  полученные  собственные  значения,  можем  отметить,  что  точки  из  множеств  —  подтверждают  выдвинутую  в  работе  [2]  гипотезу:  если  справа  от  нулевой  координаты  особой  точки  модели  разомкнутого  гиперцикла  Эйгена  существует  ненулевая  координата,  то  такая  точка  неустойчива  при  любых  положительных  значениях  параметров.

Список  литературы:

1.Березин  И.С.,  Жидков  Н.П.  Методы  вычислений.  Том  II.  М.:  Физматгиз,  1962.  —  640  с.

2.Рузич  Р.В.  Стійкість  особливих  точок  трьохвимірного  випадку  однієї  моделі  екологічної  макросистеми  //  Вісник  Одеського  національного  університету.  Математика  і  механіка.  —  2012.  —  Т.  17,  —  вип.  3  (15).  —  С.  45—51.

3.Уилкинс  Дж.Х.  Алгебраическая  проблема  собственных  значений.  М.:  Наука,  1970.  —  564  c.

4.Фаддеев  Д.К.,  Фаддеева  В.Н.  Вычислительные  методы  линейной  алгебры.  3-е  стереот.  изд.  СПб.:  Лань,  2002.  —  736  с.

5.Чернишенко  С.В.  Нелинейные  методы  динамики  лесных  биогеоценозов.  Днепропетровск:  Изд-во  ДНУ,  2005.  —  500  с.

6.Egana  J.C.,  Kuhl  N.M.,  Santos  L.C.  An  inverse  eigenvalue  method  for  frequency  isolation  in  spring-mass  systems  //  Numerical  Linear  Algebra  with  Applications.  —  2002.  —  Vol.  9,  —  Is.  1.  —  P.  65—79.

7.Golub  G.H.,  Wilkinson  J.H.  Ill-conditioned  eigensystems  and  the  computation  of  the  Jordan  canonical  form  //  SIAM  Review.  —  1976.  —  Vol.  18,  —  №  4.  —  P.  578—619.

8.Ipsen  C.F.  Computing  an  eigenvector  with  inverse  iteration  //  SIAM  Review.  —  1997.  —  Vol.  39,  —  №  2.  —  P.  254—291.

9.Paige  C.C.  Computational  variants  of  the  Lanczos  method  for  the  eigenproblem  //  Journal  of  the  Institute  of  Mathematics  and  Its  Applications.  —  1972.  —  №  10.  —  P.  373—381.