О ВЛОЖЕНИИ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП В Ω-РАССЛОЕННЫЕ И ω-ВЕЕРНЫЕ ФОРМАЦИИ

ON THE EMBEDDING OF CLASSES OF FINITE GROUPS IN Ω-FOLIATED AND ω-FIBERED FORMATIONS

Marina Sorokina

candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor,

Bryansk State I.G. Petrovski University,

Russia, Bryansk

Galina Korochkina

undergraduate of Mathematics Direction of Faculty of Physics and Mathematics,

Bryansk State I.G. Petrovski University,

Russia, Bryansk

Alla Kochergina

undergraduate of Mathematics Direction of Faculty of Physics and Mathematics,

Bryansk State I.G. Petrovski University,

Russia, Bryansk

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена исследованию свойств Ω-расслоенных и ω-веерных формаций конечных групп. Целью данной статьи является изучение вопроса вложения произвольных классов групп в Ω-расслоенные и ω-веерные формации. При исследовании используются методы доказательств теории классов групп. В статье для произвольного непустого неединичного гомоморфа  построены Ω-расслоенная и ω-веерная формации, содержащие . Таким образом, установлено, что любую формацию можно изучать средствами теории Ω-расслоенных (ω-веерных) формаций.

ABSTRACT

The article is devoted to study of the properties of Ω-foliated and ω-fibered formations of finite groups. The purpose of this article is to study the embedding of arbitrary classes of groups in Ω-foliated and ω-fibered formations. The study uses the methods of the proof of the theory of classes of groups. In the article for an arbitrary non-empty non-trivial homomorph  constructed Ω-foliated and ω-fibered formations containing . Thus, it is found that any formation can be studied by means of the theory of Ω-foliated (ω-fibered) formations.

Ключевые слова: конечная группа; класс групп; формация групп; Ω-расслоенная формация; ω-веерная формация.

Keywords: a finite group; a class of groups; a formation of groups; an Ω-foliated formation; an ω-fibered formation.

Теория классов групп как самостоятельное направление в рамках теории групп начала свое развитие в 30-е годы 20-го века. Классом групп называется всякое множество групп, которое содержит вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные. Одним из наиболее важных видов классов групп являются формации, введенные в рассмотрение Гашюцом в 1963 году [15], представляющее собой классы групп, замкнутые относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Основные положения и центральные результаты теории формаций конечных групп представлены в монографиях Л.А. Шеметкова [12], А.Н. Скибы [8], Дерка и Хоукса [14] и др.

В теории формаций конечных групп центральное место занимают локальные и композиционные формации, а также их обобщения – ω-локальные и Ω-композиционные формации. Многочисленные результаты в направлении их исследования получены Л.А. Шеметовым, А.Н. Скибой, В.А. Ведерниковым, С.Ф. Каморниковым, А.Ф. Васильевым, В.Н. Семенчуком и др. (см. например [1; 2; 6–11; 13]. В 1999 году В.А. Ведерников ввел в рассмотрение Ω-расслоенные и ω-веерные формации конечных групп, представляющие две серии новых видов формаций (см. например [3–5]). В частности, одним из видов Ω-расслоенных формаций являются Ω-композиционные формации, а одним из видов ω-веерных формаций − ω-локальные формации.

Исследованию свойств Ω-расслоенных и ω-веерных формаций конечных групп посвящена данная работа. Установлено, что всякий непустой неединичный гомоморф (т. е. класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов) содержится в некоторой Ω-расслоенной формации, а также в некоторой ω-веерной формации, в частности, любая формация является подформацией некоторой Ω-расслоенной (ω-веерной) формации. Таким образом, установлено, что любую формацию можно изучать средствами теории Ω-расслоенных (ω-веерных) формаций.

Рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в [3–5]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть  – класс всех групп;  – класс всех абелевых групп;  - класс всех простых групп;  - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы ;  - объединение классов  для всех ; Ω - непустой подкласс класса ;  - класс всех Ω-групп, т.е. таких групп , что .

Функция {формации групп}, где , называется ΩF-функцией; функция {непустые формации Фиттинга} называется FR-функцией. Функции  и  принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [4, с. 126]. Формация называется Ω-расслоенной формацией с Ω-спутником  и направлением  [4, с. 127]. Отметим, что  есть Ω-композиционная формация, где  для любой группы ,  - класс всех групп, у которых каждый главный A-фактор централен [4, с. 128].

Пусть ℙ - множество всех простых чисел;  - совокупность всех простых делителей порядка группы ;  - объединение множеств  для всех ; ω - непустое подмножество множества ℙ;  - класс всех ω-групп, т.е. таких групп , что .

