ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ СТРАТЕГИЙ

NUMERICAL EXPERIMENT OF CALCULATION OF PERFORMANCE INDICATOR OF FINANCIAL STRATEGIES

Mikhail Kryuchkov

senior lecturer of Higher Mathematic Department, National Research University “Higher School of Economics”, Perm branch,

Russia, Perm

АННОТАЦИЯ

В работе представлены результаты численного эксперимента по расчету показателей эффективности финансовых стратегий, которые могут применяться в сериях игр с природой. Под показателем эффективности понимается критерий Байеса (математическое ожидание выигрыша). Численное моделирование выполнялась элементарными средствами Microsoft Excel. Сравнение полученных в ходе эксперимента значений со значениями теоретическими показывает соответствие реальных и модельных данных.

ABSTRACT

In this paper described the results of numerical experiment of performance indicators of financial strategies that can be applied in a series of games with nature. Under performance indictors understood Bayesian criterion (expectation of winning). Numerical simulation was performed by elementary means of Microsoft Excel. A comparison of the values in the course of the experiment with theoretical values shows accordance between real and simulated data.

Ключевые слова: численный эксперимент; финансовые стратегии; критерий Байеса.

Keywords: numerical experiment; financial strategies; Bayes criterion.

Основной целью данной работы является описание численного эксперимента, приведенного в заключительной части статьи [2]. В той же статье рассматривается ситуация принятии решений в условиях риска: игроку известны возможные состояния природы и вероятности, с которыми природа данные состояния реализует. Предлагаются некоторые финансовые стратегии; приводятся расчеты показателей их эффективности по Байесу [1]. Перейдем к математическому описанию игры.

Правила игры таковы: игрок называет некоторое положительное число x (делает ставку), после чего с вероятностью p получает выигрыш размером x единиц и с вероятностью 1-p проигрывает x. Размер ставки игрока ограничен суммой, называемой «банкроллом» - изначально имеющаяся сумма для ставок плюс-минус произошедшие выигрыши-проигрыши. Выигрышем считается разность между величинами банкролла в конечный и начальный момент.

Математическое ожидание прибыли в одной такой игре находится по формуле .

Любая стратегия  подразумевает некоторую ставку, а состояния природы  можно обозначить вектором  соответствующего тому факту, что ставка либо выиграна (1) либо проиграна (0); природа реализует состояние  с вероятностью p, а  с (1-p).

Введем дополнительные обозначения, определим вид платежной матрицы (рис. 1) и запишем функцию выигрыша:

N – количество игр в серии;

 – множество стратегий;

 – выигрыш в n-ой игре: дискретная случайная величина, принимающая значение  с вероятностью p и  с вероятностью (1-p), где – размер ставки в n-ой игре, соответствующей стратегии ;

BR(n) – величина банкролла после n игр: определяется формулой  (для удобства полагаем банкролл в начальный момент времени равный 1).

Рисунок 1. Платежная матрица в серии игр

 – функция выигрыша для стратегии  в серии игр, вычисляется по формуле .

Перейдем к описанию исследуемых стратегий.

1.  Постоянная ставка

Размер ставки x постоянен и не зависит от величины текущего банкролла и исходов предыдущих игр. Определение размера происходит таким образом, чтобы в любой момент игры величина банкролла позволяла сделать такую ставку. Обозначим эту стратегию за  в платежной матрице A(n). С учетом введенных ранее обозначений, размер ставки в n-ой игре для данной стратегии определяется формулой .

2.  Фиксированный процент от банкролла

Размер ставки x составляет от текущего банкролла некоторый процент, независящий от исходов предыдущих игр. Данная стратегия обозначена в платежной матрице A(n) как . С учетом введенных ранее обозначений, размер ставки в n-ой игре для данной стратегии вычисляется по формуле .

3.  Критерий Келли

Для нашей задачи формула Келли дает рекомендацию, что оптимальной будет ставка размером в (2p-1) имеющегося банкролла. В платежной матрице A(n) обозначим эту стратегию за . С учетом введенных ранее обозначений, размер ставки в n-ой игре для данной стратегии определяется формулой .

4.  Метод Мартингейла

Метод Мартингейла – система управления ставками в азартных играх, суть которой заключается в следующем: после каждого проигрыша игрок должен увеличивать ставку так, чтобы в случае выигрыша окупить все прошлые проигрыши в этой серии с небольшим выигрышем. В платежной матрице A(n) данная стратегия имеет обозначение . С учетом введенных ранее обозначений, размер ставки в n-ой игре для данной стратегии находится по формуле , где  отвечает за выигрыш по ставке и определяется выражением .

