РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА

REGULARIZATION OF LINEAR TWO-DIMENSIONAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND

Nagima Mustafaeva

phD student, Department of Information Technology and Programming,

Kyrgyz National University Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В работе исследованы вопросы метода построения и обоснования регуляризации линейных двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Ядро и правая часть уравнения являются непрерывными функциями. Предполагая существование решения уравнения в пространстве непрерывных функций, построено регуляризованное решение, доказана сходимость этого решения к точному решению по равномерной метрике.

ABSTRACT

In this work were researched the issues about the methods of the construction and justification of the regularization of linear two-dimensional integral Volterra equations of the first kind. The kernel and the right side of the equation is a continuous function. Assuming the existence of solution of the equation in the space of continuous function, there was built regularized solution and proved the convergence of this solution to an exact solution for a uniform metric.

Ключевые слова: регуляризация, уравнение Вольтерра, равномерная сходимость.

Keywords: regularization, Volterra equations, uniform convergence.

Интегральные уравнения Вольтерра первого рода возникают при исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, в частности при решении обратной задачи для уравнения теплопроводности [1, с. 28], задачи Бицадзе–Самарского для уравнения Буссинеска-Лява [5] и др.

Методы регуляризации лаврентьевского типа для интегральных уравнений Вольтерра первого рода в пространстве непрерывных и суммируемых функций предложены в [3]. Случай с двумя независимыми переменными уравнения исследован в [2], в работе [4] построено регуляризирующее решение для некорректного случая уравнения, когда нарушается необходимое условие существования непрерывного решения. В данной работе в пространстве непрерывных функций исследуются вопросы регуляризации уравнения с непрерывным ядром и правой частью.

Рассмотрим линейное интегральное уравнение

          (1)

где: заданныефункцииподчиняются условиям:

Пусть Т – оператор Вольтерра видаДействуем оператором I+, где I – тождественный оператор,на уравнение (1).Тогда получимуравнение, которое после эквивалентного преобразования примет вид

 (2)

где: .

Рассмотрим уравнение с малымпараметром  из интервала (0,1)

(3)

С помощью резольвенты ядра , уравнение (3) приведем к следующему виду

     (4)

Пусть, где

Оценим разность операторов. Оценивая выражения из этой разности, получим неравенства:

где: –коэффициент Липшица ядрапо первому аргументу;

где:

На основе оценок 1)-5)приходим к следующему неравенству

где:

В итогепо норме получим оценку

    (5)

Пусть операторзадается в виде

Аналогично как в [1, с. 5] можно убедиться в справедливости следующей леммы.

Лемма 1. При выполнении условий а) – б) иимеет место оценка

где:

Теорема 1. Пусть выполняютсяусловия а) – б), и уравнение (1) имеет решение Тогда при решение уравнения (3) равномерно сходится к решению уравнения (1). При этом справедлива оценка

Доказательство. С помощью подстановки

           (6)

из (4) получим следующее уравнение

Используя оценку (5) получим

В обеих частях неравенства переходим к норме. Тогда

Откуда в силу леммы 1 и (6), при функцияравномерно.Теорема 1доказана.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 решение уравнения (1) единственно в

Список литературы:

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. – Москва: Наука, 1988. – 288 с.

2. Асанов А. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. – Фрунзе: Илим, 1980. – Вып. 13. – С. 207–215.

3. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Там же, 1988. – Вып. 21. – С. 3–38.

4. Омуров Т.Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. – Бишкек: Илим, 2003. – 162 с.

5. Сопуев А., Осмоналиев А.Б. Задача Бицадзе – Самарского для уравнения Буссинеска-Лява. // Вестник КГНУ: «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике». Тр. междунар. научн. конференц. – Бишкек, 2001. – Серия 3. – Вып. 6. – С. 112–116.