Функция {формации групп}, где , называется ωF-функцией; функция  ℙ →{непустые формации Фиттинга} называется ℙF-функцией. Формация  называется ω-веерной формацией с ω-спутником  и направлением  [5, с. 45]. Отметим, что  есть ω-локальная формация, где  для любого ℙ,  и  – соответственно класс всех -групп и класс всех -групп.

В следующей теореме для непустого неединичного гомоморфа  установим существование такой Ω-расслоенной формации, которая содержит .

Теорема 1. Пусть  - непустой неединичный гомоморф, Ω - непустой подкласс класса ,  - FR-функция,  для любого . Тогда  содержится в Ω-расслоенной формации , где  – такая Ω-функция, что для любого  справедливо равенство , а для любого  выполняется , если , и , если .

Доказательство. Покажем, что . Пусть . Так как класс  является гомоморфом, то  Пусть . Покажем, что  Если  – неабелева группа, то  и поэтому

Пусть . Так как , то . Рассмотрим случай, когда . В этом случае согласно условию  Так как , то . Отсюда следует, что .

Пусть теперь . Это, согласно заданию , означает, что для любой группы  справедливо  и, в частности, . Следовательно, .

Таким образом,  для любого  и . Тогда по определению Ω-расслоенной формации справедливо . Тем самым установлено, что . Теорема доказана.

Поскольку всякая формация по определению является гомоморфом, то из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть Ω - непустой подкласс класса ,  − FR-функция. Тогда всякая формация  является подформацией некоторой Ω-расслоенной формации с направлением .

Пусть  и  - направления соответственно ω-веерной и Ω-расслоенной формаций. Направления  и  называются коллинеарными, если  для любого ℙ [3, с. 42]. Направление  ω-веерной формации называется -направлением, если  для любого ℙ [5, с. 48].

Теорема 2. Пусть  - непустой неединичный гомоморф,  − p-направление ω-веерной формации, для любого . Тогда  содержится в ω-веерной формации , где  – такая -функция, что   и для любого  выполняется , если , и , если .

Доказательство. Покажем, что . Пусть ,  – n-направление Ω-расслоенной формации, коллинеарное направлению ,  – Ω-расслоенная формация с Ω-спутником , согласованным с , т. е.  и  для любого . Тогда по теореме 4 [3, с. 42] формация  совпадает с формацией , т.е. справедливо равенство .

Пусть  для любого , , где  – такая – функция, что  и для любого  справедливо , если , и , если . Тогда по теореме 1 справедливо включение .

Покажем, что . Так как , , то достаточно установить, что . Действительно, . Поскольку Ω-спутник  согласован с ω-спутником , то . Таким образом, .

Пусть . Проверим, что . В силу выбора класса  получаем, что  для некоторого . Если , то. Пусть . Тогда ввиду  справедливо . Имеем , . Покажем, что . В самом деле, пусть . Тогда . Это означает, что . Следовательно,  и . Поэтому  и .

Таким образом,  для любого  и . Тогда , и значит, .

Поскольку ,  и , то . Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть ω - непустое подмножество множества ℙ,  ℙF-функция. Тогда всякая формация  является подформацией некоторой ω-веерной формации с направлением .

Список литературы:

1. Васильев А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации // Вопросы алгебры. - Мн., 1990. - Вып. 5. – С. 39–45.
2. Ведерников В.А. О локальных формациях конечных групп // Математические заметки. - 1989. - Т. 46. № 3. - С. 32-37.
3. Ведерников В.А. О новых типах ω-веерных формаций конечных групп // Украiнський математичный конгресс - 2001. Секцiя 1. Працi. Киiв. - 2002. - С. 36-45.
4. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Ω-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. - 2001. - Т. 13. Вып. 3. - С. 125-144.
5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. ω-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки. - 2002. - Т. 71. № 1. - С. 43-60.
6. Каморников С.Ф. О некоторых свойствах тотально локальных формаций // Математические заметки. - 1996. - Т. 60. № 1. - С. 24-29.
7. Семенчук В.Н. О тотально локальных формациях // Вопросы алгебры. - Мн., 1993. - Вып. 6. – С. 24–30.
8. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. - 240 с.
9. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно ω-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические труды. - 1999. - Т. 2. № 2. - C. 114-147.
10. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Частично композиционные формации конечных групп // Доклады НАН Беларуси. - 1999. - Т. 43. № 4. - C. 5-8.
11. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно ℒ-композиционные формации конечных групп // Украинский математический журнал. - 2000. - Т. 52. № 6. - C. 783-797.
12. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 с.
13. Шеметков Л.А. Локальные задания формаций конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика. - 2010. - Т. 16. № 8. – С. 229–244.
14. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin - New Jork, 1992. - 891 p.
15. Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen. - Math. Z., 1963. Vol. 80. № 4. - S. 300–305.