РАЗВИТИЕ  ПОНЯТИЯ  ОБУСЛОВЛЕННОСТИ  ЛИНЕЙНОГО  ОПЕРАТОРА  С  ЦЕЛЬЮ  ЕГО  ПРИМЕНЕНИЯ  В  ПОЛИВЕКТОРНОМ  АНАЛИЗЕ

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеллект-Сервис»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

DEVELOPMENT  OF  THE  CONCEPT  OF  CAUSALITY  OF  LINEAR  OPERATOR  FOE  THE  PURPOSE  OF  ITS  APPLICATION  IN  POLYVECTOR  ANALYSIS

 Yuriy  Peshkichev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  performer,  LLC  “Intellekt-Servis”,  Russia  Berdsk

АННОТАЦИЯ

Развивается  теория  обусловленности  линейного  оператора  с  целью  построения  поливекторного  анализа  на  основе  поливекторной  алгебры.

ABSTRACT

In  the  article  there  is  developed  the  causality  theory  of  linear  operator  for  the  purpose  of  constructing  a  polyvector  analysis  on  the  basis  of  polyvector  algebra. 

Ключевые  слова:  обусловленность,  поливектор,  норма  матрицы,  линейное  отображение,  сингулярные  числа.

Keywords:  causality;  polyvector;  norm  of  a  matrix;  linear  mapping;  singular  values.

Поливекторная  алгебра  изложена  в  учебнике  [3].  Для  развития  на  её  основе  поливекторного  анализа  потребовалось  привлечение  понятия  обусловленности  линейного  оператора,  разработанного  в  рамках  квазиконформного  анализа  [4].  Такое  же  понятие  возникло  и  в  теории  устойчивости  систем  линейных  алгебраических  уравнений  [1].  В  данной  статье  использованы  оба  подхода  к  понятию  обусловленности.

1.  Обусловленность  в  теории  устойчивости  систем  линейных  алгебраических  уравнений.

Рассмотрим  число  обусловленности  μ(А)  =  ||A||·||A^-1||  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  на  основе  спектральной  нормы.  Если  рассмотреть  сингулярные  числа  σ₁  ≥  σ₂  ≥  …≥  σ_n,  то  ||A||  =  σ₁,  μ(A)  =  σ₁/σ_n.  Но  в  таком  случае

(||A||ⁿ/|detA|)^1/(n-1)  ≤  μ(A)  ≤  ||A||ⁿ/|detA|.

Очевидно,  что  при  этом  μ(А)  =  μ(А^-1)  ≥  1.  Как  показано  в  учебнике  [1,  c.  124],  μ(АВ)  ≤  μ(А)μ(В).  В  научной  литературе  можно  найти  оценки  обусловленности  суммы  матриц.  Здесь  мы  сделаем  это  для  положительно  определённых  матриц.  Нам  понадобится  неравенство  Минковского  для  определителей

det(A+B)^1/n  ≥  detA^1/n  +  detB^1/n.

C  его  помощью  получаем

μ(A+B)^1/n  ≤  (||A||+||B||)/det(A+B)^1/n  ≤  μ(А)^(n-1)/n  +  μ(B)^(n-1)/n.

Число  обусловленности  μ(А)  —  коэффициент  искажения  длин  при  линейном  отображении  А:  Rⁿ  →  Rⁿ.  А  именно,  для  n-мерной  вектор-строки  Х  полагаем  Y  =  X·A.  Тогда

(|Y|/|X|)ⁿ  ≤  σ₁ⁿ  ≤  μ(A)^n-1  σ₁σ₂···σ_n  =  μ(A)^n-1  |detA|.

В  геометрической  теории  функций  полученное  неравенство  позволяет  оценивать  искажение  модуля  градиента  сложной  скалярной  функции  при  переходе  к  криволинейным  координатам.  Интерес  представляет  также  коэффициент  искажения  m-мерных  площадей  при  линейном  отображении  A:  Rⁿ→Rⁿ  (m  =1,  2,  …,n-1)

μ_m(A)  =  σ₁σ₂···σ_m/(σ_nσ_n-1···σ_n-(m-1)),

для  которого  μ_m(A)  =  μ_m(A^-1)  =  μ_n-m(A),  μ₁(A)  ≤  μ₂(A)  ≤  μ_m(A)  ≤  μ₁(A)^m.  Для  простого  m-вектора  Х₁ΛX₂Λ…ΛX_m,  образованного  векторами  в  пространстве  Rⁿ,  с  матрицей  (Х₁Х₂…Х_m)  рассмотрим  матрицу  (Y₁Y₂…Y_m)  =  (X₁X₂…X_m)A  и  соответствующий  простой  m-вектор  Y₁ΛY₂Λ…ΛY_m.  Тогда

|Y₁ΛY₂Λ…ΛY_m|/|X₁ΛX₂Λ…ΛX_m|  ≤  σ₁σ₂…σ_m  =

=  (μ_m(A))^m/nσ_nσ_n-1…σ_n-(m-1)  ≤  μ_m(A)|detA|^m/n.

В  геометрической  теории  функций  полученное  неравенство  позволяет  оценивать  модуль  многомерного  градиента  сложной  векторной  функции  при  переходе  к  криволинейным  координатам.

2.  Обусловленность  в  квазиконформном  анализе.

