ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА

GEOMETRIC METHOD FOR CALCULATING MULTIPLE INTEGRAL

Le Thi Thanh

phD student, Department of mathematical modeling, Tula State University,

Russia, Tula

teacher, Faculty of basic science, Ho Chi Minh Transport University,

Vietnam, Ho Chi Minh

АННОТАЦИЯ

Определение области для задач вычисления кратного интеграла очень важно. Геометрический метод – один из часто используемых методов определения этой области.

ABSTRACT

Determination of the region for problems of calculating multiple integral is very important. Geometric method is one of the methods determining the region usually used.

Ключевые слова: область, кратный интеграл, геометрический метод, график функций.

Keywords: region, multiple integral, geometric method, graph of functions.

В данной работе мы будем исследовать двойные интегралы и тройные интегралы. В зависимости от области задачи мы можем составить новую область с помощью повторного метода или с переменной полярных координат для двойного интеграла и с переменной цилиндрических координат, сферических координат для тройного интеграла. Для использования геометрического метода вычисления кратного интеграла сначала мы рисуем график функций, которые определяют область. Из графика мы можем определить левую, правую, верхнюю, нижнюю границы для использования повторного метода, или определить угол  для использования переменного метода с помощью полярных координат, цилиндрических координат, или определить углы  для использования переменного метода с помощью сферических координат. Действительно, посмотрим на график функций. Мы можем быстро видеть необходимую область для вычисления кратного интеграла. Рассмотрим несколько примеров использования геометрического метода вычисления кратного интеграла.

1)  Вычислить двойной интеграл

Решение: сначала мы рисуем график функций области : . Мы получаем область , как на рисунке 1.

Рисунок 1. Область  примера 1

Из графика функций области  мы получаем:

Следует, что:

2)  Вычислить тройной интеграл

Решение: сначала мы рисуем график функций области : , . Мы получаем область  как на рисунке 2.

Рисунок 2. Область  примера 2

Используем переменный метод с помощью цилиндрических координат. Мы имеем:

где  – проекция области  на плоскость .

Из области следует, что: . Действительно,

Таким образом, область вычисления интеграла имеет вид:

3. Вычислить площадь область: .

Решение: сначала мы рисуем график функций области : . Получаем область , как на рисунке 3.

Рисунок 3. Область  примера 3

Используем переменный метод с помощью полярных координат. Мы имеем:

Смотрим рисунок 3 и видим:

Поставим выражение  в неравенствах , мы получаем: .

Действительно, площадь область :

Список литературы:

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Изд-во Моск. ун-та; ЧеРо, 1997. – 624 с.

2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. – М.: ФАЗИС, 1984. – 640 с.

3. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 224 с.