5.  «k-агрессивная» стратегия

«k-агрессивная» стратегия является некоторым расширением метода Мартингейла – в случае выигрыша окупить не только прошлые проигрыши, но и получить доход в размере произведения количества игр на изначальную сумму ставки. Соответствующая «3-агрессивная» стратегии строка платежной матрицы A(n) обозначена за . С учетом введенных обозначений, размер ставки в n-ой игре для «k-агрессивной» стратеги находится по формуле , где  отвечает за выигрыш по ставке и определяется выражением .

6.  Стратегия “All-in”

Стратегия “All-in” или «Ва-Банк» подразумевает в каждой игре максимально возможную ставку (т. е. ставку размером в текущий банкролл). Соответствующую данной стратегии строку платежной матрицы A(n) обозначим за . С учетом введенных обозначений, размер ставки в -ой игре для стратегии “All-in” находится по формуле .

Рассмотрим описанные выше стратегии при различных значениях p для n последовательных игр. Состояния, которые последовательно реализует природа, описываются булевым n-компонентным вектором ; вероятность его возникновения рассчитывается по формуле , где m – количество состояний .

Рассчитаем показатели эффективности [3] стратегий . Согласно критерию Байеса каждая стратегия оценивается математическим ожиданием выигрыша игрока при применении данной стратегии. Вектор ожидаемого выигрыша для рассматриваемых стратегий имеет компоненты, вычисляемые по формулам , где  - вектор k-ой уникальной реализации последовательных состояний природы из всевозможных ;  – размер ставки, соответствующей стратегии .

Приведем результаты расчета показателей эффективности рассматриваемых стратегий, для 3 последовательных игр (табл. 1).

Таблица 1.

Показатели эффективности стратегий в серии из 3-х игр

Для исследования эффективности предложенных стратегий при больших количествах игр предлагается следующий численный эксперимент. Генерируется последовательность из N=60 псевдослучайных значений – 0 и 1, причем 1 соответствует тому, что псевдослучайное равномерно распределенное на отрезке [0;1) число меньше заданного . Общее количество игр разбивается на серии по 3 игры. Проводится игра (1 соответствует выигрышу, 0 – проигрышу) с применением описанных стратегий. Для стратегий  из множества находится значение  как средний выигрыш в серии. Генерируются вектора состояний природы при значениях  и .

Для рассматриваемых стратегий вычислялась разность между эмпирическим значением  и теоретическим значением  и ее отклонение в % от ожидаемого значения. Численная реализация данного эксперимента была выполнена элементарными средствами Microsoft Excel (рис. 2).

Рисунок 2. Модельные значения из 5-и серий по 3 игры в каждой

В соответствующих ячейках столбца D содержатся компоненты псевдослучайного вектора состояний природы. Далее столбцы содержат значения прибыли, получаемой в результате каждой игры серии в соответствии со стратегиями , , , , , , описанными выше. Реализация вычисления прибыли в серии из 3-х игр с помощью стандартных функций Microsoft Excel представлена на рисунках (рис. 3–4).

Рисунок 3. Формулы нахождения прибыли для стратегий , , ,

Рисунок 4. Формулы нахождения прибыли для стратегий ,

Для вычисления результатов моделирования применения стратегий (рис. 5) использованы формулы (рис. 6); теоретические значения  получены путем подстановки указанных значений  и  в соответствующие формулы, представленные ранее (табл. 1).

Рисунок 5. Модельные и теоретические значения прибыли

Рисунок 6. Формулы нахождения модельных значений прибыли

Приведем основные результаты моделирования (табл. 2).

Таблица 2.

Разбивка по 3 игры (20 серий)

Чтобы не исключать случайного фактора, данный эксперимент проводился всего один раз. Наибольшие отклонения от ожидаемой прибыли наблюдались у стратегий с большой дисперсией; в некоторых случаях оценка прибыли была существенно ниже ожидаемой величины.

Проведенный эксперимент подтверждает справедливость утверждения о том, что игрок, выбирая стратегию, должен руководствоваться не только принципом максимизации ожидаемой прибыли, но и учитывать возможные риски (отклонения от нее), осознавая, что стратегии с большим математическим ожиданием прибыли также имеют и большую дисперсию.

Список литературы:

1. Жуковский В.И., Солдатова Н.Г. Гарантированные риски и исходы в игре с природой // Проблемы управления. – 2014. – № 1. – С. 14–26.

2. Крючков М.В., Русаков С.В. Расчет показателей эффективности некоторых стратегий в азартной игре // Математическая Теория Игр и её Приложения. – 2015. – Т. 7, № 2. – С. 33–48.

3. Лабскер Л.Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой // Вестник финансового университета. – 2000. – № 2. – С. 71–78.