Пусть  M_IJ  —  минор  матрицы  А,  образованный  её  элементами,  находящимися  на  пересечении  её  строк  и  столбцов  с  номерами,  составляющими  соответственно  мультииндексы  I  =  {i₁,i₂,…,i_m},  J  =  {j₁,j₂,…,j_m},  где  1≤i₁<i₂<…<i_m≤n,  1≤j₁<j₂<…<j_m≤n.  Полагаем

λ_m(A)  =  (Σ_IΣ_JM_IJ²)^1/2,  Q_m(A)  =  λ_m(A)/((C_n^m)^1/2|detA|^m/n),

где  C_n^m  —  число  всех  сочетаний  из  n  элементов  по  m.  Величина  Q_m(A)  является  аналогом  числа  обусловленности  матрицы  из  первого  пункта.  Как  установлено  в  [2,  c.  30],  λ_m(A)  =  λ_n-m(A^-1)|detA|.  Отсюда  следует  свойство  Q_m(A)  =  Q_n-m(A).  Для  положительно  определённых  квадратных  матриц  А,В  порядка  n  будет 

(Q₁(A+B))^1/n  ≤  (Q₁(A))^1/n  +(  Q₁(B))^1/n.

Если  при  линейном  отображении  A:  Rⁿ→Rⁿ  взять  Y  =  X·A,  то

|Y|/|X|  ≤  λ₁(A)  =  n^1/2Q₁(A)|detA|^1/n.

Для  линейного  преобразования  поливекторов  выполняется  неравенство

|Y₁ΛY₂Λ...ΛY_m|/|X₁ΛX₂Λ…ΛX_m|  ≤  λ_m(A)  =  (C_n^m)^1/2|detA|^m/n.

3.  Связь  между  двумя  видами  обусловленности.

Теорема  1.  Для  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  выполняется  неравенство  1/μ_m(A)  ≤  Q_m(A)  ≤  μ_m(A).

Доказательство.  Пусть  P_I  —  параллелепипед,  построенный  на  векторах-строках  матрицы  А  с  номерами  i₁,  i₂,…,i_m,  составляющими  многомерный  индекс  I,  R_I  —  параллелепипед,  построенный  на  оставшихся  векторах-строках  матрицы  А.  Символом  Vol_m(P)  обозначим  m-мерный  объём  параллелепипеда  P.  Тогда

(Σ_JM_IJ²)^1/2  |detA|  =  Vol_m(P_I)Vol_n-m(R_I).

Эта  формула  относится  к  многомерной  геометрии,  рассмотренной  в  книге  [5].  Чтобы  не  отвлекаться  на  её  вывод,  заметим,  что  она  следует  из  результатов  геометрической  теории  меры,  относящихся  к  обобщённой  теореме  Фубини  [6,  c.  278].  Поскольку 

σ_nσ_n-1…σ_n-(m-1)  ≤  Vol_m(P_I)  ≤  σ₁σ₂…σ_m,

то  получаются  неравенства  1/(μ_m(A))²  ≤  Σ_JM_IJ²  ≤  (μ_m(A))²  .  Остаётся  просуммировать  эти  неравенства  по  индексу  I  и  извлечь  затем  квадратный  корень.

Теорема  2.  Для  невырожденной  квадратной  матрицы  А  порядка  n  выполняется  неравенство

(μ_m(A))^m/n    ≤    (C_n^m)^1/2    Q_m(A).

Доказательство.    Так    как

μ_m(A)    ≤    λ_m(A)/(σ_nσ_n-1…σ_n-(m-1))    =

λ_m(A)σ₁σ₂…σ_n-m/|detA|,

то    нужно    показать,    что    (σ₁σ₂…σ_n-m)^m    ≤    (λ_m(A))^n-m.    Поскольку    μ_m(A)    =    μ_n-m(A),    то    достаточно    рассмотреть    случай    m    ≤    n-m.    Пусть    n-m    =    km+l,    где    k,l    –    натуральные    числа    (допускаются    их    нулевые    значения).  Тогда

(σ₁σ₂…σ_n-m)^m  ≤  (λ_m(A))^km(σ_n-m-l+1…σ_n-m)^m  ≤  (λ_m(A))^km(σ₁σ₂…σ_m)^l  ≤

≤  (λ_m(A))^km+l  =  (λ_m(A))^n-m.

В  квазиконформном  анализе  утверждения,  подобные  теоремам  1  и  2,  используются  при  доказательстве  эквивалентности  различных  определений  квазиконформности. 

Список  литературы:

1. Беклемишев  Д.В.  Дополнительные  главы  линейной  алгебры.  М.:  Наука,  1983.  —  336  с.
2. Гантмахер  Ф.Р.  Теория  матриц.  М.:  Наука,  1988.  —  552  с.
3. Ефимов  Н.В.,  Розендорн  Э.Р.  Линейная  алгебра  и  многомерная  геометрия.  М.:  Физматлит,  2005.  —  464  с.
4. Пешкичев  Ю.А.  Многомерный  градиент  и  квазиконформные  отображения  //  Вопросы  метрической  теории  отображений  и  её  применение.  Киев:  Наукова  думка,  1978.  —  С.  99—109.
5. Розенфельд  Б.А.  Многомерные  пространства.  М.:  Наука,  1966.  —  648  с.
6. Федерер  Г.  Геометрическая  теория  меры.  М.:  Наука,  1987.  —  760  с.