СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ НАРУШЕНИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ И УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

SINGULARLY P ERTURBED EQUATION IN VIOLATION OF UNIQUENESS OF THE SOLUTIONS OF THE DEGENERATE EQUATION AND STABILITY CONDITION

Aitbu Murzabaeva

senior lecturer of Osh Technological University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматриваются сингулярно возмущенные уравнения, когда вырожденные уравнения имеют несколько решений и при нарушении условия устойчивости точек покоя, присоединенных уравнений.

ABSTRACT

In this paper we consider the singularly perturbed equation when the degenerate equation has multiple solutions, and in violation of the conditions of stability of equilibrium points affiliate equations.

Ключевые слова: сингулярное возмущение, обыкновенное дифференциальное уравнение, присоединенная система, пограничный слой.

Keywords: singular perturbed, ordinary differential equation, affiliate system, the boundary layer.

Центральной задачей в теории сингулярно возмущенных уравнений является выявление множеств притяжения к решениям этих уравнений. Такими множествами могут быть решения таких уравнений, которые являются вырожденными по отношению к исходным уравнениям.

Эта задача для систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием формулируется следующим образом.

Пусть дана система

,                                              (1)

где: – малый параметр;  – неизвестная вектор-функция; – данная гладкая вектор функция; ; с начальным условием

                                                              (2)

Вырожденное уравнение, соответствующее системе (1),

                                                         (3)

для  имеет единственный непрерывный корень .

Задача. При каких условий на функцию  для всех

 выполняется предельное соотношение ?

Поставленная задача решена в работе с применением понятия присоединенной системы [1]. При решении задачи одним из условий является устойчивость точки покоя присоединенной системы:

,                                                  (4)

где: ;  – параметр;

называется присоединенной системой, соответствующей (1).

 является точкой покоя (4).

Отметим, что условие устойчивости точки покоя является достаточным при решении задачи.

Например: Пусть дано уравнение

.

Присоединенное уравнение имеет вид

.

Для значения  точка покоя устойчива, а для значения неустойчива. Решение данного уравнения, удовлетворяющее условию , ,

определяется в следующем виде

.

Для значений будет выполняться предельное соотношение

.

Интервал  содержит интервал ,где точка покоя неустойчива.

Сингулярно возмущенная система второго порядка при нарушении условия устойчивости точки покоя исследована в работе [6]. В работах [1; 3; 4] обобщены результаты работ [6], при этом в перечисленных работах вырожденные уравнения, соответствующие сингулярно возмущенным уравнениям, имеют единственные решения.

В данной работе рассматриваются сингулярно возмущенные уравнения, когда вырожденные уравнения имеют несколько решений и при нарушении условия устойчивости точки покоя присоединенного уравнения.

1. Пусть задано уравнение

                   (5)

где: ,  и ,

а функция  удовлетворяет следующим условиям

U.  ; ; ;

с начальным условием

, ,                              (6)

Вырожденное уравнение, соответствующее (5), имеет решения

, .

Присоединенное уравнение для (5) имеет вид

                             (7)

,  являются точками покоя для (7).

Найдем интервалы устойчивости точек покоя. В (7) произведем замену

 новая неизвестная функция.

Получим уравнение

Отсюда следует: интервал  является интервалом устойчивости для точки покоя .

Введя функцию , получим уравнение

Таким образом, интервал  будет интервалом устойчивости для точки покоя .

Задача. Для решения  задачи (5) – (6) найти значения предела  при .

Решение задачи (5) – (6) можно представить в виде

,                                               (8)

где: , .

Асимптотическое поведение функции (8) при зависит от функции . Исследуем функцию .

Согласно уcловию, U для  и для . Следовательно, функция убывает при  , возрастает для  . По определению  и на интервале  является возрастающей. Отсюда следует, что функция в точке может иметь следующие значения:

Рассмотрим каждую возможность отдельно.

Пусть . При выполнении этого условия для  выполняется предельное соотношение .

Тогда для  имеем .

Несмотря на нарушение условия устойчивости точки покоя  на интервале , решение задачи (5)-(6) не отходит от точки покоя, а будет находиться вблизи него.

. В этом случае на интервале  выполняется предельное соотношение

. В рассматриваемом случае существует единственная точка  и . Для выполняется неравенство .

Для  будет .

Пусть , тогда. Поэтому при  выполняется .

Если , то  и выполняется условие

.

Рассмотрим функцию (8) на интервале .

Учитывая

,

имеем .

Функцию (8) представим в следующем виде

.

Так как , то .

По результатам исследований можно сделать вывод: несмотря на нарушение устойчивости точки покоя  на интервале решение задачи (5) – (6) не покидает . При  решение удовлетворяет условию , а на интервале решение будет достаточно близко к точке покоя .

Теперь рассмотрим следующие случаи

1.2 Пусть , .

Для начала достаточно рассмотреть промежуток .

Если: , то , (– интервал устойчивости );

при   (– интервал устойчивости );

для  ,( – интервал устойчивости ).

Имеем

;

Таким образом, из (8) следуют следующие соотношения:

1.2.1  ,

1.2.2   .

В результате

на промежутке  ;

на промежутке  ,

1.3  

 интервал устойчивости , а является интервалом устойчивости .

Определим , имеем

Отсюда следует, что для  , а знаки равенства выполняются в точках .

Из формулы (8) для  следует предельное соотношение .

В точках значения функции  равно .

В рассматриваемом случае значения функции при колеблется вблизи точки покоя .

На основании рассмотренных случаев , ,1.2,1.3 можно сделать вывод.

В случае  пограничный слой [2] появляется (дважды) в точках ; в тоже повторяется дважды; в случае 1.2 пограничный слой появляется бесконечное число раз; в 1.3 повторяется четыре раза.

Следовательно, существуют сингулярно возмущенные уравнения, для которых могут существовать повторяющиеся пограничные слои.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190–200.
2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. – М.: Издательство МГУ, 1978. – 106 с.
3. Каримов С.К. Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений»: дисс. … д-ра физ.-мат.наук: 01.01.02 / С.К. Каримов. – Ош, 1983. – 260 с.
4. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях // Успехи мат. наук. 1986. – Т. 41. – Вып. 4. – С. 295–299.
5. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных: мат. сб. – 1952. – Т. 31 (73), № 3. – C. 575–586.
6. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных: докл. АН СССР. – 1973. –Т. 209, № 3. – С. 576–579.