Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: XVI Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Россия, г. Новосибирск, 05 марта 2014 г.)

Наука: Математика

Секция: Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Пешкичев Ю.А. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА С ЦЕЛЬЮ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ПОЛИВЕКТОРНОМ АНАЛИЗЕ // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XVI междунар. науч.-практ. конф. № 3(15). – Новосибирск: СибАК, 2014.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

 

РАЗВИТИЕ  ПОНЯТИЯ  ОБУСЛОВЛЕННОСТИ  ЛИНЕЙНОГО  ОПЕРАТОРА  С  ЦЕЛЬЮ  ЕГО  ПРИМЕНЕНИЯ  В  ПОЛИВЕКТОРНОМ  АНАЛИЗЕ

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеллект-Сервис»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

 

DEVELOPMENT  OF  THE  CONCEPT  OF  CAUSALITY  OF  LINEAR  OPERATOR  FOE  THE  PURPOSE  OF  ITS  APPLICATION  IN  POLYVECTOR  ANALYSIS

 Yuriy  Peshkichev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  performer,  LLC  “Intellekt-Servis”,  Russia  Berdsk

 

АННОТАЦИЯ

Развивается  теория  обусловленности  линейного  оператора  с  целью  построения  поливекторного  анализа  на  основе  поливекторной  алгебры.

ABSTRACT

In  the  article  there  is  developed  the  causality  theory  of  linear  operator  for  the  purpose  of  constructing  a  polyvector  analysis  on  the  basis  of  polyvector  algebra. 

 

Ключевые  слова:  обусловленность,  поливектор,  норма  матрицы,  линейное  отображение,  сингулярные  числа.

Keywords:  causality;  polyvector;  norm  of  a  matrix;  linear  mapping;  singular  values.

 

Поливекторная  алгебра  изложена  в  учебнике  [3].  Для  развития  на  её  основе  поливекторного  анализа  потребовалось  привлечение  понятия  обусловленности  линейного  оператора,  разработанного  в  рамках  квазиконформного  анализа  [4].  Такое  же  понятие  возникло  и  в  теории  устойчивости  систем  линейных  алгебраических  уравнений  [1].  В  данной  статье  использованы  оба  подхода  к  понятию  обусловленности.

1.  Обусловленность  в  теории  устойчивости  систем  линейных  алгебраических  уравнений.

Рассмотрим  число  обусловленности  μ(А)  =  ||A||·||A-1||  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  на  основе  спектральной  нормы.  Если  рассмотреть  сингулярные  числа  σ1  ≥  σ2  ≥  …≥  σn,  то  ||A||  =  σ1,  μ(A)  =  σ1n.  Но  в  таком  случае

 

(||A||n/|detA|)1/(n-1)  ≤  μ(A)  ≤  ||A||n/|detA|.

 

Очевидно,  что  при  этом  μ(А)  =  μ(А-1)  ≥  1.  Как  показано  в  учебнике  [1,  c.  124],  μ(АВ)  ≤  μ(А)μ(В).  В  научной  литературе  можно  найти  оценки  обусловленности  суммы  матриц.  Здесь  мы  сделаем  это  для  положительно  определённых  матриц.  Нам  понадобится  неравенство  Минковского  для  определителей

 

det(A+B)1/n  ≥  detA1/n  +  detB1/n.

 

C  его  помощью  получаем

 

μ(A+B)1/n  ≤  (||A||+||B||)/det(A+B)1/n  ≤  μ(А)(n-1)/n  +  μ(B)(n-1)/n.

 

Число  обусловленности  μ(А)  —  коэффициент  искажения  длин  при  линейном  отображении  А:  Rn  →  Rn.  А  именно,  для  n-мерной  вектор-строки  Х  полагаем  Y  =  X·A.  Тогда

 

(|Y|/|X|)n  ≤  σ1n  ≤  μ(A)n-1  σ1σ2···σn  =  μ(A)n-1  |detA|.

 

В  геометрической  теории  функций  полученное  неравенство  позволяет  оценивать  искажение  модуля  градиента  сложной  скалярной  функции  при  переходе  к  криволинейным  координатам.  Интерес  представляет  также  коэффициент  искажения  m-мерных  площадей  при  линейном  отображении  A:  Rn→Rn  (m  =1,  2,  …,n-1)

 

μm(A)  =  σ1σ2···σm/(σnσn-1···σn-(m-1)),

 

для  которого  μm(A)  =  μm(A-1)  =  μn-m(A),  μ1(A)  ≤  μ2(A)  ≤  μm(A)  ≤  μ1(A)m.  Для  простого  m-вектора  Х1ΛX2Λ…ΛXm,  образованного  векторами  в  пространстве  Rn,  с  матрицей  (Х1Х2…Хm)  рассмотрим  матрицу  (Y1Y2…Ym)  =  (X1X2…Xm)A  и  соответствующий  простой  m-вектор  Y1ΛY2Λ…ΛYm.  Тогда

 

|Y1ΛY2Λ…ΛYm|/|X1ΛX2Λ…ΛXm|  ≤  σ1σ2…σm  =

=  (μm(A))m/nσnσn-1…σn-(m-1)  ≤  μm(A)|detA|m/n.

