СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ, ОПИСЫВАЮЩИХ ОТТАЛКИВАНИЕ ЧАСТИЦ НА ОКРУЖНОСТИ

SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS RICHT HAND PARTS DESCRIBING REPELLING OF PARTICLES ON CIRCLE

Sabina Tagaeva

сand. of phys.-math. sciences, docent of Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются математические модели набора заряженных частиц, раcположенных на окружности и отталкивающихся по закону Кулона. Их движение описывается системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, для отдельных случаев доказано существование решений на всем интервале определения аргумента.

ABSTRACT

Considered mathematical models for sets of particles with different electrical charges located on a circle and repelling by Coulomb law. Their motion is described by systems of ordinary differential equations with discontinuous right hand parts. For some cases, existence of solutions is proven on the whole interval of the domain.

Ключевые слова: частица; заряд; отталкивание; закон Кулона; обыкновенное дифференциальное уравнение; окружность.

Keywords: particle; charge; repelling; Coulomb law; ordinary differential equation; circle.

Введение

В статье рассматриваются одноименные различные электрические точечные заряды с одинаковой массой, движущиеся на окружности K, отталкивающиеся по закону Кулона: сила отталкивания равна где E₁, E₂ – величины зарядов, x₁, x₂ – координаты зарядов, w – постоянный коэффициент. (Поскольку массы одинаковы, то ускорения будут пропорциональны силам). Их движение описывается системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

Отметим, что во многих работах были получены условия существования, непрерывности и гладкости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от аналогичных условий на правые части таких уравнений. Также имеются работы, где правые части уравнений принадлежат более широким классам функций, чем непрерывные, и соответственно доказывается существование решений – обобщенных функций, см. например [1], где описываются классы уравнений типа Каратеодори.

В рассматриваемой ситуации, несмотря на то, что правые части дифференциальных уравнений разрывны, можно доказать, что решения существуют и являются гладкими на всем интервале определения аргумента. Постановка задачи предложена нами в [1].

Будем считать, что в начальный момент времени заряды расположены в различных точках.

Движение зарядов можно рассматривать как в очень вязкой среде (что и делается в статье), так и в среде с отсутствием трения. В последнем случае задаются также начальные скорости зарядов.

Везде будем предполагать, что tÎR₊=[0,¥).

1. Вычисление сил, действующих на заряды

Окружность представим в виде отрезка K длиной 2p с отождествленными начальной и конечной точкой, в качестве расстояния между двумя точками возьмем минимальную из двух дуг, образуемых этими точками.

Тогда имеем: координаты точки, определяемой углом xÎK, будут {cos x, sin x}, соответственно вектор V₁₂ от первого отрезка ко второму будет {cos x₂- cos x₁, sin x₂- sin x₁}, его длина

Единичный вектор данного направления:

Если заряды этих точек равны соответственно e₁ и e₂, то вектор силы отталкивания, действующий от первого заряда ко второму, будет (с коэффициентом, равным единице)

.

Проекция этого вектора на единичный вектор {- sin x₁ , cos x₁} (против часовой стрелки) касательной к окружности в точке с углом x₁ÎK будет равна силе, действующей на второй заряд вдоль окружности

                             (1)

2. Построение системы уравнений

Будем рассматривать n³3 зарядов – положительных чисел e₁, e₂, …, e_n, c координатами x₁(t), x₂(t),…, x_n(t) ÎK соответственно.

Начальное условие

x₁(0)=x₁, x₂(t) =x₂,…, x_n(t) =x_n,                             (2)

где: x₁, x₂,…, x_n – различные между собой, расположенные по кольцу (против часовой стрелки) элементы из K.

В случае очень вязкой среды из (1) получаем систему

 (3)

Нам еще понадобится уравнение для разности между двумя соседними зарядами. Не умаляя общности, можно считать, что этими соседними зарядами являются первый и второй. Обозначим

w(t)=x₂(t)-x₁(t).                                                     (4)

Имеем для этой функции уравнение:

 (5)

=

c начальным условием

w(0)=x₂ - x₁.                                                                  (6)

3. Основной результат

Теорема 1. Начальная задача (2) – (3) имеет решение в С⁽¹⁾(R₊® K ⁿ).

Cхема доказательства. Выберем достаточно малое число p>0.

Поскольку можно взять p меньше половины минимума расстояний между начальными точками в (2), в начальный момент времени не существует набора (S) меньше чем n отрезков, длины p каждый, и содержащих по два соседних заряда. Предположим, что в какой-то момент времени t=t₁ такой набор (S) в первый раз возникает.

Если взять некоторое число q<2p/(n-1) и выбрать

p<(2p- (n-1)q)/(n-1),                                          (7)

то получим, что среди пробелов между отрезками набора (S) хотя бы один «просвет» P больше по длине, чем q.

Обозначим d=min{e_i:i=1..n}, D=max{e_i:i=1..n}.

Рассмотрим два соседних заряда (обозначим их как 2-й и 1-й), содержащихся в отрезке (обозначим его через S₁₂), примыкающем к «просвету» P по часовой стрелке.

Тогда в (5) отрицательные слагаемые имеют в знаменателях выражения, большие, чем f >0, и соответственно оцениваются по модулю, как D²/f (независимо от выбора p в (7)).

Следовательно, если выбрать p в (7) так, чтобы

то получим, что правая часть в (5) положительна, что противоречит определению значения t₁ . Таким образом, существует такое малое число p, что заряды не сближаются на расстояние, меньше, чем p. Следовательно, заряды не «слипаются» и решение задачи (2) – (3) существует на всей полуоси.

Список литературы:

1. Pankov P., Tagaeva S. Mathematical modeling of distribution of discrete electrical charges // Abstracts of the V International Scientific Conference “Asymptotical, Topological and Computer Methods in Mathematics” devoted to the 85 anniversary of Academician M. Imanaliev. – Bishkek, 2016.