КВАЗИНОРМАЛИ СКОМПОНОВАННОГО ГИПЕРПЛОСКОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

QUASI-STANDARDS OF COMPOSED HYPER-FLAT DISTRIBUTION OF THE PROJECTIVE SPACE

Andrey Budylkin

Post-graduate student of Immanuel Kant Baltic Federal University, Kaliningrad

Yuri Popov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Institute of Applied Mathematics and Information Technologies, Immanuel Kant Baltic Federal University, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В данной работе дан алгоритм построения квазинормалей [3] основных структурных подрасслоений скомпонованного гиперплоскостного распределения (SH – распределения [1]) проективного пространства в дифференциальной окрестностях 1-3-го порядков, исходя из задания относительных инвариантов Λ-, L-, H- подрасслоений 1-го ,2-го, 3-го порядка.

Индексы: ;I, J, K,…σ,ρ,τ,…=i, j, k,…;  α,β,γ,….

ABSTRACT

       In the article, an algorithm for constructing quasi-standards [3] of main structural subbundles of composed hyper-flat distribution (SH - distribution [1]) of the projective space in the differential neighborhood of 1-3 orders is given based on the specifying relative invariants Λ-, L-, H- of 1st, 2d, 3d-order subbundles. Indices: ;I, J, K,…σ,ρ,τ,…=i, j, k,…;  α,β,γ,….

Ключевые слова: распределение, подрасслоение, квазинормаль, квазитензор, тензор, относительный инвариант

Keywords: distribution; subbundle; quasi-standard; quasi-tensor; tensor; relative invariant. 

.

1.     Рассмотрим n – мерное проективное пространство P_n,

отнесенное к проективному реперу , уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид:

                                                        .

Дифференциальные формы Пфаффа  удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства [4]

, .                            (1)

Известно [1], что дифференциальные уравнения скомпонованного гиперплоскостного распределения (SH- распределения) в репере нулевого порядка имеют вид

        (2)

                   (а)

  (б)                        (3)

где функции, стоящие в правых частях формул (3), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам K,L. Так как Λ-,L-,H-подрасслоения данного SH – распределения регулярны (т.е. ), то для фундаментальных тензоров ,,, можно ввести в рассмотрение обращенные тензоры ,, первого порядка соответственно Λ-,L-,H- подрасслоений данного SH- распределения:

Замечание. Здесь и в дальнейшем оператор  дифференцирования при фиксации главных форм () обозначается , а формы . Знак  означает сравнение по модулю базисных форм

Кроме того, в данной работе мы используем при построениях объектов поля квазитензоров  [1]:

                 (4)

Прежде всего введем в рассмотрение соответственно квазинормали [2],[3] основных структурных подрасслоений (в дальнейшем Λ-,L-,H- подрасслоений) в дифференциальной окрестности 1-го порядка:

                                     (5)

дифференциальные уравнения которых получены при фиксации главных параметров из уравнений (3),(4).

Функция  есть относительный инвариант 1 – го порядка:

                         (6)

Продолжая (6) и учитывая (1)-(3), получим уравнение

          (7)

Составим величины:

                                                                         (8)

которые согласно (3),(4),(6) удовлетворяют условиям (при фиксации главных параметров):

                                      .

Откуда следует, что величины  образуют квазинормаль 2-го порядка Λ – подрасслоения [2],[3].

Аналогично, в силу уравнений (3),(4),(6) убеждаемся, что функции

                            (9)

образуют квазинормаль 2го порядка L- подрасслоения:

                                      .

2.     Проведем аналогичные построения (см п. 1), исходя из

относительных инвариантов

       (10)

Продолжая уравнения (10) и учитывая при этом (1)-(3), имеем

           (11)

Теперь с помощью уравнений (3),(4),(11) убеждаемся что, в окрестности 2-го порядка:

а) функции  образуют квазинормали Λ – подрасслоения:

           (12)

б) функции  образуют квазинормали L – подрасслоения:

      (13)

в) функции  образуют квазинормаль, H – подрасслоения:

                     (14)

Резюмируя результаты пунктов 1 и 2, приходим к выводу:

Теорема 1. В дифференциальной окрестности 1-го порядка SH – распределение порождает квазинормали  (5)  ассоциированные соответсвенно с Λ-,L-,H- подрасслоениями. Поля относительных инвариантов Λ(5), L(10), H(10) 1-го порядка SH-распределения позволяют построить внутренним инвариантным образом в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля квазинормалей:

а) {}(8), {},{ }(12) – на Λ – распределении,

б) {} (9), {},{ } (13) – на L- распределении,

в) {} – на H – распределении.

