ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВУХСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ

INVERSE PROBLEM FOR TWO-SPEED EQUATION WITH A SMALL PERTURBATION OF THE COLLISION INTEGRAL

Marat Tuganbaev

candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the

Kyrgyz National University named after J.Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Исследуются двухскоростные обратные задачи теории переноса с малым параметром при интеграле столкновений в пространстве весовых функций. При этом с целью выяснения разрешимости задач они эквивалентно преобразованы к системам интегральных уравнений Вольтерра. Результаты исследований могут иметь не только теоретический смысл, но и практическое приложение.

ABSTRACT

Two-speed the inverse problem of transport theory with a small parameter in the collision integral in the space of weight functions are studied. Thus to ascertain the solvability of the task they are converted to the equivalent system of Volterra integral equations. Results of researches can have not only theoretical meaning but also practical application.

Ключевые слова: задача переноса, двухскоростная задача, малый параметр, интеграл столкновений.

Keywords: transport problem, two-speed problem, small parameter, the collision integral.

Иногда вместо изучения вырожденного уравнения приходится решать задачи переноса с малым параметром. Естественно возникает, во–первых, вопрос: в каком смысле решение возмущенной задачи сходится или будет близко к решению вырожденный задачи, когда малый параметр стремится к нулю (). Здесь может быть слабая (в ) или сильная (в ) сходимости.

 С другой стороны, полученные результаты в указанном направлении дают, во–вторых, ответ на вопрос: в каком смысле устойчиво решение задачи переноса без малого параметра (в смысле вырожденного уравнения).

В работе [1] для двухскоростного уравнения переноса с малым параметром при интеграле столкновений изучена обратная задача:

Задача 1. Найти пару  из задачи для уравнения с малым параметром при интеграле столкновений:

(1)

                  (2)

,                                                   (3)

 – заданные гладкие функции, – известная неотрицательная функция:

,                        (4)

  – малый параметр.

Если предположить, что , то из задачи (1) – (3) получается вырожденная задача. Доказано существование единственного решения задачи (1) – (3) в классе функций , с нормой .

Далее установлена близость решений:  – задачи с малым параметром и – вырожденной задачи, т. е. , когда  для . Обратная задача 1 связана с весовой функцией . Поэтому должны быть получены результаты в , с нормой  

Аналогично [1], положим ( – решение вырожденной задачи)

                                  (5)

                           (6)

Произведем оценку в  в случае, когда , , . Имеем систему двух уравнений

(7)

,(8)

.

Пусть

.(9)

Тогда с учетом неравенства Коши-Буняковского, получим

 (10)

 (11)

Возводя (10) в квадрат, с учетом формулы , умножая на , интегрируя по  от  до  и оценивая

получим

                              (12)

Возводя (11) в квадрат, с учетом формулы ,

интегрируя по  в  и оценивая:

имеем

(13)

                               (14)

          (15)

.

Теорема 2. В случае  при выполнении условия (15), решение задачи 1 при  сходится к решению вырожденной задачи в смысле .

Список литературы:

1. Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца-Больцмана. – Бишкек, 2011. – 122 с.