НОРМЕННЫЙ МИНИМУМ РЕШЕТКИ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ГРАНЕЙ ВНУТРЕННЕГО ПОЛИЭДРА КЛЕЙНА

LATTICE NORM MINIMA AND FACETS DETERMINANTS OF INTERIOR KLEIN POLYHEDRA

Ilya Makarov

deputy head of Data Analysis and Artificial Intelligence school at faculty of Computer Science,

senior lecturer, National Research University Higher School of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В работе доказывается многомерное обобщение утверждения о том, что действительно число плохо приближаемо тогда и только тогда, когда его неполные частные равномерно ограничены. Мы рассматриваем многомерный аналог цепных дробей – внутренний полиэдр Клейна – целочисленные характеристики границы которого выбираются в качестве неполных частных многомерной цепной дроби. Мы доказали равносильность равенства нулю норменного минимума решетки, порождающего внутренний полиэдр Клейна, и условия, что определители всех граней всех внутренних полиэдров Клейна, соответствующих данной решетке и координатным ортантам, равномерно ограничены сверху.

ABSTRACT

We proved a multidimensional generalization of a statement that real number is badly approximated if and only if its partial quotients are uniformly bounded. We considered multidimensional analog of continued fractions, such as interior Klein polyhedron, and integral characteristics of its border. We use them as multidimensional partial quotients of the continued fraction. We proved the equivalence zero norm minimum of a lattice generating an interior Klein polyhedron, and uniform boundness from above of the determinants of all faces for all interior Klein polyhedra corresponding to a lattice and coordinate orthants.

Ключевые слова: внутренний полиэдр Клейна; цепные дроби; норменный минимум решетки.

Keywords: interior Klein polyhedron; continuous fractions; lattice norm minimum.

1. Плохо приближаемые числа.

Действительное число  называется плохо приближаемым, если существует константа  такая что для любого целого числа p и любого натурального числа q выполняется условие

Известно следующее утверждение:

Утверждение 1. Иррациональное число плохо приближаемо тогда итолько тогда, когда если его неполные частные равномерно ограничены.

Определение плохой приближаемости может быть сведено к исследованию линейных форм, а именно: два числа  и  плохо приближаемы тогда и только тогда, когда , где наименьшее значение ищется по всем целым p и q, не равным одновременно 0.

2. Геометрия цепных дробей в  

Целочисленной длиной отрезка с концами в  называется количество точек решетки  содержащихся во внутренности этого отрезка, плюс 1. Целочисленным углом между двумя такими отрезками с общей вершиной называется площадь параллелограмма, натянутого на них, деленная на произведение их целочисленных длин.

Рассмотрим два иррациональных числа  и . Их цепные дроби допускают следующее геометрическое представление: рассмотрим две прямые в  порожденные векторами  Внутренний полигон Клейна определяется как выпуклая оболочка целых точек строго внутри каждого конуса, порождаемого линейными оболочками этих векторов. При условии  имеет место соответствие [1; 4] между вершинами полигонов Клейна и подходящими дробями чисел  и .

Таким образом, свойства чисел, выраженные цепными дробями, могут быть интерпретированы как свойства границ полигонов Клейна или границ внутренних полигонов Клейна. Если теперь определить форму

то утверждение 1 можно переформулировать следующим образом:

Утверждение 2. Для любых иррациональных чисел  и  целочисленные длины ребер полигонов Клейна равномерно ограничены если, и только если

3. Выпуклые оболочки точек в полиэдрах.

Ж.-О. Муссафир в работе [6] доказал, что выпуклая оболочка всех целых точек в полиэдре является замкнутым множеством и обобщенным полиэдром только для случая, когда все грани симплициального конуса одновременно либо содержат решетку полной размерности, либо не содержат ни одной точки решетки. Автор в работе [5] показал, то выпуклая оболочка точек строго внутри открытого полиэдра, не содержащего прямой линии, является замкнутым множеством и обобщенным полиэдром.

В случае, когда C симплициальный конус с началом в 0, то есть, число порождающих полиэдр C гиперплоскостей равно  – линейно независимы, множество  называется внутренним полиэдром Клейна и является обобщением понятия цепной дроби на многомерный случай.