3. Построим ряд геометрических объектов в дифференциальной

окрестности 2-го порядка SH – распределения, ассоциированных с Λ- распределением. Продолжая уравнение

полученное  из (3а), в частности, имеем ( при К=к):

 (15)

Составим величины

которые в силу (15),(3),(4) удовлетворяют уравнениям ():

       (16)

Предварительно введем симметрические фундаментальные тензоры  первого порядка Λ – подрасслоения

                      (17)

Теперь последовательно вычисляем, используя формулы (16), (17):

               (18)

        (19)

                 (20)

                (21)

Заметим, что величины {}(18) образуют квазинормаль 2-го порядка Λ – подрасслоения. Для распределений с нулевым тензором  (, например для голономного Λ – подрасслоения) величины {}(19) также образуют квазинормаль 2-го порядка. Симметрический тензор {}(20) является аналогом обобщенного тензора Дарбу [3] ассоциированного с Λ – подрасслоением  SH – распределения.

4.     Аналогично (см. п. 3) проведем построения геометрических

объектов 2-го порядка, ассоциированных с L- подрасслоением данного SH – распределения. Из уравнений (3б) при К = α имеем

                            (22)

Продолжив (22) (при К=γ) , в частности, получим:

       (23)

Введем в рассмотрение величины:

дифференциальные уравнения которых в согласно (23),(3),(4) представим в виде:

(24)

Кроме того построим симметрические фундаментальные тензоры  первого порядка L – подрасслоения

               (25)

С помощью уравнений (24), (25) последовательно вычисляем:

                                  (26)

     (27)

                     (28)

                     (29)

Следует заметить, что величины {} (26) образуют квазинормаль     2-го порядка L – подрасслоения. Если тензор неголономности  [2],[3] (например, для голономного L - подрасслоения), то величины {} (27) также образуют квазинормаль 2-го порядка. Симметрический тензор  (28) является аналогом тензора Дарбу [3] ассоциированным с L – подрасслоением SH – распределения.

5. Из соотношений (2) следуют формулы

где функции  удовлетворяют уравнениям

                               (30)

При К = ρ из уравнений (30) имеем

                                  (31)

продолжив уравнения (30) и зафиксировав главные параметры, получим (при К = )

 (32)

Рассмотрим симметрические фундаментальные тензоры 1-го порядка H – подрасслоения:

                      (33)

.

В силу уравнений (32), (33) последовательно вычисляем

                     (34)

      (35)

             (36)

                 (37)

Здесь величины {} (34) образуют квазинормаль 2-го порядка Н-распределения. Для Н – распределения с симметрическим тензором

(например для голономного Н - распределения) величины {}(35) также определяют квазинормаль. Симметрический тензор (36) является аналогом тензора Дарбу [3], ассоциированного с Н – подрасслоением данного SH- распределения. Таким образом, имеет место

Теорема 2. SH – распределение порождает в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним инвариантным образом соответственно на Λ-, L-, H- порасслоениях три поля квазинормалей {} (18), {}(26), {}(34) и три поля тензоров Дарбу (35),(35), (35), а на голономных Λ-,L-,H- подрасслоениях соответственно поля квазинормалей {}(19),{}(27),{}(35).

6. Построим ряд квазинормалей, порождаемых SH – распределением, в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Найдем дифференциальные уравнения для функций , входящих в уравнение (21):

       (38)

Используя уравнения (38), (3), (4), убеждаемся, что функции

удовлетворяют уравнениям

       (39)

т.е. являются соответственно квазинормалями Λ-, L- подрасслоений 3-го порядка. Кроме того, из уравнений (38) при К = σ получаем

                                (40)

т.е. величины {} образуют квазинормаль 3-го порядка Н – подрасслоения данного SH – распределения. Далее, исходя из относительных инвариантов 2-го порядка (29) и (37), ассоциированных с L-,H- подрасслоениями, вводим квазинормали 3-го порядка

                      (41)

соответственно Λ-, L- подрасслоений и квазинормали {}, {} 3-го порядка Н-подрасслоения:

.      (42)

В результате справедлива

Теорема 3. Поля относительных инвариантов (21) , (29) , (37) 2-го порядка дают возможность внутренним инвариантным образом построить в дифференциальной окрестности 3-го порядка соответственно по три поля квазинормалей на Λ-, L-, H- порасслоениях:

а)  на Λ – подрасслоении;

б) на L – подрасслоении;

в) на H – подрасслоении.

Список литературы:

1. Будылкин А.А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространсва // Естественные и математические науки в современном мире /Сб. ст. по материалам XXVII международной науч.-практ. конф. № 2(26). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2015, -с. 24-33

2. Лаптев Г.Ф. , Остиану Н.М. Распределение m – мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. Тр. геометрического семинара Т.3 – М – ВИНИТИ АН СССР, 1971, - с. 49-94

3. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проетивного пространства: монография // из-во С – Петербургского ун-та, 1992. – 172с.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; ГИТТЛ, 1998, 432с.