Погранслойные линии для сингулярно и регулярно возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка с аналитическими функциями

BOUNDARY-LAYER LINES OF SOLUTIONS FOR SINGULARLY AND REGULARLY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ANALYTICAL FUNCTIONS

Kushtarbek Tampagarov

candidate of phys.-math. sciences, director of Kochkor-Ata technical college,

Kyrgyzstan, Kochkor-Ata

АННОТАЦИЯ

Ранее, с участием автора было введено понятие погранслойной линии в теории сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями на комплексной плоскости. В данной статье для сингулярно и регулярно возмущенных уравнений доказано существование погранслойных линий.

ABSTRACT

Earlier, the notion of boundary-layer line was introduced in the theory of singularly perturbed linear differential equations with analytical functions on the complex plane. Existence of boundary-layer lines is proven for both singularly and regularly perturbed equations in this paper.

Ключевые слова: аналитическая функция, гармоническая функция, обыкновенное сингулярно возмущенное дифференциальнoe уравнение, асимптотическая оценка, погранcлойная линия, линия уровня.

Keywords: analytical function, harmonic function, ordinary singularly perturbed differential equation, asymptotical estimation, boundary-layer line, contour line

1. Введение

Пусть функция  пространство аналитических функций в  

комплексная плоскость и односвязная область;  малый параметр.

Из [3] заимствуем следующие определения.

Определение 1. Если  ограничена при  то точка  называется регулярной для  в противном случае  нерегулярной (сингулярной).

Определение 2. Точка, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, называется погранслойной точкой.

Определение 3. Любое множество погранслойных точек называется погранслойным множеством.

Определение 4. Погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, называется погранслойной линией.

В [2] на основе метода [1], получены условия для возникновения на плоскости изменения аргумента линии в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем». В статье [3] показано, что такие линии естественно возникают для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, что можно рассматривать, как специфическое свойство таких уравнений. Также предложено называть их более кратко – погранслойными линиями. В [3] получено уравнение погранслойной линии в дифференциалах, для линейного однородного сингулярно возмущенного уравнения. Для общего случая получить такое уравнение не удается.

2. Предварительные результаты

Пусть задано уравнение

,                (1)

и выполняются условия: 0 является внутренней точкой области W ;

)(;

;

Определим функции

t =  ,

Определение 5. Множество (

назовем линией уровня функции  (k=1,2).

Согласно через каждую точку области W проходит единственная линия уровня функции

Линии уровня  взаимно ортогональны в точках пересечения.

Область W полностью заполняется сетью взаимно ортогональных линий уровней функций

Пусть  ={  ,  ={  .

Линии ,  пересекаются в точке 0.

Справедлива следующая

Лемма. Функция  строго монотонна вдоль линии , а функция  – вдоль линии .

Доказательство. Имеем  Если учесть , то  ≠0) ˄ (

Для определенности возьмем

                         (2)

Из уравнения  определяется однозначная, бесконечно дифференцируемая функция  c областью определения  

Эта функция определяет ориентированную кривую ().

Рассмотрим  Имеем  или

(

Отсюда следует строгая монотонность  вдоль (), по заданной ориентации. Для  доказательство проводится аналогично.

Лемма доказана.

3. Основной результат

Теорема (существование локальной погранслойной линии).

Пусть выполнены условия U.1, U.2. Тогда существует некоторая кривая (), проходящая через точку 0 и полностью принадлежащая подобласти и () является погранслойной линией.

Доказательство. Задачу (1) – (2) заменим следующим эквивалентным интегральным уравнением

 (, z ( (3)

В (3) путь интегрирования – произвольный, соединяющий точки 0 и и полностью принадлежащий области W.

Доказательство разделим на несколько этапов.

3.1. Определение подобласти W , такой, что 0 является её внутренней точкой.

3.2. Определение некоторой кривой () , проходящей через точку 0 

3.3. Доказательство существования и ограниченности решения задачи (1) – (2) ((3)) на () ⊂ .

3.4. Доказательство того, что () является погранслойной линией.

Изложим доказательство.

3.1. Определение области

По определению, следовательно в части () справед-ливо неравенство а в другой части – В той части (), где  , возьмём точку  , а в части (), где возьмем точку  .

Через эти точки проходят линии уровня

() = {  (

() = {  ( 

Часть области W, ограниченную кривыми (), (), возьмем за  

3.2. Часть кривой (), содержащейся в , обозначим через (). Кривая () проходит через точку 0.

3.3. Доказательство существования и ограниченности решения уравнения (3) на кривой () в силу его громозкости приводить здесь не будем.

3.4. Доказательство существования погранслойной линии. На линии  возьмем произвольную точку .

Рассмотрим следующую задачу: уравнение (1) с условием

z(                                                         (4)

Теперь нам надо доказать, что в окрестности точки  для решения задачи (1) – (4) существуют как регулярные, так и сингулярные точки.

Задачу (1) – (4) заменим следующим интегральным уравнением

(5)

где: .

Введем в рассмотрение линии уровня

,

.

Заметим, что Re

Согласно лемме, по линии ( функция  строго монотонна. Тогда в одном направлении от точки по линии ( будет а в другом направлении –

Часть области обозначим , а часть, где  обозначим .

Пусть В (5) будем считать, что путь интегрирования идет по линии ( Согласно предположению  Следовательно, из уравнения((определяется однозначная, бесконечно дифференцируемая функция  c областью определения.

Учитывая все сказанное, из (5) имеем

(. (6)

С использованием того, что по выбранному направлению Re F(t) убывает, доказывается существование решения уравнения (6) и справедливость

оценки

Таким образом, все точки области  являются регулярными.

Теперь докажем, что все точки области  - сингулярные. Пусть . Предположим противное, т. е.

Из (6) имеем

 (7)

Теперь, учитывая, что Re F(t) >0, из (7) получим оценку

                                          (8)

Для точек t, далеких от кривойфункция  → +  при . Таким образом, наше предположение неверно.

Это показывает, что в области  существуют сингулярные точки.

Вывод: кривая состоит из точек, в любой окрестности которых существуют регулярные, так и сингулярные точки. С другой стороны,  определяется однозначной функцией с областью определения Это указывает на то, что кривая  является непрерывным локально взаимно-однозначным образом отрезка.

Согласно определения 4  - погранслойная линия. Теорема доказана.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского государственного национального университета. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190–200.

2. Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.

3. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник Ошского государственного университета, 2013. – № 1 (специальный выпуск). – C. 227–231.