4. Определения характеристик границы замкнутого обобщенного внутреннего полиэдра Клейна.

Пусть дана произвольная n-мерная решетка  и произвольный невырожденный симплициальный конус  с ребрами, порожденными векторами  для  комбинаций :  Рассматривается множество , которое оказывается аналогом полиэдра Клейна. Парусом называется граница  так выбранного аналога полиэдра Клейна K.

Опорной к K гиперплоскостью называется такая гиперплоскость

, что и .

Пересечение опорной гиперплоскости с  называется гранью  для . Размерностью грани называется размерность  линейной гиперплоскости, проходящей через 0 параллельно . В зависимости от размерности грань  называется: вершиной, при , ребром, при , гипергранью (или просто гранью), при .

Обозначим через  конус, ребра которого порождены векторами . Ему соответствует форма . Форма  соответствует конусу , если  где  – матрица координат векторов , записанных по столбцам.

Норменным минимумом решетки  (относительно конуса ) называется величина . Норменным минимумом решетки  относительно конуса  называется величина .

Пусть  – произвольный мерный многогранник. Тогда определителем F называется величина  .

Вершина , взятая вместе с ребрами K, ей инцидентными, называется реберной звездой паруса . Определителем реберной звезды  паруса , у которой на каждом ребре выбран минимальный вектор  с началом и концом в точке решетки, количеством ребер равном , называется:

Под сечением конуса  по  понимается .

5. Формулировка основных результатов.

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

1. Норменный минимум мерной решетки отличен от нуля.
2. Определители граней каждого из  парусов внутреннего полиэдра Клейна, порожденных решеткой  и конусом , равномерно ограничены.
3. Определители граней и реберных звезд паруса решетки , относящегося к положительному ортанту, равномерно ограничены.

Оказывается, что доказательства из работ [3; 2] целиком переносятся на рассматриваемый нами случай. Поскольку полиэдр Клейна хорошо определялся только для иррационального относительно решетки симплициального конуса, то все утверждения о гранях делались в предположении, что все точки находятся строго внутри конуса. Таким образом, теоремы, утверждающие свойства граней полиэдра Клейна, на самом деле утверждают свойства границы выпуклой оболочки целых точек внутри конуса. Из [5] следует, что теорема 1 верна для внутреннего полиэдра Клейна.

Следствие 1. Если на границах конуса  лежат точки решетки , то определители граней одного из парусов, порожденных конусом  и решеткой , не ограничены.

Следствие 2. Если  имеет неограниченную грань, то норменный минимум решетки равен 0.

Доказательство следствия 2. Если у какого-то из парусов, порождаемых конусом  и решеткой , есть неограниченная грань, то существует параллельное ей ребро  конуса . Отсюда следует, что через  проходит вполне рациональная гиперплоскость , такая что в плоскости одной из граней двойственного конуса  лежит ее нормаль . Получаем, что , откуда следует, что  не иррационален. Значит  и содержит целую точку на грани. Отсюда следует, что норменный минимум двойственного конуса  равен 0, а это в свою очередь равносильно тому, что .

6. Заключение.

В работе [3; 2] рассматривался случай иррационального конуса, порождающего полиэдр Клейна. Переходя к внутреннему полиэдру Клейна для более широкого класса конусов, мы сохранили результаты на связь норменного минимума соответствующей решетки и ограниченностью характеристик внутреннего полиэдра Клейна, обобщая теорему о плохой приближаемости числа, представленного цепной дробью, на многомерный случай.

Список литературы:

1. Erdös P., Gruber P.M., Hammer J. Lattice Points, Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the US with John Wiley & Sons, Inc., NY, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Vol. 39, 1989.
2. German O.N. Klein polyhedra and lattcies with positive norm minima. Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, Vol. 19, № 1, 2007.
3. German O.N. Sails and norm minima of lattices, Sbornik: Mathematics, Vol. 196, № 3, 2005.
4. Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbruchentwichlung, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Vol. 3, 1895.
5. Makarov I. Interior Klein Polyhedra, Mathematical Notes, Vol. 95, № 6, 2014.
6. Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points, Plenum Publishing Corporation, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 113, № 5, 2003.