ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ, ОПИСЫВАЮЩИХ ОТТАЛКИВАНИЕ ЧАСТИЦ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАРЯДАМИ

INVESTIGATION OF SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS RICHT HAND PARTS DESCRIBING REPELLING OF PARTICLES WITH DIFFERENT CHARGES

Sabina Tagaeva

сand. of phys.-math. sciences, docent of Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются математические модели набора частиц c различными электрическими зарядами, отталкивающихся по закону Кулона. Их движение описывается системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, Для отдельных случаев доказано существование решений на всем интервале определения аргумента.

ABSTRACT

Considered mathematical models for sets of particles with different electrical charges repelling by Coulomb law. Their motion is described by systems of ordinary differential equations with discontinuous right hand parts. For some cases, existence of solutions is proven on the whole interval of the domain.

Ключевые слова: частица; отталкивание; закон Кулона; обыкновенное дифференциальное уравнение.

Keywords: particle; repelling; Coulomb law; ordinary differential equation.

Введение

В статье рассматриваются одноименные различные электрические точечные заряды с одинаковой массой, движущиеся на прямой R, отталкивающиеся по закону Кулона: сила отталкивания равна где E₁, E₂ – величины зарядов, x₁, x₂ – координаты зарядов, w – постоянный коэффициент. (Поскольку массы одинаковы, то ускорения будут пропорциональны силам). Также в некоторых случаях будем считать, что на каждый заряд действует внешняя сила, определяемая непрерывной функцией. Их движение описывается системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

Отметим, что во многих работах были получены условия существования, непрерывности и гладкости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от аналогичных условий на правые части таких уравнений. Также имеются работы, где правые части уравнений принадлежат более широким классам функций, чем непрерывные, и соответственно доказывается существование решений – обобщенных функций, см. например [1], где описываются классы уравнений типа Каратеодори.

В рассматриваемой ситуации, несмотря на то, что правые части дифференциальных уравнений разрывны, возникает предположение, что решения существуют и являются гладкими на всем интервале определения аргумента. Для отдельных случаев в статье это доказано. Проведены также численные эксперименты, подтвердившие высказанное предположение. Постановка задачи предложена нами в [2].

Будем считать, что в начальный момент времени заряды расположены в различных точках.

Движение зарядов рассматривается как в очень вязкой среде, так и в среде с отсутствием трения. В последнем случае задаются также начальные скорости зарядов.

Везде будем предполагать, что tÎR₊=[0,¥). Будем также использовать малое положительное число e.

1. Случай двух подвижных зарядов в среде с трением

Рассмотрим движение зарядов в очень вязкой среде. В такой ситуации инерцией заряда (заряженной частицы) можно пренебречь и скорость движения заряженной частицы будет пропорциональна действующей на нее силе, которая в свою очередь складывается из заданной внешней силы и силы отталкивания между зарядами.

Тогда получаем для двух подвижных зарядов (с координатами x₁(t)< x₂(t)), а также с заданными действующими на заряды силами: система двух уравнений первого порядка с разрывами второго рода в правых частях

(1)

с начальными условиями

x₁(0)= z₁< x₂(0)= z₂.                                                       (2)

Теорема 3. Начальная задача (1) – (2) имеет решение в С⁽¹⁾(R₊®R²).

Доказательство. Обозначим

w(t):=x₂(t)-x₁(t).                                                             (3)

Имеем для этой функции уравнение:

c начальным условием

w(0)=z₂ - z₁>0.

Выберем любое T>0 и обозначим  

Выберем положительное число  Предположим, что  Обозначим t₁ÎR₊ – первая точка такая, что w(t₁)=p.

Тогда имеем:  Отсюда следует, что при достаточно малом e будет что противоречиво.

Теорема доказана.

2. Случай двух подвижных зарядов в среде без трения

Случай двух подвижных зарядов (с координатами x₁(t)< x₂(t)), а также с заданными действующими на заряды силами в среде без трения: система двух уравнений второго порядка с разрывами второго рода в правых частях

           (4)

с начальными условиями

x₁(0)= z₁< x₂(0)= z₂; x₁¢(0)= v₁ , x₂¢(0)= v₂.                     (5)

Теорема 2. Начальная задача (4)-(5) имеет решение в С⁽¹⁾(R₊®R²).

Доказательство. Обозначая (3), имеем для этой функции уравнение:

c начальными условиями

w(0)=z₂ - z₁>0, w¢(0)=v₂ - v₁

Заменяя u(t)=w¢(t), получаем систему дифференциальных уравнений

         (6)

с начальными условиями

w(0)=w₀= z₂ - z₁>0, u(0) =u₀=v₂ - v₁,                           (7)

или эквивалентную систему интегральных уравнений

         (8)

Выберем любое T>0 Дальше в этом доказательстве будем рассматривать tÎ[0,T]. Тогда имеем:

Если то, очевидно,  u(t) возрастает, начальная задача (6)-(7) имеет решение. Будем рассматривать только случай, когда

q:=Th- u₀>0, u (t)³ - q (пока решение существует).

Выберем положительное число  

Предположим, что

                                      (9)

Обозначим t₁Î[0,T] – первая точка такая, что w(t₁)=p, t₂Î[0,T] – последняя точка такая, что w(t₂)=2p. Тогда w(t)Î[p,2p] для tÎ[t₂, t₁].

По теореме о среднем, существует такая точка t*Î[t₂, t₁], что

w(t₁)- w(t₂)= (t₁- t₂) w¢ (t*); p- 2p= (t₁- t₂) u (t*);

- p³ (t₁- t₂) (- q); p£ (t₁- t₂) q.

Отсюда

Из (8) оцениваем, учитывая, что

Таким образом, из предположения (9) получено, что w¢(t₁)>0, что противоречит этому предположению.

Следовательно, начальная задача (6) – (7) имеет положительное решение на любом отрезке [0, T]. Отсюда и из локальной единственности решения начальной задачи следует, что начальная задача (6) – (7) имеет положительное решение на всей полуоси R₊.

Теорема доказана.

Заключение

В связи с полученными результатами возникают следующие проблемы:

• строго доказать следующее предположение для многих зарядов:

Решения существуют на всей полуоси R₊ и при этом заряды не слипаются (существует положительная нижняя граница расстояния между зарядами на каждом ограниченном отрезке).

Для случая ограниченной области, по результатам предварительных вычислений мы также выдвигаем следующее предположение:

• для любого n>2 существует и единственно стационарное расположение (n-1) зарядов на отрезке с двумя неподвижными зарядами на концах отрезка, и решение соответствующей системы при любых начальных условиях, не совпадающих между собой, асимптотически сходится к такому расположению.

Список литературы:

1. Финогенко И.А. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2013. – 82 с.
2. Pankov P., Tagaeva S. Mathematical modeling of distribution of discrete electrical charges // Abstracts of the V International Scientific Conference “Asymptotical, Topological and Computer Methods in Mathematics” devoted to the 85 anniversary of Academician M. Imanaliev. – Bishkek, 2016. – P. 58.