 

В  геометрической  теории  функций  полученное  неравенство  позволяет  оценивать  модуль  многомерного  градиента  сложной  векторной  функции  при  переходе  к  криволинейным  координатам.

2.  Обусловленность  в  квазиконформном  анализе.

Пусть  MIJ  —  минор  матрицы  А,  образованный  её  элементами,  находящимися  на  пересечении  её  строк  и  столбцов  с  номерами,  составляющими  соответственно  мультииндексы  I  =  {i1,i2,…,im},  J  =  {j1,j2,…,jm},  где  1≤i1<i2<…<im≤n,  1≤j1<j2<…<jm≤n.  Полагаем

 

λm(A)  =  (ΣIΣJMIJ2)1/2,  Qm(A)  =  λm(A)/((Cnm)1/2|detA|m/n),

 

где  Cnm  —  число  всех  сочетаний  из  n  элементов  по  m.  Величина  Qm(A)  является  аналогом  числа  обусловленности  матрицы  из  первого  пункта.  Как  установлено  в  [2,  c.  30],  λm(A)  =  λn-m(A-1)|detA|.  Отсюда  следует  свойство  Qm(A)  =  Qn-m(A).  Для  положительно  определённых  квадратных  матриц  А,В  порядка  n  будет 

 

(Q1(A+B))1/n  ≤  (Q1(A))1/n  +(  Q1(B))1/n.

 

Если  при  линейном  отображении  A:  Rn→Rn  взять  Y  =  X·A,  то

 

|Y|/|X|  ≤  λ1(A)  =  n1/2Q1(A)|detA|1/n.

 

Для  линейного  преобразования  поливекторов  выполняется  неравенство

 

|Y1ΛY2Λ...ΛYm|/|X1ΛX2Λ…ΛXm|  ≤  λm(A)  =  (Cnm)1/2|detA|m/n.

 

3.  Связь  между  двумя  видами  обусловленности.

Теорема  1.  Для  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  выполняется  неравенство  1/μm(A)  ≤  Qm(A)  ≤  μm(A).

Доказательство.  Пусть  PI  —  параллелепипед,  построенный  на  векторах-строках  матрицы  А  с  номерами  i1,  i2,…,im,  составляющими  многомерный  индекс  I,  RI  —  параллелепипед,  построенный  на  оставшихся  векторах-строках  матрицы  А.  Символом  Volm(P)  обозначим  m-мерный  объём  параллелепипеда  P.  Тогда

 

JMIJ2)1/2  |detA|  =  Volm(PI)Voln-m(RI).

 

Эта  формула  относится  к  многомерной  геометрии,  рассмотренной  в  книге  [5].  Чтобы  не  отвлекаться  на  её  вывод,  заметим,  что  она  следует  из  результатов  геометрической  теории  меры,  относящихся  к  обобщённой  теореме  Фубини  [6,  c.  278].  Поскольку 

 

σnσn-1…σn-(m-1)  ≤  Volm(PI)  ≤  σ1σ2…σm,

 

то  получаются  неравенства  1/(μm(A))≤  ΣJMIJ≤  (μm(A))2  .  Остаётся  просуммировать  эти  неравенства  по  индексу  I  и  извлечь  затем  квадратный  корень.

Теорема  2.  Для  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  выполняется  неравенство

 

m(A))m/n    ≤    (Cnm)1/2    Qm(A).

 

Доказательство.    Так    как

 

μm(A)    ≤    λm(A)/(σnσn-1…σn-(m-1))    =

λm(A)σ1σ2…σn-m/|detA|,

 

то    нужно    показать,    что    (σ1σ2…σn-m)m    ≤    (λm(A))n-m.    Поскольку    μm(A)    =    μn-m(A),    то    достаточно    рассмотреть    случай    m    ≤    n-m.    Пусть    n-m    =    km+l,    где    k,l    –    натуральные    числа    (допускаются    их    нулевые    значения).  Тогда

 

1σ2…σn-m)m  ≤  (λm(A))kmn-m-l+1…σn-m)m  ≤  (λm(A))km1σ2…σm)l  ≤

≤  (λm(A))km+l  =  (λm(A))n-m.

 

В  квазиконформном  анализе  утверждения,  подобные  теоремам  1  и  2,  используются  при  доказательстве  эквивалентности  различных  определений  квазиконформности. 

 

Список  литературы:

  1. Беклемишев  Д.В.  Дополнительные  главы  линейной  алгебры.  М.:  Наука,  1983.  —  336  с.
  2. Гантмахер  Ф.Р.  Теория  матриц.  М.:  Наука,  1988.  —  552  с.
  3. Ефимов  Н.В.,  Розендорн  Э.Р.  Линейная  алгебра  и  многомерная  геометрия.  М.:  Физматлит,  2005.  —  464  с.
  4. Пешкичев  Ю.А.  Многомерный  градиент  и  квазиконформные  отображения  //  Вопросы  метрической  теории  отображений  и  её  применение.  Киев:  Наукова  думка,  1978.  —  С.  99—109.
  5. Розенфельд  Б.А.  Многомерные  пространства.  М.:  Наука,  1966.  —  648  с.
  6. Федерер  Г.  Геометрическая  теория  меры.  М.:  Наука,  1987.  —  760  с.

 

Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.