ОДНОСКОРОСТНЫЕ ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ

SINGLE-SPEED DIRECT PROBLEMS OF TRANSPORT THEORY IN THE SPACE OF WEIGHT FUNCTIONS

Marat Tuganbaev

сandidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the

Kyrgyz National University named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В пространстве весовых функций решены прямые задачи теории переноса, эквивалентно сведенные к интегральному уравнению второго рода. Введены соответствующие физическому смыслу весовые функции. Исследуются вопросы ограниченности и единственности решения в пространстве весовых функций.

ABSTRACT

In the space of weight functions is solved direct problems of transport theory, equivalence reduced to an integral equation of the second kind. Entered correspond to the physical meaning of the weighting function. The questions of limitations and uniqueness of the solution in the space of weight functions are studied.

Ключевые слова: задача переноса, интегральное преобразование, интегральное уравнение, весовые функции.

Keywords: transport problem, integral transformation, the integral equation, the weighting functions.

Как отмечено в работе О.М. Алифанова и др. [1] одна из причин многих трудностей, возникающих при исследовании сходимости алгоритма приближенного решения задач теории переноса, состоит в том, что решения этих задач не обладают, как правило, классической гладкостью, то есть они не принадлежат пространствам типа . В связи с этим, решения задач переноса будем искать не только в пространствах с чебышевскими нормами, но и в пространствах весовых функций.

В работе исследуются прямые задачи для односкоростных интегро-дифференциальных уравнений типа Каца–Больцмана [3] относительно функции  от скорости  и времени .

Задача 1. Найти функцию распределения  если

(1)

                                     (2)

где: , , , , ,  – известные функции, причем , , , .

Задача эквивалентно приводится к виду [2]:

(3)

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

а),

(4)

в)

с)

Тогда исходная задача 1 разрешима в , при этом последовательность  строится по правилу Пикара с начальным приближением :

 ,                                  (5)

, .              (6)

Доказательство. Действительно, с учетом условий теоремы , получим, что  ограничены в смысле нормы

С другой стороны, докажем, что оператор в правой части (3) отображает шар  в себя и является сжатием. Пусть

 и .

Тогда

,

.

По условию теоремы . Таким образом, отображение (3) является сжимающим и согласно принципу сжимающих отображений, оно имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, задача 1 имеет единственное решение. Теорема доказана.

Но в теории переноса есть случаи, когда источники возмущения и начальные данные не принадлежат пространству с чебышевскими нормами. Так как из существования решения в пространстве с чебышевскими нормами следует существование в пространстве весовых функций, то будут исследоваться вопросы ограниченности и единственности решения.

В связи с этим рассмотрим задачу в пространстве весовых функций.

Задача 2. При начальном условии (2), где  , найти решение  уравнения

 (7)

Эта задача аналогично приводится к интегральному уравнению

      (8)

Теорема 2. В условиях задачи 2, при выполнении условий

(9)

функция  ограничена в  и единственна в этом классе.

Доказательство. Действительно, оценивая (8) с учетом неравенства Гельдера, получим

Возводя в степень  это неравенство, умножая на , интегрируя на  и учитывая неравенство , имеем:

Так как по условию < 1, то окончательно получим:

,

что доказывает ограниченность функции  в пространстве .

Предполагая существование решений  и  и оценивая их разность, имеем: . Так как <1, то . Отсюда . Следовательно, =, , то есть функция  единственна в классе функций  для всех фиксированных . Теорема доказана.

Задача 3а. Определить в пространстве  решение задачи:

 =  (10) с начальным условием , где , .

Теорема 3. Пусть для исходной задачи имеют место условия:

 ,  

  . (11)

Тогда  ограничена  и единственна.

Для решения задачи 3а, на основе преобразования вида

, (12)

получим интегральное уравнение .(13)

Оценивая (13), получим

.

Умножая на  и интегрируя на , имеем:

Откуда с учетом  получим:  Это означает ограниченность  в классе функций .

Единственность этой функции докажем методом от противного. Пусть существуют функции  и , которые удовлетворяют (10) с начальным условием (2). Тогда оценивая их разность, получим:

Умножая на  и интегрируя на , имеем:

, . Отсюда следует, что . Следовательно, = для  что и требовалось доказать.

Задача 3б. Решение задачи 3а будем искать также в классе функций , когда имеют место условия:

 (14)

Теорема 4. Если для задачи 3б выполняются условия (14), то решение этой задачи ограничено в  и единственно.

Доказательство. Действительно, оценим (13):

 Так как по условию < 1, то окончательно получим:

.                                               (15)

Список литературы:

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. – Москва: Наука, 1988. – 288 с.
2. Омуров Т.Д., Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. – Бишкек: Илим, 2010. – 116 с.
3. Frosali, van der Mee, Paveri – Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., – 1989, – Vol. 30. – № 5, – Р. 1177–1186.